Что такое findslide.org?

FindSlide.org - это сайт презентаций, докладов, шаблонов в формате PowerPoint.

Обратная связь

Презентация на тему Систематическое интегрирование

Содержание

2. Содержание 1.Некоторые сведения о многочленах 2. Интегрирование дробно-рациональных функций.3. Интегрирование тригонометрических функций. 4. Интегрирование простейших иррациональностей.
3. Некоторые сведения о многочленах
4. Понятие многочлена Функция
5. Теорема Безу Число a является корнем
6. Доказательство Если многочлен степени n разделить
7. Доказательство Обратно, если r=0, то при
8. Теоремы алгебры Теорема .Всякий многочлен
9. Случай кратных действительных корней Если
10. Пример . Корень
11. Случай комплексных корней Теорема. Всякий многочлен
12. Продолжение Итак, в разложении многочлена на
13. Случай кратных комплексных корней Если комплексные
14. Интегрирование рациональных дробей
15. Рациональные дроби Рациональной дробью называется
16. Рациональные дроби Если рациональная дробь является
17. Простейшие рациональные дроби Правильные рациональные дроби
18. Интегрирование простейших рациональных дробей Дробь 1-го типа: Дробь 2-го типа:
19. Пример интегрирования рациональной дроби Найдем
20. Продолжение Положим в обеих частях этого
21. Продолжение
22. Пример интегрирования рациональной дроби Вычислить
23. Приравняем числители
24. Продолжение Отсюда получаем: С=1, D=0, А=-3,
25. Продолжение
26. Интегрирование тригонометрических функций
27. Интегралы вида Если хотя бы
28. Примеры Вычислить
29. Продолжение 2. Интегралы вида где m
30. Пример
31. Продолжение 3.Интегралы вида вычисляют преобразованием произведения тригонометрических функций в сумму по формулам:
32. Пример Рассмотрим пример: =
33. Продолжение 4. Интегралы
34. ПримерВычислим:Разложим интеграл на два интеграла..Получим
35. Продолжение 5.Такой же заменой можно брать
36. Универсальная подстановка6. Интегралы
37. Продолжение7. Универсальная подстановка приводит к громоздким выкладкам!
38. Пример
39. Интегрирование простейших иррациональностей
40. Иррациональность, содержащая квадратный трехчлен 1.Интегралы вида
41. Продолжение 2. Интегралы вида вычисляют
42. Тригонометрические подстановки Интегралы вида вычисляют с помощью тригонометрических подстановок.1.
43. Тригонометрические подстановки2.3.
44. Скачать презентацию
45. Похожие презентации

Содержание 1.Некоторые сведения о многочленах 2. Интегрирование дробно-рациональных функций.3. Интегрирование тригонометрических функций. 4. Интегрирование простейших иррациональностей.

Главная
Математика
Систематическое интегрирование

Содержание 1.Некоторые сведения о многочленах 2. Интегрирование дробно-рациональных функций.3. Интегрирование тригонометрических функций. 4. Интегрирование простейших иррациональностей.

Теорема Безу Число a является корнем многочлена

Доказательство Если многочлен степени n разделить на x–a, то очевидно в

Доказательство Обратно, если r=0, то при x=a правая часть (*)

Теоремы алгебры Теорема .Всякий многочлен степени

Случай кратных действительных корней Если в разложении многочлена на множители

Случай комплексных корней Теорема. Всякий многочлен n–ой степени имеет ровно n

Продолжение Итак, в разложении многочлена на множители комплексные корни входят попарно

Случай кратных комплексных корней Если комплексные корни многочлена являются кратными, то

Рациональные дроби Рациональной дробью называется выражение вида

Рациональные дроби Если рациональная дробь является неправильной, то произведя деление на

Простейшие рациональные дроби Правильные рациональные дроби вида где k–целое положительное

Интегрирование простейших рациональных дробей Дробь 1-го типа: Дробь 2-го типа:

Пример интегрирования рациональной дроби Найдем Разложим знаменатель дроби на

Продолжение Положим в обеих частях этого тождества х=0. Получим 8=4А. Тогда

Пример интегрирования рациональной дроби Вычислить Приведем выражение к общему знаменателю:

Продолжение Отсюда получаем: С=1, D=0, А=-3, В=0. Следовательно, подставляя найденные коэффициенты

Интегрирование тригонометрических функций

Интегралы вида Если хотя бы одно из чисел m

Продолжение 2. Интегралы вида где m и n – четные положительные

Продолжение 3.Интегралы вида вычисляют преобразованием произведения тригонометрических функций в сумму по формулам:

ПримерВычислим:Разложим интеграл на два интеграла..Получим

Продолжение 5.Такой же заменой можно брать интегралы

Продолжение7. Универсальная подстановка приводит к громоздким выкладкам! Поэтому если R(sinx,cosx)=R(-sinx,-cosx), то удобнее

Интегрирование простейших иррациональностей

Иррациональность, содержащая квадратный трехчлен 1.Интегралы вида

Продолжение 2. Интегралы вида вычисляют с помощью подстановки Интегралы

Тригонометрические подстановки Интегралы вида вычисляют с помощью тригонометрических подстановок.1.

Слайды презентации

Слайд 2 Содержание
1.Некоторые сведения о многочленах
2. Интегрирование дробно-рациональных

функций.
3. Интегрирование тригонометрических функций.
4. Интегрирование простейших иррациональностей.

Слайд 3 Некоторые сведения о многочленах

Слайд 4 Понятие многочлена
Функция

, где n–целое число, называется многочленом или рациональной целой функцией от x. Число n называют степенью многочлена. Коэффициенты –это действительные или комплексные числа. Независимая переменная x также может быть как действительным, так и комплексным числом.

Слайд 5 Теорема Безу
Число a является корнем

многочлена

тогда и только тогда, когда многочлен делится на x–a без остатка.

Слайд 6 Доказательство
Если многочлен степени n разделить

Доказательство Если многочлен степени n разделить на x–a, то очевидно

на x–a, то очевидно в частном получится многочлен степени

, а в остатке от деления число, то есть
(*)
Тогда если x=a–корень многочлена , то
и, подставляя x=a, в обе части равенства (*), получим r=0.

Слайд 7 Доказательство
Обратно, если r=0, то при x=a

правая часть (*)

обращается в нуль, тогда и ,
то есть x=a–корень .
Из теоремы Безу следует, что если x=a–корень многочлена, то

Слайд 8 Теоремы алгебры
Теорема .Всякий многочлен

Теоремы алгебры Теорема .Всякий многочлен степени имеет по

степени имеет по крайней

мере один корень.
Теорема. Всякий многочлен степени n разлагается на n линейных множителей вида и множитель, равный коэффициенту при .

Слайд 9 Случай кратных действительных корней
Если в разложении

многочлена на множители некоторые линейные множители окажутся одинаковыми, то

их можно объединить, и тогда разложение многочлена на множители будет иметь вид:

При этом . В этом случае корни называются корнями кратности соответственно.

Слайд 10 Пример

.
Корень

–двукратный корень этого многочлена,

–простой корень.

Слайд 11 Случай комплексных корней
Теорема. Всякий многочлен n–ой

степени имеет ровно n корней (действительных или комплексных).

Теорема. Если многочлен с действительными коэффициентами имеет комплексный корень , то он имеет и сопряженный корень .

Слайд 12 Продолжение
Итак, в разложении многочлена на множители

комплексные корни входят попарно сопряженными.Им соответствует множитель вида

где дискриминант отрицателен.

Слайд 13 Случай кратных комплексных корней
Если комплексные корни

многочлена являются кратными, то этот многочлен с действительными коэффициентами

разлагается на множители согласно формуле

где

Слайд 14 Интегрирование рациональных дробей

Слайд 15 Рациональные дроби
Рациональной дробью называется

выражение вида

, где -

многочлены степеней n и m соответственно. Если степень числителя ниже степени знаменателя, то рациональная дробь называется правильной, в противном случае -неправильной.

Слайд 16 Рациональные дроби
Если рациональная дробь является неправильной,

то произведя деление на по

правилу деления многочленов, ее можно представить в виде , где -

некоторый многочлен, а -
правильная рациональная дробь.

Слайд 17 Простейшие рациональные дроби
Правильные рациональные дроби вида

Простейшие рациональные дроби Правильные рациональные дроби вида где k–целое положительное число

где k–целое положительное число ≥2, дискриминант квадратного трехчлена

отрицателен, называются простейшими дробями I, II, III и IV типов.

Слайд 18 Интегрирование простейших рациональных дробей
Дробь 1-го типа:

Дробь 2-го типа:

Слайд 19 Пример интегрирования рациональной дроби
Найдем

Пример интегрирования рациональной дроби Найдем Разложим знаменатель дроби на множители:

Разложим знаменатель дроби на множители:
Тогда

Приведем

дроби к общему знаменателю и освободимся от знаменателя.

Слайд 20 Продолжение

Положим в обеих частях этого тождества

х=0. Получим 8=4А. Тогда А=2. При х=-2 20=-2С, а

С=-10. Приравнивая коэффициенты при в обеих частях тождества, получаем 3=А+В, а так как А=2 , то В=1. Имеем

Слайд 21 Продолжение

Слайд 22 Пример интегрирования рациональной дроби
Вычислить

Приведем

выражение к общему знаменателю:

Слайд 23 Приравняем числители

. Многочлены, стоящие в правой и левой частях этого соотношения тождественно равны, т. е. равны коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях последнего соотношения.

Продолжение

Слайд 24 Продолжение

Отсюда получаем: С=1, D=0, А=-3, В=0.

Следовательно, подставляя найденные коэффициенты в разложение дроби на простейшие,

получим

Слайд 25 Продолжение

Слайд 26 Интегрирование тригонометрических функций

Слайд 27 Интегралы вида
Если хотя бы одно из

Интегралы вида Если хотя бы одно из чисел m или

чисел m или n - нечетное положительное число,

то отделяя от нечетной степени один сомножитель и выражая с помощью формулы оставшуюся четную степень через дополнительную функцию, приходим к табличному интегралу.