Слайд 2
Цель и задача урока
Цель данного
урока знакомство с жизнедеятельностью философа и мыслителя Фалеса и
его теоремой; развитие «геометрического зрения», расширение кругозора в плане знакомства с историей развития математики.
Задачи:
- продемонстрировать возможности применения теоремы Фалеса в различных геометрических задачах
- расширить представления о сферах применения полученных математических знаний;
- познакомиться с историческими сведениями об ученом Фалесе, о развитии математических знаний и их применениях
Фалес
Фалес из Милета - первый древнегреческий
мыслитель. По-видимому, он жил в 640-546 годах до н.э. Он первый применил доказательство теорем и ввел их в обиход математики. Основатель милетской школы. Считался первым из Семи мудрецов Греции.
Слайд 4
Фалес считается родоначальником античной и, как
следствие, европейской философии и науки. Считался первым из Семи
мудрецов Греции.
Важнейшей заслугой Фалеса в области математики должно быть перенесенное им из Египта в Грецию первых начал теоретической элементарной геометрии. Эвдем, по свидетельству Прокла, приписывает Фалесу открытие следующих геометрических предложений:
▪ Вертикальные углы равны.
▪ Углы при основании равнобедренного треугольника равны.
▪ Треугольник определяется стороной и прилежащими к ней двумя углами.
▪ Диаметр делит круг на две равные части.
Слайд 5
Теорема Фалеса
Если параллельные прямые, пересекающие стороны
угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то
они отсекают равные отрезки и на другой его стороне
Слайд 6
Доказательство:
Пусть А3ОВ3 – заданный угол, а
А1В1, А2В2, и А3В3– попарно параллельные прямые и А1А2=А2А3.
Докажем, что В1В2=В2В3. Проведем через точку В2 прямую С1С2 параллельную прямой А1А3. По лемме А1А2 =С1В2, А2А3 = В2С2 и с учетом условия теоремы С1В2 = В2С2. Кроме того, ∠В1С1В2 = ∠В2С2В33– как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых А1В1, А3В3 и секущей С1С2 , а ∠В1В2С1 = ∠С2В2В3 как вертикальные. По второму признаку равенства треугольников ΔВ1С1В2 = ΔВ3С2В2. Отсюда В1В2 = В2В3. Теорема доказана.
Слайд 7
Теорема Фалеса
Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько
равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.
Слайд 8
Доказательство:
Пусть на прямой l 1 отложены
равные отрезки A1A2, A2A3, А3А4 и через их концы
проведены параллельные прямые, которые пересекают прямую l 2 в точках B1, B2, B3, В4 как рисунке 4. Требуется доказать, что отрезки B1B2, B2B3, В3В4 равны друг другу. Докажем, что B1B2=B2B3.
Рассмотрим случай, когда прямые l 1 и l 2 параллельны. Тогда A1A2=B1B2 и A2A3=B2B3 как противоположные стороны параллелограммов A1B1B2A2 и A2B2B3A3. Так как A1A2= A2A3, то и B1B2=B2B3. Теорема доказана.
Слайд 9
Применение теоремы Фалеса
к решению задач
Средняя линия треугольника
Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине.
Слайд 10
Доказательство:
Пусть отрезок DE – средняя линия
в треугольнике ABC, т.е. AE = EC, CD = BD. Проведем через точку
D прямую a, параллельную стороне AB. По теореме Фалеса прямая a пересекает сторону AC в ее середине и, следовательно, содержит среднюю линию DE. Значит, средняя линия DE параллельна стороне AB. Проведем среднюю линию DF. Она параллельна стороне AC. Тогда по лемме отрезок ED равен отрезку AF и равен половине отрезка AB. Теорема доказана.
Слайд 11
Задача 1
Дан треугольник АВС.
На стороне ВС взята точка Р так, что ВР=РС,
а на стороне АС взята точка Q такая , что АQ : QС = 5 : 3. Найдите отношение АО : ОР, если точка О – точка пересечения прямых АР и ВQ.
Слайд 12
Решение:
Проведем прямые параллельные ВQ
через точки А, Р и С. Точка D –
это точка пересечения прямых АР и с.
По теореме Фалеса параллельные прямые ВQ, b и c, которые отсекают равные отрезки ВР и РС, отсекают равные отрезки ОР и РD на прямой АD.
По теореме Фалеса параллельные прямые a, BQ и с, которые отсекают на прямой АС отрезки в соотношении 5 : 3, отсекают и на прямой АD отрезки в соотношении 5 : 3.
То есть AQ : QC= 5:3 и AO : OD = 5:3, а отрезок OD=2OP. Следовательно, AO : OP = 10:3.
Ответ: 10 : 3.
Задача 2
Разделите отрезок АВ при помощи циркуля
и линейки на n равных частей.
Слайд 14
Решение:
Проведем луч AX, не лежащий на прямой
AB, и на нем от точки A отложим последовательно
n равных отрезков АА1, А1А2, …,Аn-1An , т.е. на столько равных отрезков, на сколько равных частей нужно разделить данный отрезок AB. Проведем прямую AnB (точка Аn – конец последнего отрезка) и построим прямые, проходящие через точки A1, A2,…, An-1 и параллельные прямые прямой AnB. Эти прямые пересекают отрезок AB в точках B1, B2, …, Bn-1, которые по теореме Фалеса делят отрезок AB на n равных частей.
Задача 3
Разделите данный отрезок АВ на два отрезка
АХ и ХВ, пропорциональные данным отрезкам P1Q1 и P2Q2.
Слайд 16
Решение:
Проведем какой-нибудь луч АМ, не лежащий
на прямой АВ, и на этом луче отложим последовательно
отрезки АС и CD, равные отрезкам P1Q1 и P2Q2. Затем проведем прямую BD и прямую, проходящую через точку С параллельно прямой BD. Она по теореме Фалеса пересечет отрезок АВ
в искомой точке Х.
