Презентация на тему Вписанные углы

∠АОВ, ∠ВОС, ∠АОС
Дано:
∠МОN=∠EOK, ∠MON : ∠NOK : ∠MOE=

3:4:5
Найти: ∪МЕ, ∪NK, ∪КЕ.

пересекают окружность, называется вписанным углом. Вписанный ∠ АВС опирается

на ∪ АМС.

Вписанный угол

B

O

C

M

A

B

O

C

M

A

опирается
Пусть ∠ АВС – вписанный угол окружности с центром

О, опирающийся на ∪ АС. Докажем, что ∠ АВС = половине ∪ АС (на которую он опирается). Существует 3 возможных случая расположения луча ВО относительно ∠ АВС. Рассмотрим их.

АВС.
Например луч совпадает со стороной ВС в этом случае

∪ АС меньше полуокружности, поэтому ∠ АОС= ∪ АС. Так как ∠ АОС − внешний угол равнобедренного Δ АВО, а ∠ 1 и ∠ 2 при основании равнобедренного треугольника равны, то ∠ АОС = ∠ 1+ ∠ 2 = 2∠1. Отсюда следует, что 2∠1 = ∪АС или ∠ АВС = ∠ 1 = 1/2 ∪ АС.

O

B

2

1

C

A

АВС на два угла.
В этом случае луч ВО пересекает

∪ АС в некоторой точке D. Точка D разделяет ∪ АС на две дуги: АD и DC. По доказанному в п.1 ∠ АВD = 1/2 ∪AD и ∠ DBC= 1/2 ∪ DC. Складывая эти равенства попарно, получаем: ∠ ABD + ∠ DBC = 1/2 ∪ АD + 1/2 ∪ DC, или ∠ АВС= 1/2 ∪ АС.

A

B

C

D

АВС
 АВD− равнобедренный, ∠ AOD - внешний, т.к. 

ABD - равнобедр. То ∠ 1 = ∠ 2 => ∠ AOD = ∠ 1 + ∠ 2 = 2∠1 = ∪ AD, следовательно ∠ ABD = 1/2 ∪ AD.
Аналогично:  ВСО равнобедр. ∠ COD - внешний, следовательно ∠ СВD= 1/2 ∪ CD.
Следовательно, ∠ АВС=1/2 ∪ АС

A

O

B

C

D

на одну и ту же дугу, равны.