Презентация на тему Вычисление объемов пространственных тел с помощью интеграла

объемов различных пространственных фигур, попробуем найти объем лимона. Ни

H

x

Тогда, по свойству объема, сумма объемов всех ломтиков даст нам объем всего лимона.

пространственной фигуры плоскостями, перпендикулярными оси фигуры; причем, если принять

Проще говоря, при бесконечном числе разбиений каждый ломтик «вырождается» в плоское сечение и объем лимона равен бесконечной интегральной сумме площадей таких сечений, зависящих от расстояния x, т.е.

где H – высота тела, а Sсеч. – некоторая функция, зависящая от x, причем x[0;H].

Sсеч.

разбиений бесконечно большим числом (n→), то:

где H – высота

Sсеч.

основания S.
x
H
x[0;H]
0
Площадь сечения не изменяется в любой точке отрезка

x

основания S.
x
x[0;H]
H
0
Площадь сечения не изменяется в любой точке отрезка

x

и площадью основания S.
x
x[0;H]
H
0
Площадь сечения не изменяется в любой

x

площадью основания S.

Площадь сечения, перпендикулярного высоте, не изменяется в

x

H

x[0;H]

0

x

основания S.
H
x
x[0;H]


⇒
x
Площадь сечения изменяется в зависимости от расстояния x,

0

основания S.
H
x




Площадь сечения изменяется в зависимости от расстояния x,

x

x[0;H]

0

основания S.




x
x[0;H]
H
0


x
Площадь сечения не изменяется в любой точке отрезка

основания S.


x
x[0;H]
H

x

Площадь сечения изменяется в зависимости от расстояния x,

0

как бесконечную интегральную сумму площадей сечения с радиусом r,

R

x

Значит, объем всего шара равен:

x

0

r

высотой h и радиусом основания r отличается от вывода

r

R

h

x

Обратите внимание, что в формуле объема шарового сегмента участвует радиус шара (R), а не радиус основания сегмента (r)!