Презентация на тему Связь математики и музыки

Борисенко Екатерина, Ергашова Анастасия, Видинеева Дарья
Руководитель: Акулова

Анна Сергеевна
Цель проекта: 1) Расширить свои познания о взаимосвязи музыки и
математики
2) Найти и узнать новые исследования Пифагора в музыке
3) Рассмотреть применение математики в музыке
Гипотеза: «Музыка есть таинственная арифметика души; она вычисляет,
сама того не сознавая… »
Краткое содержание работы: 1) Открытия Пифагора в музыке
2) Монохорд
3) Логарифмы и музыка
4) Звуковые соотношения
5) Терминология
6) Рациональность и аффект

Аннотация к проекту

Гермес сконструировал первую лиру, натянув струны на панцирь черепахи.

Если древние китайцы, индусы, персы, египтяне, израильтяне и греки использовали вокальную и инструментальную музыку в своих религиозных церемониях как дополнение к поэзии и драме, то Пифагор поднял искусство до истинно достойного состояния, продемонстрировав его математические основания

приписывают открытие диатонической шкалы. Получив основные сведения о священной

теории музыки от жрецов различных мистерий, Пифагор провел несколько лет в размышлениях над законами, управляющими созвучием и диссонансом

известно, но было следующее объяснение:
Однажды, Пифагор

проходил мимо мастерской медника, который склонился над наковальней с куском металла. Заметив различие в тонах между звуками, издаваемыми различными молоточками и другими инструментами при ударе о металл, и тщательно оценив гармонии и дисгармонии, Пифагор получил первый ключ к понятию музыкального интервала в диатонической шкале

в двенадцать фунтов, ко второй — в девять, к

третьей — в восемь и к четвертой — в шесть фунтов. Эти различные веса соответствовали весу молотков медника

Он вошел в мастерскую и после тщательного осмотра инструментов и оценки в уме их веca вернулся в собственный дом, сконструировал балку, и приделал к ней через равные интервалы четыре струны, во всем одинаковые

однострунным инструментом

деревянного ящика, на верхней стороне которого натянуты две струны.

Одна из струн служит только для сравнения тонов, и напряженность ее регулируется посредством колка. Вторая же струна только одним своим концом неподвижно прикреплена к монохорду, другой же перекидывается через блок и натягивается гирею

их взаимных связях и противоречиях, я пришел к выводу,

что математика и музыка находятся на крайних полюсах человеческого духа, что этими двумя антиподами ограничивается и определяется вся творческая духовная деятельность человека, и что между ними размещается все, что человечество создало в области науки и искусства

Г. Нейгауз.

не знали таких слов, как интервал, гамма, музыкальный строй.

В таком случае возникает вопрос: кто же стоял у истоков построения мажора и минора, аккордов и интервалов? А у истоков стоял не кто иной, как великий математик Пифагор. Его открытие в области теории музыки послужило базой для развития математических пропорций в музыке

полуинструмент, полуприбор. Под струной на верхней крышке ученый начертил

шкалу, с помощью которой можно было делить струну на части. Было проделано много опытов, в результате которых Пифагор описал математически звучание натянутой струны

октава. Для построения музыкальной гаммы пифагорейцам требовалось разделить октаву

на красиво звучащие части. Так как они верили в совершенные пропорции, то связали устройство гаммы со средними величинами: арифметическим, геометрическим, гармоническим

– квинтой и октавой. Суть этого метода состоит в

том, что от исходящего звука, например «до» (3/2)0=1, мы движемся по квинтам вверх и вниз и полученные звуки собираем в одну октаву. И тогда получаем:
(3/2)1 =3/2 – соль,
(3/2)2 /2 =9/8 – ре,
(3/2)3 /2 =27/16 – ля,
(3/2)4 /4 =81/64 – ми,
(3/2)5 /4 =243/128 – си,
(3/2)–1 /2 =4/3 – фа.

совершенства окружающего мира владела умами ученых и в последующие

эпохи.В первой половине девятнадцатого века И. Кеплер установил 7 основных гармонических интервалов:
2/1 – октаву,
5/3 – большую сексту,
8/5 – малую сексту,
3/2 – чистую квинту,
4/3 – чистую кварту,
5/4 – большую терцию,
6/5 – малую терцию

как мажорного, так и минорного наклонения. После долгих поисков

гармоничных отношений на «небе», проделав огромную вычислительную работу, Кеплер установил, что отношения экстремальных углов скоростей для некоторых планет близки к гармоническим:
3/2 – Марс,
6/5 – Юпитер,
5/4 – Сатурн.

Около 1700 года немецкий органист А. Веркмайстер осуществил гениальное

решение: отказался от совершенных и несовершенных консонансов пифагорейской гаммы… Сохранив октаву, он разделил ее на 12 равных частей.
С введением этого строя в музыке восторжествовала темперация (от лат. - соразмерность)

красиво звучащие части. Для её построения, оказывается, гораздо удобнее

пользоваться логарифмами соответствующих частот: log2w0, log2w1… log2wm. Октава при этом перейдет в промежуток от log2w0 до log2 2w0 = log2w0 1, т. е. в промежуток длиной 1

многих традиционных примеров народной музыки, который показал, что в

ней чаще всего встречаются интервалы, выражаемые с помощью отношений частот:
2/1 – октава,
3/2 – квинта,
5/4 – терция,
4/3 – кварта,
5/3 – секста,
9/8 – секунда,
15/8 – септима.
Эти и другие выводы показали, что музыкальная шкала должна быть разделена на 12 частей

том, как тесно переплетаются судьбы музыки и математики. Рождение

нового музыкального строя не могло произойти без изобретения логарифмов и развития алгебры иррациональных величин. Без знания логарифмов провести расчеты равномерно-темперированного строя было бы невозможно. Логарифмы стали своеобразной «алгеброй гармонии», на которой выросла темперация

крайне часто. Обычно цель при встрече с ними –

отгадать следующее число или символ (поскольку последовательность в математике – упорядоченный ряд символов). Суть – найти закон, которому подчиняется данная последовательность. Например:
991, 19, 10, 1, 1, 1…
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55…

геометрическая (впрочем, с понятием прогрессия нередко можно встретиться и

в жизни)

музыкальному понятию квинтовый круг
Квинтовый круг представляет собой логику

создания любой тональности. (Для того, чтобы записать музыку в какой-либо тональности, необходимо знать ее тонику и знаки при ключе. Квинтовый круг реализует данные условия)

В. А. Моцарта, Л. В. Бетховена, что позволяет увидеть

новую грань гениальности композиторов. Тот факт, что такая же прогрессия встречается и в современной русской и зарубежной музыке (практически во всех стилях), не наталкивает на мысль о гениальности, поскольку, проанализировав более 25 самых популярных на сегодняшний день мелодий, можно обнаружить не только прогрессии с разностью в квинту, но и в малую секунду, большую секунду, малую терцию, большую терцию и даже просто списанные друг с друга последовательности аккордов

что оно может быть известно человеку совершенно из других

источников. Музыкальный ритм дается как пример, а не как определение. Таким образом, «ритм» можно назвать «интернациональным» в области науки и искусства

и числовые последовательности, часто можно обнаружить ритмичность. В частности,

«простейшими» примерами математических ритмов являются периодические дроби

бы существовать. Она бы просто рассыпалась, так и не

закончив ни одной музыкальной фразы

музыку воедино, можно говорить об эволюции понимания термина музыка.

Абстрактным было понимание музыки в духе Пифагора и Платона, поскольку оно подразумевало именно математическое описание

возникали достаточно давно. Встречаются они и в средние века.

По Декарту способность органов чувств испытывать удовольствие относится к предпосылкам, которые теория музыки должна взять за основу. Она должна учитывать, что форма может быть трудной и разнообразной в той мере, в какой это отвечает естественным желаниям органов чувств

году опубликовал разработанную им математическую систему музыкальной композиции в

виде отдельной книжечки под названием «Калейдофон». Считают, что Дж. Гершвин, работая над оперой «Порги и Бесс», пользовался той же системой. В 1940 году Эйгор Вилли Лобос, используя описанный способ, превратил силуэт Нью-Йорка в пьесу для фортепиано

математики и музыки. Таким образом, математики и музыканты могли

осуществлять связь миров: опосредованного, материального и духовного, чувственного.
О взаимосвязях математики и музыки можно говорить бесконечно долго, открывая все новые и новые, неожиданные и часто странные, одинаковые определения, понятия и смыслы. Безусловно, в данной работе была освещена лишь небольшая часть того неизведанного огромного мира связи музыки и математики, но мы будем разрабатывать и дополнять наш проект