Презентация на тему Квадратные уравнения и методы их решений

новое добудет. Пусть добрым будет ум у вас, А сердце умным

будет.

Самуил Маршак

квадратных уравнениях, научиться разделять квадратные уравнения на разные виды

и уметь решать их.
  Развивающие цели урока:
развивать математическое мышление, память, внимание;
развивать умение сравнивать, обобщать, проводить сравнительный анализ,
строить умозаключения, делать выводы;
привить любовь к математике, желание познать новое.
Воспитательные цели урока:
воспитывать культуру умственного труда;
воспитывать культуру коллективной работы;
воспитывать информационную культуру;
воспитывать потребность добиваться успехов в приобретении знаний;

?
Что значит решить уравнение ?
Что такое степень числа?
Как записывается

вторая степень числа ?
Как читается вторая степень числа ?
Какое уравнение называется линейным ?
Почему?

в древнем Вавилоне и древнем Египте. Сохранились папирусы с

решениями некоторых задач , на составление квадратных уравнений .

Правила их решений схожи с теми , которыми пользуемся мы сейчас
Значительных успехов достигли математики древней Греции и конечно же Диофант

Диофант
Александрийский

Нередко он упоминается как «отец алгебры». Автор «Арифметики» — книги, посвящённой нахождению положительных рациональных решений неопределённых уравнений.

Диофант был первым греческим математиком, который рассматривал дроби наравне с другими числами. Диофант также первым среди античных учёных предложил развитую математическую символику, которая позволяла формулировать полученные им результаты в достаточно компактном виде.

в. Бхаскары.
Соответствующее задаче уравнение:
x2 - 64x =

- 768 и, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до
квадрата, прибавляет к обеим частям 322, получая
затем: x2 - б4х + 322 = -768 + 1024, (х - 32)2 = 256, х - 32= ±16, x1 = 16, x2 = 48. гениальное решение квадратного уравнения
гениальным математиком

Памятник индийскому математику
Брахмагупте

среднеазиатский учёный IX века,
математик, астроном, географ и историк.

Благодаря ему в математике появились
термины «алгоритм» и «алгебра».
Аль-Хорезми впервые представил алгебру
как самостоятельную науку об общих методах
решения линейных и квадратных уравнений, дал классификацию этих уравнений.
Историки науки высоко оценивают как научную, так и популяризаторскую деятельность аль-Хорезми. Известный историк науки Дж. Сартон назвал его «величайшим математиком своего времени и, если принять во внимание все обстоятельства, одним из величайших всех времён».
Аль-Хорезми известен прежде всего своей «Книгой о восполнении и противопоставлении» («Аль-китаб аль-мухтасар фи хисаб аль-джабр ва-ль-мукабала»), которая сыграла важнейшую роль в истории математики. От слова аль-джабр (в названии) произошло слово алгебра. Подлинный арабский текст утерян, однако содержание известно по латинскому переводу 1140 года английского математика Роберта Честерского.

квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их

следующим образом: 1.  «Квадраты равны корням», т. е. ах2 = bх. 2. «Квадраты равны числу», т. е. ах2 = с. 3. «Корни равны числу», т. е. ах = с. 4. «Квадраты и числа равны корням», т. е. ах2 + с = bх. 5. «Квадраты и корни равны числу», т. е. ах2 + bх = с. 6. «Корни и числа равны квадратам», т. е. bх + с = ах2.

Задумывавшаяся как начальное руководство по практической математике «Китаб аль-джабр…» в первой (теоретической) своей части начинается с рассмотрения уравнений первой и второй степени, а в двух заключительных разделах переходит к практическому применению алгебры в вопросах мероопределения и наследования. Слово аль-джабр («восполнение») означало перенесение отрицательного члена из одной части уравнения в другую, а аль-мукабала («противопоставление») — сокращение равных членов в обеих частях уравнения

ля Биготьер 
(1540 — 23 февраля1603) 
Демонстрируя силу своего метода, ученый привел в

своих работах запас формул, которые могли быть использованы для решения конкретных задач. Из знаков действий он использовал «+» и «-», знак радикала и горизонтальную черту для деления. Произведение обозначал словом «in». Виет первым стал применять скобки, которые, правда, у него имели вид не скобок, а черты над многочленом. Но многие знаки, введенные до него, он не использовал. Так квадрат, куб и т. д. обозначал словами или первыми буквами слов.
Знаменитая теорема, устанавливающая связь коэффициентов многочлена с его корнями, была обнародована в 1591 году. Теперь она носит имя Виета, а сам автор формулировал ее так «Если В+D, умноженное на А, минус А в квадрате равно ВD, то А равно В и равно D».

коэффициенты, причём а ≠ 0,
х – переменная
5х2 +

8х – 4 = 0

7х2 + 6х – 1 = 0

2х2 – х + 11 = 0

3х2 + 2х = 16

например :

6 = 0
а = -2, в = 4,

с = 1.

-2х2 + 4х + 1 = 0

а = 4, в = -5, с = -6.

а = 3, в = -2, с = 8.

3х2 - 2х + 8 = 0

а = -3, в = -4, с = -2.

-3х2 - 4х - 2 = 0

0
Коэффициент в = 0 и С = 0
Если в

квадратном уравнении
ах2 + вх + с = 0 хотя бы один из коэффициентов в или с равен нулю,
то такое уравнение называют
неполным квадратным уравнением.

> 0
D = в2 – 4ас ; D=

0

D = в2 – 4ас ; D < 0

D = в2 – 4ас

Уравнение не имеет корней

Уравнение имеет 1 корень

Уравнение имеет 2 корня

Термин ДИСКРИМИНАНТ образован от  латинского discrimino — «разбираю», «различаю». Ввел его английский математик Джеймс Джозеф Сильвестр

 
Дискриминант обозначается латинской буквой  D

по формулам

уравнение?

2. Чему равно произведение корней?

3.

Чему равна сумма корней уравнения?

4. Что можно сказать о знаках корней?

5. Найдите корни методом подбора.

Закрепление изученного :

а≠0
Если а+в+с=0, то х1=1, х2=с/а
Если а+с=в, то х1=-1,

х2=-с/а

2х2 + 3х – 5 = 0

2 + 3 – 5 = 0

2х2 + 6х + 4 = 0

2 + 4 – 6 = 0

х1=1, х2=с/а= - 2,5

х1= -1, х2= -с/а= - 2

называется приведённым.
В нём старший коэффициент а

= 1
Его корни можно найти по теореме, обратной теореме Виета:

Приведенные квадратные уравнения:

0
Сначала определим значения коэффициентов
a = 1,  b = -6,  c = 9.
Вычислим дискриминант:
D = b2 - 4ac =

(-6)2 - 4 · 1 · 9 = 36 - 36 = 0,
D = 0.
Так как D = 0 , то уравнение имеет всего один корень:

Примеры решения квадратных уравнений :

Ответ: х = 3.

коэффициенты:
a = 1,  b = -4,  c = -5
Найдём дискриминант:
D = b2 - 4ac = (-4)2 - 4 ·

1 · (-5) = 16 + 20 = 36,
D > 0.
Уравнение имеет два корня:

x1 = (4 + 6) : 2 = 5,
x2 = (4 - 6) : 2 = -1.
Ответ:  5,  -1.

приведённое квадратное уравнение, используя теорему Виета
Составьте приведённое квадратное уравнение,

используя теорему Виета

1 Известны корни уравнения: 4 и -6.

2 Известны корни уравнения: 2 и -3.

3 Известны корни уравнения: 4 и 5.

Один из корней уравнения х2 +11х +q = 0
равен – 7. Найдите второй корень и число q.

Разность корней уравнения 2х2 – 3х + с = 0 равна 2,5. Найдите с.

имеет квадратное уравнение?
Какой вид имеет неполное квадратное уравнение,
если

b= 0?
Какой вид имеет неполное квадратное уравнение,
если с = 0?
5) Какой вид имеет неполное квадратное уравнение,
если b = 0 и с = 0?
6)По какой формуле вычисляется дискриминант?
7)Сколько корней имеет уравнение, если D =0, D<0, D>0?
8)По какой формуле находят корни квадратного уравнения, если
уравнение решается через дискриминант и D>0 .
9) Как определяются корни уравнения, если коэффициент а =1 ?

Проверь себя

равен 30 см, а площадь 63 см2.
2. Ширина

прямоугольника на 8 см меньше длины, а его площадь равна 96 см2.Найдите стороны прямоугольника.

3. Произведение двух натуральных чисел равно 550, причем одно число больше другого на 3. Найдите эти числа.

4. Одно число меньше другого на 6, а произведение этих чисел равно 432. Найдите эти числа.

5. Найдите длины сторон прямоугольника, периметр которого равен 36 см, а площадь 72 см2.

а

в

б) 5х2 + 3х –

2 = 0;
в) х2 + 10х + 9 = 0; г) 4х2 – 16 = 0;
д) 5х2 – х + 2 = 0; е) 25х2 + 110х + 121 = 0.
Произведение двух натуральных чисел равно 216, причем одно число больше другого на 6. Найдите эти числа.
2. В уравнении х2 + рх – 18 =0 один из корней равен – 9. Найдите другой корень и коэффициент р.

понял, что…
Мне было трудно…
Мне понравилось …
Завтра я хочу на

уроке…
Я решал эти непонятные уравнения…
Я добросовестно работал…
Я преумножил свои знания!...

выбери свой смайлик

– 2х + 7 = 0

2) 1,2х2 +5 – 3x = 0

3) 4x2 – 15x = 0 4) 6x2 - 96 = 0

5) 14x – 3x2 + 19 = 0 6) 5x2 – 4x = 7

Выучить определения и формулы вычисления корней квадратных уравнений

2. Найдите длины сторон прямоугольника, периметр которого равен 38 см, а площадь 84 см2.
3. Один из корней уравнения х2 +11х +q = 0 равен – 7. Найдите второй корень и число q.