Презентация на тему Числовые ряды

…un, соединенных знаком сложения.



Числа u1, u2, …un называются членами

ряда.

Член un называется общим или n – ным членом ряда.

число членов ряда бесконечно, то частичные суммы ряда образуют

числовую последовательность:

сумм;
Числовой ряд расходится, если расходится последовательность его частичных сумм;
Числовой

ряд сходится абсолютно, если сходится ряд из модулей его членов.
Если числовой ряд сходится, то предел S последовательности его частичных сумм носит название суммы ряда:

называется
геометрическим

Геометрический ряд образован из членов геометрической прогрессии.
Известно, что сумма её первых n членов .
Очевидно: это n-ая частичная сумма ряда

называется гармоническим.

Ряд вида

называется обобщенным
гармоническим.

ряд, который является расходящимся.

Если p

больше соответствующих членов гармонического ряда и, значит, он расходится. При p>1 имеем геометрический ряд, в котором |q|<1 ; он является сходящимся.

Итак, обобщенный гармонический ряд сходится при p>1 и расходится при p<1 .

ряда называется такое число R, при котором ряд сходится

, если |x|R .
Областью сходимости степенного ряда называется совокупность всех значений х, при которых данный ряд сходится. Согласно теореме Абеля, если степенной ряд сходится при значении х = х0 ≠ 0, то он сходится и, притом абсолютно, при всех значениях |x| < |x0|. И если степенной ряд расходится при х=х1, то он расходится при всех значениях |x| > |x1|.
Отсюда: если ряд сходится при |x| < |x0| ≠ 0, то выполняется необходимый признак сходимости:
lim un = 0
n ∞

< R ряд сходится, а при |x| > R

ряд расходится. Число R называется радиусом сходимости, а интервал (-R,R) - интервал сходимости степенного ряда. На концах интервала сходимость ряда однозначно неопределена.
Т.е. при x = -R и x = R, ряд может сходиться или расходиться.

(-R;R), функция f(x) является непрерывной, то степенной ряд можно

почленно интегрировать на этом отрезке




в интервале сходимости степенной ряд можно также почленно дифференцировать.

Свойства степенных рядов

Тейлора в окрестности точки x=0


Условие разложения функции в ряд

Маклорена: если функция f(x) дифференцируема в окрестностях точки x0 любое число раз и в некоторой окрестности этой точки lim ⁡Rn(x)=0.

ряд Маклорена для cos x имеет вид

то
можно записать

Отсюда следует: