Презентация на тему Лекция 2 Зонная теория твёрдых телЗонный энергетический спектр электронов в кристаллеЭнергетический спектр металлов, полупроводников, диэлектриковлектор:Колосько Анатолий Григорьевич( agkolosko@mail.ru )

располагаются на отдельных энергетических
уровнях. Их распределение по этим уровням

– дискретный спектр.
Спектр (лат. spectrum «виде́ние») – распределение значений какой-либо величины.

В кристалле же расстояния между атомами настолько малы, что их потенциальные
кривые налагаются друг на друга, образуя общий периодический потенциал, а
их электронные орбитали перекрываются, образуя общее электронное облако,
состоящее из коллективизированных электронов.

уровни электронов в них превращаются в разрешённые
энергетические зоны.

В системе из N атомов, каждый уровень повторяется N раз, поэтому в зоне будет N
состояний. У кристалла размером 1см3 N≈1022, расстояние м/у зонами ΔE≈10‑22 эВ.











Минимум энергетической зоны – дно зоны, максимум – потолок зоны.
Ширина зон внутренних оболочек меньше из-за меньшего перекрытия орбиталей.
Разрешённые зоны разделяются запрещёнными зонами.

Образование энергетических зон

Зонная структура
кристалла
арсенида галлия (GaAs)
для разных направлений
волнового вектора
электрона k

жидкостью:


 

газа, когда расстояния между
ними r >> λD, где

λD – длина волны де Бройля, отражающая их волновую природу:


где h - постоянная Планка, m - масса, v - скорость.
Тепловую скорость электронов можно оценить из МКТ: mv2 = 3kT.
Для электронов с энергией Е = 1 ÷ 10000 эВ
λD = 1 ÷ 10−2нм – это область рентгеновского излучения.

При достаточно низкой температуре и высокой концентрации
частиц начинает выполняться r ~< λD и газ вырождается.
Вырожденный газ – это газ, в котором заполнение
частицами возможных уровней энергии зависит от
наличия на данном уровне других частиц. Его свойства
существенно отличаются от свойств идеального газа.

Энергетический уровень Е называется вырожденным, если ему соответствуют
несколько РАЗЛИЧНЫХ состояний электрона Ψ, то есть на нём могут быть несколько
электронов. Количество таких состояний – кратность вырождения уровня (g).

0 К на каждом энергетическом уровне E
могут разместиться

только два электрона (с разными спинами), поэтому если наш газ
содержит N электронов, то последним будет занят уровень с номером N/2.
Этот последний уровень называется уровнем Ферми (его энергия обозначается EF,
а расстояние до дна зоны, в которой он находится - µ).

Вероятность нахождения е на уровне Ферми равна 50%.
В сущности же, уровень Ферми – это увеличение
энергии системы при добавлении к ней одной частицы.

При Т =0 К все состояния с импульсами
заняты частицами, а с – свободны.

При нагревании некоторые электроны выходят из этой
ферми-сферы в пространстве импульсов и становятся
общими для кристалла, т.н. "электроны проводимости".

температуры
и подчиняется статистике Ферми-Дирака:




здесь Ф-Д – среднее число

частиц с энергией Е,
g − кратность вырождения (g = 1 на рис. справа).

Учтём плотность состояний в зонной структуре ρэл(E) – число состояний,
приходящихся на единичный интервал энергий. Для электронов:



Умножив функцию распределения (E) на ρэл(E)
получим полную функцию распределения
электронов по энергиям N = dn/dE = (E) ∙ ρэл(E),
т.е. число электронов, приходящихся на
единичный интервал энергии.

равновесное тепловое излучение в кристалле
рассматривается как газ квантов

света – фотонов (Е = hv, спиновое число s = 1).

Колебания атомов в кристаллической решётке с определёнными частотами
могут распространяться по кристаллу без затухания. Квант энергии таких тепловых
колебаний называется фононом (Е = hv, s = 0).

Частицы с целым спином
называются бозонами,
с полуцелым называются
фермионами.

К фермионам применяется статистика Ферми-Дирака (см. ранее), к бозонам же
применяется статистика Бозе-Эйнштейна:




У бозонов плотность состояний:

низких концентрациях, когда (E)

вырожденным и статистики Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна превращаются в
распределение Максвелла-Больцмана:




где вместо энергии Ферми EF появляется Eхим –
– химический потенциал, энергия добавления
одной частицы в систему без совершения работы.

Для свободного ферми-газа имеется связь:




Для фермионов , поэтому
полная функция распределения выглядит так:

по трем состояниям (Ψ1, Ψ2, Ψ3):









а) классическая статистика Максвелла-Больцмана.

Частицы различимы и обозначены
разным цветом. Всего девять микросостояний, вероятность каждого 1/9.
б) квантовая статистика Бозе-Эйнштейна. Частицы-бозоны неразличимы. Число
микросостояний шесть, вероятность каждого 1/6.
в) квантовая статистика Ферми-Дирака. Частицы-фермионы неразличимы, а
количество частиц в одном состоянии не может превышать 1. Остаются только три
микросостояния, вероятность каждого 1/3.

Превращение функций
распределения

заполняют уровни в зонной структуре до уровня Ферми.
Верхняя

заполненная зона – валентная, нижняя "пустая" – зона проводимости.
Все твёрдые тела можно разделить на две большие группы:








Вещества с частично заполненной зоной проводимости называются металлами
(электропроводность 107— 108 Ом‑1·cм‑1).
Тела второй группы условно делятся по величине запрещенной зоны Eg
на диэлектрики (с широкой зоной Eg > 3 эВ, электропроводность < 10‑14 Ом‑1·cм‑1):
алмаз (С) - 5,2 эВ, нитрид бора (BN) - 4,6 эВ, оксид алюминия (Аl2О3) - 7 эВ
и на полупроводники (с узкой зоной Eg ≤ 3 эВ):
германий (Ge) - 0,65 эВ, кремний (Si) - 1,08 эВ, арсенид галлия GaAs - 1,4 эВ.

I

II

(Т ≈ 300К) газ носителей будет невырожденным, если
его

концентрация значительно меньше 1025 м-3.
Это условие выполняется практически для всех полупроводников, поэтому
в полупроводниках электронный газ, как правило, невырожден.
В зоне проводимости металлов концентрация электронов превышает 1028 м-3,
поэтому электронный газ металлов всегда является вырожденным.

Как определить вырожден газ или нет?:
электронный газ в полупроводнике n-типа не вырожден,
если уровень Ферми лежит в верхней части запрещенной зоны:

2) электронный газ в полупроводнике n-типа сильно вырожден,
если уровень Ферми лежит в зоне проводимости не менее,
чем на 5kT выше дна зоны проводимости:

3) в промежуточных случаях, когда уровень Ферми лежит в зоне
проводимости менее, чем на 5kT выше дна зоны проводимости
или в верхней части запрещенной зоны, то электронный газ
в полупроводнике n-типа слабо вырожден.