Презентация на тему Лекция 4. Поток.

и разобьем ее на маленькие кусочки S1, S2, …,

Sn с площадями
S1, S2, …, Sn. В каждом из кусочков выберем точки P1, P2, …, Pn, в которых найдем значение
скорости жидкости:


и нормали к
поверхности S:

через каждый участок Si в единицу времени в направлении

нормали.
Численно это значение равно объему параллелепипеда, построенного на Si как на основании с высотой

параллелепипедов, то количество жидкости, протекающее через поверхность S, обозначаемое

Q равно: При таком приближенном вычислении количество жидкости зависит от способа разбиения и выбора точек Pi.
В физике величина не зависит. Считаем, если существует конечный предел

количества жидкости, протекающей через поверхность S. Вспоминая, если предел

существует, то он называется поверхностным интегралом 1-го рода.


Количество жидкости, протекающей через поверхность S равно поверхностному интегралу 1-го рода от скалярного произведения скорости на единичный вектор нормали к поверхности.

электростатического, электромагнитного поля вводится понятие потока.
Определение (Потока).

Потоком векторного поля называется число, обозначаемое буквой П и вычисляемое как:

количеству жидкости, протекающей через поверхность.

§ 2. Вычисление потока.

Если задано векторное поле , и задана поверхность S, нормаль к которой может быть вычислена:

может быть вычислен по определению
При этом поверхность S

должна быть однозначно проектируемой на одну из координатных плоскостей. В этом случае поверхностный интеграл по поверхности S сводится к интегралу по области проектирования поверхности S

проектирования на координатные плоскости. Чтобы получить формулы, заметим, что

нормаль к поверхности может быть представлена:

где - углы которые составляет нормаль с координатными осями.
Тогда, в силу определения скалярного произведения, имеем:

Пользуясь аддитивностью интеграла

на координатные плоскости имеем:

Поверхностные интегралы 2 рода вычисляются с

учетом области проектирования на координатную плоскость. Для вычисления потока методом проектирования на координатные плоскости имеем

какой угол составляет нормаль к поверхности для 1-го интеграла

с осью x, для 2-го с осью y, для
3-го с осью z.
Замечание: В том случае если поток через замкнутую поверхность > 0, то внутри замкнутой поверхности есть источник. Если поток < 0 ,то внутри поверхности находится сток.
Если поток = 0, то говорят, что количество вещества втекающего в поверхность = кол-ву вещества вытекающего из нее.

найти поток через внешнюю поверхность конуса

S:
составляет тупой угол с осью z.

поле возьмем замкнутую поверхность S с внешней

нормалью . Можем получить характеристику поля, называемую потоком, воспользовавшись формулой:


Если взять поверхность S1, то поток будет другим, чем через поверхность S, и понятие потока отражает количественную характеристику векторного поля при наличии некоторой поверхности, и зависит не только от векторного поля но и от поверхности.

знать характеристики векторного поля в каждой точке, независимо от

выбора поверхности S. Если разделить поток на объем поверхности:



средняя плотность потока через поверхность S.

и предполагать что существует предел такого отношения, то получим

плотность потока в точке.
Эту характеристику по определению называют дивергенцией векторного поля.

Определение (дивергенции) Если существует конечный предел отношения потока векторного поля через замкнутую поверхность S к V,

поверхности S в точку, этот предел называется дивергенцией векторного

поля в точке и обозначается: Физический смысл дивергенции - плотность потока векторного поля.
Если div > 0, то в точке - источник,
если < 0, то сток,
если = 0, то ничего не находится

в 3-х мерном пространстве задано
векторное поле

где P, Q, R непрерывны вместе со своими производными


в некоторой области V, то в каждой точке этой области дивергенция может быть вычислена по формуле

S замкнутая, то применяя формулу Остроградского имеем:

Частные производные непрерывны, значит к тройному интегралу применима

теорема о среднем.