Презентация на тему МЕТОД ГАРМОНИЧЕСКОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ

систему в этом режиме можно рассматривать как линейную (точнее

Следовательно, можно считать, что в колебательном режиме на входе нелинейности будет воздействие x ≈ a∙sinωt.

А0 – постоянная составляющая выходного сигнала. При симметричных колебаниях А0 = 0.

Как правило, амплитуда первой гармоники больше амплитуд более высоких гармоник.

В нелинейных системах выделяют нелинейное звено и линейную часть (рисунок 3):

Рисунок 3

Степень полинома знаменателя передаточной функции линейной части обычно выше степени полинома числителя. При этом АЧХ линейной части имеет вид, как на рисунке 4 (с пропорциональным 1 или интегральным 2 регуляторами).

1ω

ω

А(ω)

2ω

3ω

1

2

Рисунок 4

По АЧХ видно, что линейная часть выполняет роль фильтра –

первая гармоника пропускается с большим усилением, чем более высокие гармоники.

Первая гармоника на выходе нелинейности имеет самую боль-шую амплитуду и легче всего проходит через линейную часть.

Обязательное условие: 1-я гармоника наибольшая, линейная часть выполняет роль фильтра!

(2) при выполнении указанных условий для случая симметричных колебаний

Введём обозначения

Уравнение (5) запишется как

Но, согласно (1), a∙sinωt = x.

Тогда

где q(a) и qʹ(a) – коэффициенты гармонической линеаризации.

Правая часть (8) линейна при постоянной амплитуде а (иногда и частоте ω) колеба-ний. Следовательно, в колебательном процессе (например, в режиме автоколебаний) нелинейность можно рассматривать как линейное звено. Но коэффициенты этого ли-нейного звена будут зависеть от амплитуды колебаний.

а АФЧХ (подставим в (9) p = jω)

АФЧХ нелинейности зависит только от амплитуды и не зависит от частоты.

Подставив в (7), получим уравнение гармонически линеаризованной нелинейности:

= F(a∙sinωt) по формулам (10), получим выражения для коэффициентов

Коэффициенты гармонической линеаризации

Коэффициенты ряда Фурье (4) для первой гармоники

Тогда коэффициенты гармонической линеаризации (6):

Примеры определения коэффициентов гармонической линеаризации

Предположим, что нелинейное звено имеет идеальную релейную харак-теристику (рисунок 5, а). При подаче на вход звена синусоидального сигнала, выход-ной сигнал будет иметь вид, показанный на рисунке 5, б).

Пример 1.

(рису-нок 6).
а)
откуда
Рисунок 5.
y =F(x)
ωt=ψ
π
2π
б)
в)
Для удобства обозначим ωt=ψ.
Проинтегрируем на половине

Следовательно, при исследовании колебательных режимов такое нелинейное звено может быть представлено как идеальное линейное с передаточным коэффициентом q.

Характеристика гармонически линеаризованного звена показана на рисунке 5,а штрихо-вой линией. Наклон характеристики (коэффициент q) зависит от амплитуды колебаний.

y

x

c

-c

q

a

Зависимость q(а) показана на рисунке 5,в.

Для коэффициента qʹ:

c

F(x)

2π

π

ψ

x

-c

b

-b

F(x)

ψ1

а)

б)

Рисунок 6.

или

Переключение происходит при x = b, то есть a∙sinψ1 = b.

Отсюда

q

a

b

Следовательно

Зависимость q(a) для такой нелинейности приведена на рисунке 7.

Рисунок 7

c

F(x)

2π

π

ψ

x

-c

b

-b

F(x)

ψ1

а)

б)

Рисунок 8

Пример 3. Релейная петлевая характеристика (рисунок 8).

Рисунок 9

q

a

b

a

b

Учтя, что

Зависимости q(a) и qʹ(a) приведены на рисунке 9.

Проведя аналогичные вычисления, получим

получим

qʹ