Презентация на тему ММИР

экспериментальных средств;
Проведение эксперимента, в котором по возможности наиболее полно

отображаются реальные условия взаимодействия объекта исследования с окружающей средой.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Повторные эксперименты  Массив данных  Систематизация и статистическая обработка 
Изображение в виде
таблиц,
графиков,
эксперимент. функциональных зависимостей.

Преимущество:
с помощью правильно поставленного и

технически оснащенного эксперимента часто удается получить надежные и достоверные результаты
Недостаток:
результаты и закономерности, полученные в данном конкретном эксперименте, не могут быть использованы для обобщений и прогнозов результатов других, даже подобных экспериментов.

ЭМ

возможно решение сложных прикладных задач.

Преимущество:
там, где математическое решение возможно эти методы имеют большие возможности для обобщений, т.е. применения полученных результатов и закономерностей для других подобных задач.

ММ

норма, мера) - это объект, замещающий оригинал и отображающий

его наиболее важные черты и свойства для данного исследования.
В широком смысле модель – это любая система, в каком-то отношении заменяющая либо способная заменить «оригинал», который интересует исследователя.

действительности, в которой отношения между реальными элементами (интересующими исследователя),

заменены отношениями между математическими категориями. Эти отношения записываются в виде уравнений и (или) неравенств, соотношениями формальной логики между показателями (переменными), которые характеризуют функционирование реальной моделируемой системы.

модель → численный алгоритм → программа → расчет на ЭВМ → сравнение с

экспериментальными данными, управление объектом

одной переменной относительно другой, описывается ДУ.

y, yʹ, yʹʹ,..., y(n)) = 0, x є[a, b]

(1)

Решением (интегралом) ДУ называется функция, которая обращает (1) в верное тождество.

т.е. является неоднозначным
Общее решение задает поле решений, т.е. совокупность

кривых.

Для получения частного решения (однозначного) необходимо иметь набор дополнительных условий для определения постоянных С1, С2 , ... , Сn.

 
Дополнительные условия
включают задание значений
функции и ее производных в
определенной точке, т.е. дают
однозначное решение, т.к.
позволяют выбрать кривую

Xo

X

Yo

Y

  y = φ (x, С1, С2 ...,Сn ), x  [a, b]

решения ДУ решения делятся на
задачу с краевыми условиями
(краевую

задачу)

Начальные условия – определяют значения функции и ее производных до (n – 1) порядка включительно в одной точке отрезка интегрирования уравнения (1)
Обычно в начале x = a

Краевые (граничные) условия – определяют значения функции и ее производных до (n – 1) порядка включительно в нескольких точках отрезка интегрирования
Обычно в начале и конце
x = a и x = b

задачу с начальными условиями
(задачу Коши)

некоторой эквивалентной системе уравнений 1-го порядка.

Решением задачи Коши является функция y=y(x), удовлетворяющая ДУ

и начальному условию.

ЗАДАЧА КОШИ для ОДУ 1-го порядка

y ʹ = f (x , y)

x [a, b], x0 – точка, где задано начальное условие.

помощью рядов Тейлора) используется информация о самой интегральной кривой

в предыдущей точке.
Недостаток: трудно оценить допускаемую ошибку (погрешность) вычисления.
В многошаговых методах следующую точку интегральной кривой можно получить, не делая повторных вычислений функции (как в 1-шаговых), а используя приемы прогноза и корреляции.
Недостаток: необходимость получения некоторых начальных точек, сложность организации вычислительной процедуры.

приближенных (а иногда и точных) значений искомого решения на

некоторой выбранной сетке значений аргумента. Решение при этом получается в виде таблицы.
─ ЧМ не позволяют найти общего решения, а могут дать какое-то частное решение.
+ ЧМ применимы к очень широким классам уравнений и всем типам задач для них. При появлении ЭВМ – это основные методы.
ЧМ применяются только для хорошо обусловленных задач!!! ДУ наз. плохо обусловленным, если небольшие изменения начальных условий или эквивалентные этим изменениям небольшие погрешности ЧМ могут сильно исказить решение.
Пример: уʹ= y – x, 0≤x≤100, y(0)=1.
Общее решение : у=1+х+Сех. При х=0 С=0, а у(100)=101. При небольшом изменении начального условия ỹ(0)=1,000001 слегка меняется постоянная ĉ=10-6, но тогда у(100)≈2,7 ∙1037!

y(x)
Выбираем достаточно малый шаг h > 0 и

строим систему равноотстоящих точек xi = a + i·h, i =0, 1, ... n или xi = x 0 + i·h

x1

y1

x2

y2

h = Δx

h = Δx

Основная идея метода Эйлера – использование геометрического смысла первой производной

Заменим производную в т. xi правой разностью

Для i = 0

Δy0

истинное значение Δy0

y ʹ = f(x , y) , x є[a, b],
y (x0 ) = y0

Δy0
истинное значение Δy0
y ʹ = f(x ,

y) , x [a, b],
y (x0 ) = y0

С другой стороны

, т.о.

, i = 0, 1, ... n

Откуда

i = 0, 1, ... n

Обозначим

тогда

, x [a, b]
y (x0 ) = y0

h

h

h

Кривая ABCD – график решения y = y(x).

A

B

C

D

Фактически заменяем искомую кривую y = y(x) некоторой ломаной, звенья которой параллельны касательным, проведенным к графику функции y = y(x) в точках хi.

По мере удаления от начальной точки x = x0 ломаная будет удаляться от истинной кривой и погрешность вычисления накапливается.

Ломаная A Bʹ Cʹ Dʹ– график приближенного решения

Bʹ

Cʹ

Dʹ

Порядок точности – 1-й О(h)

Недостатки метода: малая точность и систематическое накопление ошибок.

Модификации метода Эйлера имеют 1-й – О(h) и 2-й О(h2)порядок точности

y) , x [a, b],
y (x0 ) =

y0

Выбираем достаточно малый шаг h > 0 и строим систему равноотстоящих точек xi = a + i· h, i = 0, 1, ... n или xi = x 0 + i· h

Основная идея метода
Проинтегрируем ДУ из задачи Коши в пределах от x до x + h. Получим равенство

которое посредством интеграла связывает ДУ в двух точках, удаленных друг от друга на расстояние h.

Если решать этот интеграл методом левых прямоугольников

то получим метод Эйлера.

Т.о. метод Эйлера – это метод Рунге – Кутта 1-го порядка.

4-го порядка точности
y i+1

= y i + Δ yi, i = 0, 1, 2, …, n-1

K1(i) = h f (xi , yi)

K2(i)=h f (xi+h/2, yi+K1(i)/2)

K3(i) = h f (xi + h/2 , yi + K2(i)/2)

K4(i) = h f (xi + h , yi + K3(i))

Δ yi = 1 / 6 [ K1(i) + 2 K2(i) +2 K3(i) + K4(i)],

Преимущества методОВ Рунге-Кутта:
Достаточно высокая точность (кроме метода Эйлера);
Являются

явными (т.е. значение уi+1 вычисляется по ранее найденным значениям за определенное число действий по определенным формулам);
Возможность производить вычисления с переменным шагом (там, где функция быстро меняется, нетрудно уменьшить шаг, и наоборот);
Для начала расчета достаточно выбрать сетку хi и задать значение у0, далее вычисления идут по одним и тем же формулам.
─ Недостатки:
На каждом шаге приходится вычислять функцию f (x,y) в нескольких точках;
Трудности при получении оценки погрешности вычисления.

(x), p1 (x) ... pn (x), f(x) – заданные

функции.

В уравнение (2) входят n уравнений, из которых определяют n постоянных общего решения..

между множеством определенного класса функций и множеством чисел.
Если каждой

функции y = f (x) определенного класса ставится в соответствие по некоторому закону определенное числовое значение переменной I, то эту переменную называют функционалом от одной функциональной переменной

I = I [ y] = I [ y (x)] = I [ f (x)],

y – независимая переменная для функционала.

Областью определения функционала является определенный класс функций.

x
Понятие оператора
Оператор – закон преобразования функций - прообразов

в
функции-образы.

Оператор дифференцирования действует по закону

D f = f I

Пример

функция - образ

Функция – прообраз

Функция – прообраз

функция - образ

D ( x3 ) = 3 x2

lν [y], тогда (1) и (2) можно записать в

виде

Ly = f(x), x є [a,b] (3)
lν [y] = γν, ν = 1, 2,..., n

или при n = 2 Ly = f(x), x є [a,b] (4)
l1 [y] = γ1
l2 [y] = γ2

Теорема: Для того, чтобы существовало единственное решение неоднородной КЗ, необходимо и достаточно, чтобы однородная КЗ имела только тривиальное решение y(x) ≡ 0

(x) y II + p1 (x) y I +

p2 (x) y = f (x), x є[a, b],

Пусть p0 (x)=1,

p1 (x) = p (x), p2 (x) = q (x), т.е.

y II + p(x) yI + q(x) y = f(x), x є[a, b], (5)

(6)

h = (b – a) / n.
Координаты

узлов : xi = a + i·h, i = 0, 1, ...n.

x0 и x n – граничные, x1, x2, …, xi , …, x n-1 – внутренние.

Обозначим y (xi ) = yi , p (xi ) = pi , f (xi ) = fi.

X

x0

y0

y = y(x)

x1

y1

xn

y

h

h

x2

y2

x3

h

h

h

xi

y3

yi

yn

Аппроксимируем производные конечно – разностными отношениями, которые позволяют заменить ДУ на СЛАУ, относительно неизвестных значений функции yi в точках xi (i = 0, 1... n)

a

b

yi
yi+1
В центральном узле xi заменим
на
(7)
Формулы

центральных разностей для внутренних узлов

Для граничных узлов используем правые (левые) разности

(8)

(9)

центральными разностями для каждого внутреннего узла (8), а в

уравнениях (6) - разностями для краевых узлов (9).

i = 1, ..., n-1
(10)

(11)

yi II + p(xi) yiI + q(xi) yi = f(xi), i = 1, ..., n -1 , (5)

(6)

В результате система диф. уравнений преобразуется в СЛАУ