Слайд 2
Рассмотрим случай, когда одно и то же испытание
повторяется несколько раз - проводится серия испытаний в одинаковых
условиях, т. е. вероятность появления события А во всех опытах одна и та же (const). Такие испытания называются повторными независимыми.
В задачах определим вероятность появления события А k раз (любое заданное количество раз), в серии из n опытов.
Слайд 3
Примеры независимых испытаний
1. Несколько последовательных бросаний монеты.
2. Несколько
последовательных выниманий карты из колоды, при условии, что карта
возвращается каждый раз и колода перемешивается, т.е. выборка с возвращением (иначе испытания –зависимые).
3. Несколько последовательных бросаний игральной кости…
Слайд 4
Пусть в результате случайного испытания может произойти или
не произойти событие А. Если событие наступило, назовём испытание
успешным, а событие – успехом. Испытание повторяется n раз. При этом соблюдаются условия:
вероятность успеха P(A) = p в каждом испытании одна и та же;
результат любого испытания не зависит от исходов предыдущих.
Слайд 5
Рассмотрим несколько примеров:
1)
2)
Слайд 11
По классическому определению вероятности:
Таких испытаний по условию производится 4. Тогда вероятность, что в 4-х независимых испытаниях будет 0 успехов:
Аналогично:
Слайд 12
Используя т. сложения несовместных событий:
Рассмотрим следующий пример, когда
из двух очень похожих вопросов на один можно ответить,
пользуясь формулой Бернулли, а для другого этой формулы оказывается недостаточно.
Слайд 13
Пример. Система радиолокационных станций ведет наблюдение за группой
объектов, состоящей из 8 единиц. Каждый объект может быть
(независимо от других) потерян с вероятностью 0,1. Найти вероятность того, что хотя бы один из объектов будет потерян.
Решение: Пусть событие А = {потерять системой радиолокационных станций хотя бы один объект}, тогда: Р(А) = Р8(1) + Р8(2) + ... + P8(8) .
Слайд 15
Наивероятнейшее число появлений события в независимых испытаниях
Число k0
(наступление события в независимых испытаниях, в каждом из которых
вероятность появления события равна p) называют наивероятнейшим если вероятность того, что событие наступит в этих испытаниях k0 раз, превышает вероятность остальных возможных исходов испытаний. Его определяют из двойного неравенства
np – q ≤ k0 ≤ np + p, причем:
Слайд 16
а) если число (np – q) – дробное,
то существует одно наивероятнейшее число k0;
б) если число (np
– q) – целое, то существует два наивероятнейших числа, а именно k0 и k0+1;
в) если число np – целое, то наивероятнейшее число k0 = np.
Слайд 17
Пример. В урне 10 белых и 40 чёрных
шаров. Вынимают подряд 14 шаров, причём цвет вынутого шара
регистрируют, а затем шар возвращают в урну. Определить наивероятнейшее число появлений белого шара.
Решение. Здесь n = 14, p = 10/ 50 = 1/ 5, q = 1- p = = 4/ 5. Используя двойное неравенство np - q ≤ k0 ≤ np + p при указанных значениях n, р и q, получим 14 / 5 - 4 / 5 ≤ k0 ≤ 14/ 5 + 1/ 5, т.е. 2 ≤ k0 ≤ 3. Таким образом, задача имеет два решения: k0 = 2, k0 = 3.
Слайд 18
Пример. Вероятность попадания стрелком в цель равна 0,7.
Сделано 25 выстрелов. Определить наивероятнейшее число попаданий в цель.
Решение.
Здесь n = 25, p = 0,7, q = 0,3. Следовательно,
25 · 0,7 – 0,3 ≤ k0 ≤ 25·0,7 + 0,7, т.е. 17,2 ≤ k0 ≤ 18, 2.
Так как k0 – целое число, то k0 = 18.
Слайд 19
Пример. Два равносильных шахматиста играют в шахматы. Что
вероятнее – выиграть две партии из 4-х или 4
из 6 (ничьи во внимание не принимают).
Решение. Т.к. играют равносильные шахматисты то вероятности выигрыша (p) и проигрыша (q) равны ½.
Так как во всех партиях вероятность выигрыша постоянна и безразлично, в какой последовательности будут выиграны партии – применима формула Бернулли.
Слайд 22
б) каждое испытание имеет три, а не два
исхода: выпадение тройки, выпадение единицы, выпадение остальных граней. Пусть
в одном испытании возможны m исходов:1, 2, ..., m, и исход i в одном испытании случается с вероятностью pi, где p1 +. . .+ pm = 1
Обозначим через P (n1, . . . , nm) искомую вероятность того, что в n = n1 +. . .+nm независимых испытаниях исход 1 появился n1 раз, исход 2 - n2 раз, и т.д., исход m – nm раз.
Слайд 24
Формула Пуассона
В том случае, когда вероятность появления события
p мала ( p
велико, для оценки вероятности появления события ровно k раз в n независимых испытаниях используется асимптотическая формула Пуассона:
Значения при фиксированных k и λ можно найти с помощью таблицы.
Слайд 26
Пример. Вероятность искажения одного символа при передаче сообщения
по линии связи равна 0,001. Сообщение считают принятым, если
в нём отсутствуют искажения. Найти вероятность того, что будет принято сообщение, состоящее из 20 слов по 100 символов каждое.
Решение: Обозначим через А событие вероятность которого требуется найти в задаче. Переформулируем задачу в терминах схемы Бернулли n = 2000 - количество символов в сообщении;
Слайд 27
успех: символ не искажается, р = 0,001 -вероятность
успеха; m = 0
Вычислим
λ = np = 2
или
с помощью таблицы.
Слайд 28
Пример. Известно, что процент брака для некоторой детали
равен 0,5%. Контролер проверяет 1000 деталей. Какова вероятность обнаружить
ровно 3 бракованные детали? Какова вероятность обнаружить не меньше трех бракованных деталей?
Решение. Имеем 1000 испытаний Бернулли с вероятностью «успеха» р = 0,005. Применяя пуассоновское приближение с λ= np = 5:
Слайд 29
Ответ: вероятность обнаружить ровно 3 бракованные детали равна
0,14;
обнаружить не менее 3-х бракованных деталей 0,875.
Слайд 30
Пример (задача С. Пепайса). Пепайс предложил Ньютону следующую
задачу. Какое из событий более вероятно:
A = {появление
по крайней мере одной шестерки при подбрасывании 6 костей},
B = { появление хотя бы двух шестерок при подбрасывании 12 костей} и
C = {появление не менее трех шестерок при бросании 18 костей}?
