Презентация на тему Содержание:

над высказываниями
Алгебра высказываний
Алгебра логики
Основные законы логики

законы мышления (формальную логику) из словесных форм, полных неопределенностей,

в математику, где отношения между объектами или высказываниями определяются в виде математических соотношений.
В 1847 год- Буль написал статью на тему «Математический анализ логики»
В 1854 году Буль развил свои идеи в работе «Исследование законов мышления»

Связь между алгеброй логики и двоичным кодированием.

Математический аппарат алгебры логики удобен для описания функционирования аппаратных средств компьютера, поскольку основной системой счисления в компьютере является двоичная, в которой используются цифры 1 и 0, значений логических переменных тоже : “1” и “0”

Историческая справка

быть либо истинно, либо ложно, но не то и

другое одновременно
Обозначается маленькими латинскими буквами a, b, c, …
Высказывания, получаемые из простых с помощью грамматических связок «и», «или», «не», «тогда и только тогда», «либо…либо…», «если …то…» называются составными или формулами
Обозначаются большими латинскими буквами A, B, C, …

.

называется тождественно истинной формулой или тавтологией, А=1
Формула В, всегда

ложная, называется тождественно ложной формулой, В=0

Рассматривая высказывания, мы абстрагируемся от их смысла, нас интересует их истинность или ложность

.

Эквивалентность 
Жегалкинское сложение 
Значение каждой логической

операции описывается таблицей истинности

читается «а дизъюнкция б»
Дизъюнкция двух слагаемых ложна тогда

и только тогда, когда ложны оба слагаемых
Соответствует союзу «ИЛИ»

б»
Конъюнкция двух сомножителей ложна тогда и только тогда,

когда ложны хотя бы один из них
Соответствует союзу «И»

Отрицание лжи есть истина, отрицание истины есть ложь

Соответствует частице «НЕ»

б» или «из а следует б»
Из лжи следует

все, что угодно,
а из истины только истина
Соответствует «если а, то б»

эквивалентно б»
Эквивалентность истинна тогда и только тогда, когда

значение обеих переменных совпадают
Соответствует «тогда и только тогда»

«а жегалкинское сложение б»
Жегалкинское сложение истинно тогда и

только тогда, когда значения переменных различны
Соответствует союзу «ИЛИ,ИЛИ», «ЛИБО»

Используются две алгебры для работы над высказываниями

составляют сигнатуру алгебры высказываний

сигнатуры логическое умножение, логическое сложение и отрицание, которые позволяет

производить тождественные преобразования логических выражений, и множество {0, 1} в качестве носителя, называется алгеброй Буля (алгеброй логики)
Aб= <{0, 1}  ,+, ->

.

только логические переменные, которые принимают значения либо 0 (ложь),

либо 1 (истина)
Функции, которые определены на этих переменных и принимают значения 0 или 1, также называются логическими, или булевыми

или ٨
Дизъюнкция – ۷
Импликация –
Эквивалентность -

Для изменения порядка выполнения логических операций используются круглые скобки.
Например: D = ┐( A ۷ B ٨ C)

построения таблицы истинности для сложного (составного) логического выражения:

D = ┐A ٨ (B ۷ C)

Необходимо спланировать таблицу, то есть установить число строк и столбцов таблицы
При определении числа строк необходимо перебрать все возможные сочетания логических значений 0 и 1 исходных выражений А, В и С, из которых формируется заданное сложное логическое выражение

При добавлении третьего аргумента записываются первые 4 строки таблицы, сочетания с значением третьего аргумента равным 0 , а затем записываются эти же 4 строки, но с значением третьего аргумента, равным 1
Для трех аргументов в таблице оказывается 8 строк

x3 ) = (x1  x2 )x3
Таблица истинности

сложного выражения

z) = ¬ (X=>¬Y) => Z

Построить ее таблицу истинности

Таблица истинности сложного выражения

А ۷ А= А
Двойное отрицание (инволюция): ¬(¬А) = А
Закон

исключения третьего: А۷¬ А=1 (всегда истина)
Закон противоречия: А ٨ ¬ А= 0 (всегда ложь)
Закон коммутативности:
А۷ В= В ۷ А; А ٨ В = В ٨ А
Закон ассоциативности:
(А۷В) ۷ С = А ۷ (В۷С); (А٨В) ٨ С = А ٨ (В٨С)

(А٨С) ۷ (В٨С)
и наоборот:
(А٨В) ۷ (В٨С) =

В ٨ (А۷С)
Сложения относительно умножения:
А۷В٨С = (А۷В) ٨ (А۷С)

Основные законы логики(продолжение)

работы с константами 0 и 1:
А۷1 = 1 0۷1

= 1
А٨1 = А 0٨1 = 0
А٨0 = 0
В ٨ 1= В

Основные законы логики(продолжение)

когда идет дождь
b  a
а тогда и только тогда,

когда б

и обозначить их латинскими буквами
построить дерево синтаксического разбора, в

котором каждой вершине соответствует логическая связка (операция), а концевым вершинам – простые высказывания
записать логическую формулу путем обхода дерева с учетом структуры дерева и старшинства логических операций

реализует логическое сложение
· знаком конъюнкции «&», если реализует логическое умножение
·

М2, если соответствует сложению по модулю два (жегалкинскому сложению)
· «», если реализует функцию эквивалентности

.

функции
Построим совершенную ДНФ (т.е. логическую сумму наборов, на которых

функция задана как истинная)
Упростим СовДНФ с помощью законов алгебры логики
Приведем функцию к виду, удобному для реализации в заданном базисе
Проведем анализ функции и построим схему из функциональных элементов

x4), истинной на наборах
1, 3, 5, 10 и

14 на функциональных элементах И - НЕ

СДНФ =

+
x1 x3x4 = x1 x4(x2 + x3) +

x1 x3x4 =