Презентация на тему Производная функции

ознакомление с её прикладной частью.

производной в математике
4.Применение производной в экономике

из фундаментальных понятий
математики. Оно возникло в XV11 веке.

Независимо друг
от друга И.Ньютон и Г.Лейбниц разработали основные
элементы дифференциального исчисления.

«Метод флюкций». Так Ньютон назвал свою работу,
посвященную основным понятиям математического
анализа. Функцию Ньютон назвал флюентой,
а производную – флюкцией. Обозначения Ньютона
для производных - х* (с точкой) и у* - сохранились
в физике до сих пор.

Исчисление, созданное Ньютоном и Лейбницем,
получило название дифференциального исчисления.
С его помощью был решен целый ряд задач
теоретической механики, физики и астрономии.

и дифференцируема в каждой точке отрезка a ≤ x

≤ b.
функция f(x) возрастает (или убывает) в промежутке a производная f '(х) не отрицательна (или не положительна) в промежутке а<х f '(x) ≥ 0 (или f '(x) ≤ 0)

Пример. Определить промежутки возрастания и убывания функции: у = х3 — х2 — 8х + 2.

убывания функции, найдем производную данной функции и определим значения

х, при которых она положительна или отрицательна:
у' = Зх2 — 2х — 8.
Корни трехчлена: x1= - 4/3, x2=2.
Отсюда:
у' =3(х+4/3)(х-2).

возрастает убывает возрастает
+ -4/3 - 2 +


Ответ: функция возрастает в промежутках
- ∞ < x < -4/3 и 2 < x < + ∞ и убывает в промежутке — 4/3 < х <2.

приближается к неподвижной точке С, секущая СМ при этом

вращается вокруг точки С. Может случиться, что, независимо от того, будет ли точка М приближаться к С в направлении от A к С или от В к С (на черт точка M'), существует одна и та же прямая СТ — предельное положение секущей СМ.

Определение. Прямая СТ, предельное положение секущей СМ, называется касательной к кривой в точке С.
Точка С называется точкой прикосновения или касания.

Если к линии y=f(x) в точке х имеется касательная, непараллельная Оу, то угловой коэффициент касательной равен значению производной f '(х), в точке х.

Если функция y=f(x) имеет определенную производную в точке х, то:
1) в этой точке имеется касательная к графику функции,
2) угловой коэффициент ее равен значению производной f '(x) в точке х.

Производная в математике показывает числовое выражение степени изменений величины, находящейся в одной и тоже точке, под влиянием различных условий.
Формула производной встречается нам ещё в 15 веке. Великий итальянский математик Тартальи, рассматривая и развивая вопрос - на сколько зависит дальность полёта снаряда от наклона орудия - применяет её в своих трудах.
Формула производной часто встречается в работах известных математиков 17 века. Её применяют Ньютон и Лейбниц.
Посвящает целый трактат о роли производной в математике известный учёный Галилео Галилей. Затем производная и различные изложения с её применением стали встречаться в работах Декарта, французского математика Роберваля и англичанина Грегори. Большой вклад по изучению производной внесли такие умы, как Лопиталь, Бернулли, Лангранж и др.

Применение производной в математике

в экономике
Формулы производной широко применимы в настоящее время, например,

в экономическом анализе. Они помогают точно вывести данные об изменении экономики государства. Используя их, можно совершенно точно просчитать, как можно увеличить доход государства и за счёт чего он может быть увеличен.
Формула позволяет увидеть планируемые действия, понять их необходимость, тем самым, помогая экономистам в составлении успешных бизнес-планов.