Презентация на тему Развитие теории вероятностей

Это любое упорядоченное подмножество m из элементов

множества n.
(Порядок важен).
2. Перестановки
Если m = n, то эти размещения называются перестановками.

Сочетания

Это любое подмножество из m – элементов, которые принадлежат множеству, состоящему из n – различных элементов.
(Порядок не важен).
Следствие. Число сочетаний из n элементов по n – m равно число
сочетаний из n элементов по m, т.е.

повторения все 10 цифр?

Решение:

.

2) Т.к. есть среди чисел 0, который не может стоять впереди, поэтому надо еще найти:

3) .

Основные элементы комбинаторики.

{А,В,С,Д}. Записать все возможные сочетания из
указанных букв по

три.

Решение:
Здесь в число сочетаний не включены, например АВС,
ВСА, т.к. у нас уже есть АВС, потому что порядок
элементов в сочетании не учитываются.

Основные элементы комбинаторики.

книг
на полке, чтобы определенные 4 книги стояли рядом?

Решение:
Если

обозначить 4 определенные книги как одно целое, то получается 6 книг, которые можно переставлять
способами.
4 определенные книги можно переставлять
способами.
Тогда всего перестановок по правилу умножения будет

Основные элементы комбинаторики.

10 имеющихся книг.
Сколькими способами это можно сделать?

Решение:

Задача.5.
Имеется 10 белых и 5 черных шаров. Сколькими
способами можно выбрать 7 шаров, чтобы среди них были
3 черных?

Решение: Белые шары: .

Черные шары: . Тогда .

Основные элементы комбинаторики.

человек
разбить на 2 подгруппы, в одной из которых

должно быть
не более 5, а во второй – не более 9 человек?

Решение:
Первая подгруппа может состоять либо из 3, либо из 4,
либо из 5 человек:

Основные элементы комбинаторики.

футболу, лучшие из которых занимают 1-е, 2-е и 3-е

места. Две команды, занявшие последние места не будут участвовать в следующем таком же первенстве. Сколько разных вариантов результата первенства может будут учитывать, если только положение первых трех и последних 2-х команд?
Решение:
1-е три места может будут распределены: способ
Остается 7 команд, две из которых выбывают из следующего первенства т.к. порядок выбывших команд не учитывается => способом.
Тогда число возможных результатов =

Основные элементы комбинаторики.

на одном занятии, если ни один из них не

будет вызван дважды и на занятии может будет опрошено любое количество учащихся, порядок опроса не важен?

Решение:
может не спросить ни одного, т.е. ,
если только 1, то ,
если только 2-х, то и т.д.
Тогда он всего опросит

теории вероятностей
Этапы развития.
Современный период развития теории вероятностей.
Вклад

соотечественников в теорию.
Выводы.

зарождения этой науки и до настоящего времени было несколько

своеобразным. На первом этапе истории этой науки она рассматривалась как занимательный “пустячок”, как собрание курьезных задач, связанных в первую очередь с азартными играми в кости и карты.

этот период, начало которого теряется в веках, ставились и

решались элементарные задачи, которые позже будут отнесены к теории вероятностей. Никаких специальных методов в этот период не возникает. Этот период кончается работами Кардано,  Пачоли, Тарталья и др. С вероятностными представлениями мы встречаемся еще в античности. У Демокрита, Лукреция Кара и других античных ученых и мыслителей мы находим глубокие предвидения о строении материи с беспорядочным движением мелких частиц (молекул), мы встречаем рассуждения о равновозможных исходах (равновероятных) и т. п.

Н. Тарталья

Д. Кардано 

К середине, XVII в. вероятностные вопросы и проблемы, возникающие

в статистической практике, в практике страховых обществ, при обработке результатов наблюдений и в других областях, привлекли  внимание ученых, так как они стали актуальными вопросами. В первую очередь это относится к Б. Паскалю, П. Ферма и X. Гюйгенсу. В этот период вырабатываются первые специфические понятия, такие, как математическое ожидание и вероятность (в форме отношения шансов), устанавливаются и используются первые свойства вероятности: теоремы сложения и умножения вероятностей. В это время теория вероятностей находит свои первые применения в демографии, страховом деле, в оценке ошибок наблюдения, широко используя при этом понятие вероятности.

французские математики Б. Паскаль и П. Ферма, и голландский ученый Х. Гюйгенс
Б. Паскаль
П.Ферма
Х. Гюйгенс

с появления работы Я. Бернулли "Искусство предположений" (1713), в

которой впервые была  строго доказана первая предельная теорема — простейший случай закона больших чисел. К этому периоду, который продолжался до середины XIX в., относятся работы Муавра, Лапласа, Гаусса и др. В центре внимания в это время стоят предельные теоремы. Теория вероятностей начинает широко применяться в различных областях естествознания. И хотя в этот период начинают применяться различные понятия вероятности (геометрическая вероятность, статистическая вероятность), господствующее положение занимает, в особенности после работ Лапласа, так называемое классическое определение вероятности.

Якоб
Бернулли

прежде всего с Петербургской математической школой. За два столетия

развития теории вероятностей главными ее достижениями были предельные теоремы. Но не были выяснены границы их применимости и возможности дальнейшего обобщения. Наряду с огромными  успехами, достигнутыми теорией вероятностей в предыдущий период, были выявлены и существенные недостатки в ее обосновании, это в большой мере относится к недостаточно четким представлениям о вероятности.

с установления аксиоматики. Этого прежде всего требовала практика, так

как для успешного применения теории вероятностей в физике, биологии и других областях науки, а также в технике и военном деле необходимо было уточнить и привести в стройную систему ее основные понятия. Благодаря аксиоматике теория вероятностей стала абстрактно-дедуктивной математической дисциплиной, тесно связанной с другими математическими дисциплинами. Это обусловило небывалую широту исследований по теории вероятностей и ее применениям, начиная от хозяйственно-прикладных вопросов и кончая самыми тонкими теоретическими вопросами теории информации и теории случайных процессов.

в XX в. и связано с именами советских математиков

С. Н. Бернштейна и А. Н. Колмогорова.

Основатели теории вероятностей

С. Н. Бернштейн

А. Н. Колмогоров