Слайд 2
ЕГЭ и ГИА
Аттестация за курс основной и средней
школы проходит не по алгебре, а по математике.
В
контрольно-измерительные материалы ЕГЭ по математике включены задания по алгебре, геометрии (планиметрия, стереометрия) и вероятности. В КИМ ГИА включены задания по алгебре, геометрии (планиметрия), статистике и теории вероятностей.
В 2011-2012 учебном году варианты КИМ ЕГЭ и ГИА по математике будут составляться с использованием Федерального банка тестовых заданий, опубликованного на сайтах: www.mathege.ru и www.mathgia.ru
Слайд 3
Задания по теории вероятностей
Задача по данной теме относится
к списку заданий, чтобы преодолеть минимальный порог, т.е. минимальный
тестовый балл для получения школьного аттестата.
Задания направлены на математические ситуации в повседневной жизни. Такие задачи приходится решать на вокзалах, в банках, в магазинах, при вызове такси и во время ремонта квартиры. Задание является несложным, так как основано на использовании жизненных наблюдений и здравого смысла.
Правильное выполнение такого задания оценивается одним баллом.
Примерное время выполнения учащимся задания изменяется от 3 до 10 минут, с учетом уровня изучения математики в данном учебном заведении, знаний и умений самого выпускника и его психологической готовности к сдаче экзамена.
Слайд 4
Учебно-методичиские пособия
Вероятность и статистика. 5-9 кл.:Пособие для обшеобразоват.
учеб.заведений./ Е.А. Бунимович, В.А. Булычев. – М.: Дрофа, 2002-2010.
Алгебра:
элементы статистики и теории вероятностей: учеб. пособие для учащихся 7-9 кл. общеобразоват. учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк; под ред. С.А. Теляковского. – М.: Просвещение, 2011.
Элементы статистики и вероятность: учеб. пособие для 7-9 кл. обшеобразоват. Учреждений /М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова. – М.: Просвещение, 2011.
ЕГЭ: 3000 задач с ответами по математике. Все задания группы В. Задания В10. /А.Л. Семенов и др.; под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко. – М.: Издательство «Экзамен», 2012.
Государственная итоговая аттестация выпускников 9 классов в новой форме. Математика. 2012. Учебное пособие. / А.В. Семенов и др.; под ред. И.В. Ященко; МЦНМО. – М.: Интеллект-Центр, 2012. –с. 38-41.
Слайд 5
Учебно-методичиские пособия
Математика. Базовый уровень ЕГЭ-2012 (В7-В14). Пособие для
«чайников». / Е.Г. Коннова и др.; под ред. Ф.Ф.
Лысенко, С.Ю. Кулабухова. – Ростов-на-Дону: Легион-М, 2011.
Математика. Подготовка к ЕГЭ-2012. Элементы теории вероятностей и статистика: учебно-методическое пособие. /Под ред. Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова. – Ростов-на-Дону: Легион-М, 2011.
Теория вероятностей и статистика /Ю.Н. Тюрин, А.А. Макаров, И.Р. Высоцкий, И.В. Ященко. – М.: МЦНМО: ОАО «Московские учебники», 2008-2010.
Теория вероятностей и статистика: Методическое пособие для учителя / Ю.Н. Тюрин, А.А. Макаров, И.Р. Высоцкий, И.В. Ященко. – М.: МЦНМО: МИОО, 2011.
Теория вероятностей и статистика. Контрольные работы и тренировочные задачи. 7-8 классы. /В.В. Бородкина, И.Р. Высоцкий, П.И. Захаров, И.В. Ященко. – М.: МЦНМО, 2011.
Решение задач по статистике, комбинаторике и теории вероятностей. 7- 9 классы. /авт.-сост. В.Н. Студенецкая. – Волгоград: Учитель, 2006-2010.
Слайд 6
Список тем по теории вероятностей:
Понятие о случайном опыте
и случайном событии.
Частота случайного события.
Вероятности противоположных событий.
Независимые события.
Умножение вероятностей.
Достоверные
и невозможные события.
Равновозможные события и подсчет их вероятности.
Классическое определение вероятности.
Слайд 7
Выпускник должен знать:
Находить частоту события, используя собственный жизненный
опыт и готовые статистические данные.
Находить вероятности случайных событий в
простейших случаях.
Решать практико-ориентированные задачи, требующих перебора вариантов.
Уметь сравнивать шансы наступления случайных событий и оценивать вероятности их наступления в практических ситуациях.
Слайд 8
Статистика
Среднее арифметическое, размах, мода – статистические характеристики.
Слайд 9
Статистические характеристики:
Средним арифметическим ряда чисел называется частное от
деления суммы этих чисел на их количество.
Модой обычно называют
число ряда, которое встречается в этом ряду наиболее часто (Мо).
Размах – это разность наибольшего и наименьшего значений ряда данных.
Слайд 10
Статистические характеристики:
Медианой упорядоченного ряда чисел с нечётным числом
членов называется число, записанное посередине, а медианой упорядоченного ряда
чисел с чётным числом членов называется среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине.
Слайд 11
Задача:
Проведя учёт числа животноводческих ферм в 15 хозяйствах
района, получили следующий ряд данных:
1, 2,
2, 3, 4, 2, 3, 1, 4, 5, 3, 3, 2, 1, 2.
Найдите для этого ряда среднее арифметическое, размах, моду и медиану.
Среднее арифметическое
Мода
Размах
Упорядочим данные:
1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 5
Медиана Ме=2
Слайд 12
Элементы комбинаторики:
Правило суммы.
Правило произведения.
Перебор возможных вариантов.
Схема- дерево возможных
вариантов.
Формулы комбинаторики.
Слайд 13
Правило суммы:
Если элемент А может быть выбран m
способами, а элемент B- n способами, причём выборы А
и B являются взаимно исключающими, то выбор «либо А, либо B» может быть осуществлён m+n способами.
Слайд 14
Задача
Сколько существует способов выбрать кратное 2 или 3
число из множества чисел: 2,3,4,15,16,20,21,75,28?
Решение
m=5 – кратное 2 (2,4,16,20,28),
n=4
–кратное 3 (3,15,21,75).
По правилу суммы находим :
m + n= 5+4=9 способов.
Ответ: 9 способов.
Слайд 15
Правило произведения
(правило умножения)
Если элемент А может быть выбран
m способами, а элемент B – n способами, то
выбор «A и B» может быть осуществлён m*n способами.
Слайд 16
Задача
На почте продаётся 40 разных конвертов и 25
различных марок. Сколько вариантов покупки конвертов с маркой можно
осуществить?
Решение
Конверт можно выбрать 40 способами, марку – 25 способами. По правилу произведения покупку можно осуществить 40*25= 1000 способами.
Ответ: 1000 способов.
Слайд 17
Перебор возможных вариантов
Сколько трехзначных чисел можно составить
из цифр 1, 3, 5, 7, используя в записи
числа каждую из них не более одного раза?
Ответ: 24 числа
Слайд 18
Схема– дерево возможных вариантов
Слайд 19
Факториал
Произведение натуральных чисел от 1 до n в
математике называют факториалом числа n и обозначают n!
n!
=1* 2* 3* 4*… *n
Например :
5! = 1* 2* 3* 4* 5=120
Слайд 20
Перестановки
Перестановкой из n элементов называется комбинация, в которой
все эти n элементов расположены в определенном порядке.
Перестановки отличаются
друг от друга только порядком расположения элементов.
n = 3
P=3!=1*2*3=6 P = n!
Слайд 21
Размещения
Размещением из n элементов по k называется комбинация,
в которой какие-то k из этих n элементов расположены
в определенном порядке.
Размещения отличаются друг от друга не только порядком расположения элементов, но и тем, какие именно k элементов выбраны в комбинацию.
Слайд 23
Сочетания
Сочетанием из n элементов по k называется комбинация,
в которой из этих n элементов выбраны любые k
без учета их порядка в комбинации.
Таким образом, для сочетания имеет значение только состав выбранных элементов, а не их порядок.
Слайд 25
Различие между перестановками, размещениями, сочетаниями
В случае перестановок берутся
все элементы и изменяется только их местоположение.
В случае размещений
берётся только часть элементов и важно расположение элементов друг относительно друга.
В случае сочетаний берётся только часть элементов и не имеет значения расположение элементов друг относительно друга.
Слайд 26
Теория вероятности
Если опыт, в котором появляется событие А,
имеет конечное число n равновозможных исходов, то вероятность события
А равна
m–число благоприятных исходов,
n - число всех возможных исходов.
Слайд 27
Задачи на теорию вероятностей
По статистике, на каждую 1000
лампочек приходится 3 бракованые. Какова вероятность купить исправную лампочку?
Решение
или 99,7 %.
Слайд 28
Алгоритм нахождения вероятности события А
Определить, в чём состоит
случайный эксперимент (опыт) и какие у него элементарные события
(исход).
Найти общее число возможных исходов n.
Определить какие события благоприятствуют интересующему нас событию А и найти число m. События можно обозначать любой буквой.
Найти вероятность события А по формуле
Слайд 30
Задача №1
В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок:
24 из США, 13 из Мексики, остальные — из Канады.
Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Канады.
Слайд 31
Решение задачи №1
Благоприятное событие А: первой выступает спортсменка
из Канады.
Количество всех событий группы: n=? Соответствует количеству всех
гимнасток. n=50.
Количество благоприятных событий: m=? Соответствует количеству гимнасток из Канады. m=50-(24+13)=13.
Ответ: 0,26
Слайд 32
Задача №2
В среднем из 1400 садовых насосов, поступивших
в продажу, 14 подтекают. Найдите вероятность того, что один
случайно выбранный для контроля насос не подтекает.
Слайд 33
Решение задачи №2
Благоприятное событие А: выбранный насос не
подтекает.
Количество всех событий группы: n=? Соответствует количеству всех насосов.n=1400.
Количество
благоприятных событий: m=? Соответствует количеству исправных насосов m=1400-14=1386.
Ответ: 0,99
Слайд 34
Задача №3
Фабрика выпускает сумки. В среднем на 190
качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите
вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.
Слайд 35
Решение задачи №3
Благоприятное событие А: купленная сумка оказалась
качественной.
Количество всех событий группы: n=? Соответствует количеству всех сумок.
n=190+8 .
Количество благоприятных событий: m=? Соответствует количеству качественных сумок.m=190.
Ответ:0,96
Слайд 36
Задача №4
В случайном эксперименте бросают три игральные кости.
Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков.
Результат округлите до сотых.
Слайд 37
Решение задачи №4
Опыт: выпадают три игральные кости.
Благоприятное событие
А: в сумме выпало 7 очков.
Количество всех событий группы
n=?
1-я кость - 6 вариантов
2-я кость - 6 вариантов n=6*6*6=216
3-я кость - 6 вариантов
Количество благоприятных событий m=?
331 223 511 412 142
313 232 151 421 214 m=18
133 322 115 124 241 Ответ: 0,08
Слайд 38
Задача №5
В случайном эксперименте симметричную монету бросают
четырежды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни
разу.
Слайд 39
Решение задачи №5
Условие можно трактовать так: какова вероятность
того, что все четыре раза выпадет решка?
Количество всех событий
группы n=?
1-й раз - 2 варианта
2-й раз - 2 варианта n=2*2*2*2=16
3-й раз - 2 варианта
4-й раз - 2 варианта
Количество благоприятных событий m=? m=1.
Четыре раза выпала решка.
Ответ: 0,0625
Слайд 40
Задача №6
В случайном эксперименте бросают две игральные кости.
Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков равна 6.
Ответ округлите до сотых.
Слайд 41
Решение задачи №6
Результат каждого бросания – это пара
чисел (a, b), где a и b – числа
от 1 до 6. Поэтому все поле событий состоит из 6х6 = 36 элементов (п = 36 )
Благоприятным исходом для рассматриваемого события является любая пара (a, b), для которой a + b = 6.
Это можно сделать пятью следующими способами:
6 = 1 + 5
6 = 2 + 4
6 = 3 + 3
6= 4 + 2
6 = 5 + 1
( т = 5 )
Таким образом, вероятность заданного события равна
Р = т/п =5/36 = 0,14
Слайд 42
Задача №7
Люда дважды бросает игральный кубик. В сумме
у неё выпало 9 очков. Найдите вероятность того, что
при одном из бросков выпало 5 очков.
Слайд 43
Решение задачи №7
Первое бросание Второе
бросание Сумма очков
3 + 6 = 9
4 + 5 = 9
5 + 4 = 9
6 + 3 = 9
Равновозможных исходов – 4
Благоприятствующих исходов – 2
Вероятность события р = 2/4 = 0,5
Слайд 44
Задача №8
Наташа и Вика играют в кости. Они
бросают игральную кость по одному разу. Выигрывает тот, кто
выбросил больше очков. Если очков выпало поровну, то наступает ничья. В сумме выпало 8 очков. Найдите вероятность того, что Наташа выиграла.
Слайд 45
Решение задачи №8
Наташа
Вика Сумма очков
2 + 6 = 8
3 + 5 = 8
4 + 4 = 8
5 + 3 = 8
6 + 2 = 8
Равновозможных исходов – 5
Благоприятствующих исходов – 2
Вероятность события р = 2/5 = 0,4
Слайд 46
Задача №9
Миша трижды бросает игральный кубик. Какова вероятность
того, что все три раза выпадут чётные числа?
Слайд 47
Решение задачи №9
У Миши равновозможных исходов –
6
· 6 · 6 = 216
Благоприятствующих проигрышу исходов
–
3 · 3·3 = 27
Вероятность события
р = 27/216 = 1/8 = 0,125
Ответ:0,125.
Слайд 48
Задача №10
В случайном эксперименте бросают три игральные кости.
Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 16 очков.
Результат округлите до сотых
Слайд 49
Решение задачи №10
Первая
Вторая Третья
Сумма очков
4 + 6 + 6 = 16
6 + 4 + 6 = 16
6 + 6 + 4 = 16
5 + 5 + 6 = 16
5 + 6 + 5 = 16
6 + 5 + 5 = 16
Равновозможных исходов
6 · 6 · 6 = 216
Благоприятствующих исходов – 6
Вероятность события р = 6/216 = 1/36 = 0,277… = 0,28
Слайд 51
Задача №1
В урне лежат одинаковые шары : 5
белых, 3 красных и 2 зелёных. Саша вынимает один
шар. Найдите вероятность того, что он окажется зелёным.
Решение
Всего в урне лежит 5+3+2=10 шаров, из них 2 – зелёных. Вероятность того, что вынутый шар окажется зелёным, равна 2:10=0,2.
Ответ: 0,2
Слайд 52
Задача №2
В копилке находятся монеты достоинством 2 рубля
– 14 штук, 5 рублей – 10 штук и
10 рублей – 6 штук. Какова вероятность того, что первая монета, выпавшая из копилки, будет достоинством 10 рублей?
Решение
Всего в копилке 14+10+6=30 монет, из них 6 штук – десятирублевых. Вероятность того, что первая монета, выпавшая из копилки, будет достоинством 10 рублей, равна 6:30=1:5=0,2.
Ответ: 0,2
Слайд 53
Задача №3
Подбрасывают две монеты. Какова вероятность того, что
все монеты упадут орлом вверх?
Решение
Рассмотрим полную группу событий.
♦
первая монета упала орлом (о), вторая — решкой (р);
♦ обе монеты упали орлом;
♦ первая монета упала решкой, вторая — орлом;
♦ обе монеты упали решкой.
Мы перечислили все возможные исходы опыта, их всего – 4.
Нас интересуют те исходы опыта, когда обе монеты упали орлом. Такой случай всего один. Стало быть,
N = 1.
Итак, вероятность выпадения двух орлов: Р = 1/4.
Ответ: 0,25
Слайд 54
Задача №4
Подбрасывают две монеты. Какова вероятность того, что
ровно одна монета упадёт орлом вверх?
Решение
Рассмотрим полную группу
событий.
♦ первая монета упала орлом (о), вторая — решкой (р);
♦ обе монеты упали орлом;
♦ первая монета упала решкой, вторая — орлом;
♦ обе монеты упали решкой.
Мы перечислили все возможные исходы опыта, их всего – 4.
Нас интересуют те исходы опыта, когда одна их монет упала орлом. Вверх. Таких случаев два. Стало быть, N = 2.
Итак, вероятность выпадения «орла»:
Р = 2/4=1/2
Ответ: 0,5
Слайд 55
Задача №5
Паша наудачу выбирает двузначное число. Найдите вероятность
того, что оно оканчивается на 7.
Решение
Всего двузначных чисел –
90.
Двузначных чисел, оканчивающихся на 7: 17,27,37,47,57,67,77,87,97 – 9 чисел.
Вероятность того, что наугад выбранное двузначное число оканчивается на 7, равна: 9:90=0,1
Ответ: 0,1
Слайд 56
Задача №6
На экзамене 45 билетов, Антон не успел
выучить 18 из них. Найдите вероятность того, что ему
попадётся выученный билет, если билет берётся наудачу.
Решение
Всего 45 билетов. Антон выучил 45-18=27 билетов. Вероятность того, что ему попадётся выученный билет, 27:45=0,6 равна.
Ответ: 0,6
Слайд 57
Задача №7
На столе лежат 7 синих, 3 красных
и 5 зелёных ручек. Найдите вероятность того, что наугад
взятая ручка окажется красной.
Решение
Всего на столе 7+3+5=15 ручек, из 3 – красных. Вероятность того, что наугад взятая ручка окажется красной, равна 3:15=0,2.
Ответ: 0,2
Слайд 58
Задача №8
В тестовом задании пять вариантов ответа, из
которых только один верный. Какова вероятность правильно решить задание,
если выбирать вариант наугад?
Решение
Если в тестовом задании только один из пяти ответов верный, то вероятность правильно решить задание , если выбирать вариант наугад, равна 1:5=0,2.
Ответ: 0,2.
Слайд 59
Задача № 9
В мешке находятся 2 чёрных и
3 белых шара. Наугад вытаскивают два шара. Какова вероятность
того, что вытащенные шары будут одного цвета?
Решение
Всего в мешке 5 шаров. Вероятность того, что вытащенные два шара будут одного цвета, равна 2:5=0,4.
Ответ: 0,4.
Слайд 60
Задача №10
Из города А в город В можно
добраться поездом, самолётом и на автомобиле. Из города В
в город С можно добраться только поездом и самолётом. Пассажир выбирает для себя транспорт случайным образом. Какова вероятность того, что этот пассажир, добравшийся из города А в город В, воспользовался в обоих случаях самолётом?
Слайд 61
Решение задачи №10
По правилу произведения получаем, что добраться
из города А в город С через город В
можно 3∙2=6 способами. Вероятность того, что пассажир, добравшийся из города А в город В, воспользовался в обоих случаях самолётом, равна 1:6.
Ответ: 1/6.
А
В
С
