Презентация на тему Гл. 4 Урок 2. Касательная к окружности

окружности



р
р
р

< r
d = r
d > r
две общие точки
одна общая

не имеют общих точек

называется касательной к окружности, а их общая точка называется

р

p – касательная
А – точка касания

Определение

точку касания.
Дано: р – касательная;
Окружность (О; r);
А –

Доказательство:
Предположим, что это не так. То есть ОА будет наклонной. Но любая наклонная, проведенная из той же точки, что и перпендикуляр, будет больше перпендикуляра. ОН < ОА, то ОН < r. => d < r Значит, прямая р и окружность имеют две общие точки, что неверно => р ОА.

Теорема (свойство касательной)

общая точка.

p – касательная.
А
Дано: окружность (О; r);
луч р,

Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.

Обратная теорема
(признак касательной)

р

и С – точки касания.
Доказать: АВ = АС;

Доказательство: 1 = 2 = 900 ;
∆ АВО = ∆ АСО (ОА – общая; ОВ = ОС = r).

АВ = АС и 3 = 4.

О

А

B

С

2

4

3

1

Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Свойство отрезков касательных, проведенных из одной точки

центром в точке О.
Построить: касательную к окружности через

О

А

p

в точке О радиуса r в точке В.
Найдите АВ,

В

О

А

r

радиусом 4,5 см и точка А. Через точку

В

О

А

r

C

в точке О радиуса r в точке В.
Найдите АВ,

А

О

В

r

С

?

АС равен 30°. Через точку С проведена касательная, пересекающая

В

О

А

С

D

Доказательство:
∆ АОС = равнобедренный, его боковые стороны равны радиусу окружности, тогда < АСО = 30°.
< СОD – внешний по отношению к ∆ АОС, значит он равен сумме двух внутренних углов этого треугольника, не смежного с ним, т.е. < СОD = 30° + 30°= 60°

< ОСD – прямой, тогда < СDО = 30°. Получаем,
в ∆ АСD два равных угла (< СAD = < CDA = 30°). Значит он – равнобедренный, Ч. Т. Д.