Презентация на тему Тригонометрия

греч. μετρειν (измерять), то есть измерение треугольников) — раздел математики,

в котором изучаются тригонометрические функции и их приложения к геометрии. Данный термин впервые появился в 1595 г. как название книги немецкого математика Бартоломеуса Питискуса (1561—1613), а сама наука ещё в глубокой древности использовалась для расчётов в астрономии, геодезии и архитектуре.

и сферическую тригонометрию. Теория тригонометрических функций (гониометрия) и её

приложения к решению плоских прямоугольных и косоугольных треугольников изучаются в средней школе

— стороны треугольника, А, В, С — противолежащие им

углы (А+В+С = p), ha, hb, hc — высоты, 2p — периметр, S — площадь, 2R — диаметр окружности, описанной около треугольника.

c2 — 2bc cos A,
Теорема косинусов:

могут быть найдены по теореме косинусов или по формулам

вида:

Аристарха иногда использовали хорошо известную теорему, в современной записи —

sin α/ sin β < α/β < tan α/ tan β, где 0° < β < α < 90°, совместно с другими теоремами.

(180—125 лет до н. э.). Гиппарх был первым, кто свёл в

таблицы соответствующие величины дуг и хорд для серии углов. Систематическое использование полной окружности в 360° установилось в основном благодаря Гиппарху и его таблице хорд.

книгах. В первой книге он представил основы для сферических

треугольников. Вторая книга «Сферики» применяет сферическую геометрию к астрономии. Третья книга содержит «теорему Менелая», известную также как «правило шести величин».

произведений противоположных сторон выпуклого вписанного четырёхугольника равна произведению диагоналей,

влечёт за собой эквивалентность четырёх формул суммы и разности для синуса и косинуса. Позднее Птолемей вывел формулу половинного угла. Птолемей использовал эти результаты для создания своих тригонометрических таблиц, хотя, возможно, эти таблицы были выведены из работ Гиппарха.

хотя отдельные теоремы её встречались и раньше. Например, 12-я

и 13-я теоремы второй книги "Начал" Евклида (3 в. дон. э.) выражают по существу теорему косинусов. Плоская тригонометрия получила развитие у аль-Баттани (2-я половина 9 — начало 10 вв.), Абу-ль-Вефа (10 в.), Бхаскара (12 в.) и Насирэддина Туси (13 в.), которым была уже известна теорема синусов. Теорема тангенсов была получена Региомонтаном (15 в.). Дальнейшие работы в области Т. принадлежат Н. Копернику (1-я половина 16 в.), Т. Браге (2-я половина 16 в.), Ф. Виету (16 в.), И. Кеплеру (конец 16 — 1-я половина 17 вв.). Современный вид тригонометрия получила в работах Л. Эйлера (18 в.).

именно замена хорд синусами стала главным достижением Средневековой Индии.

Такая замена позволила вводить различные функции, связанные со сторонами и углами прямоугольного треугольника. Таким образом, в Индии было положено начало тригонометрии как учению о тригонометрических величинах.
Индийские учёные пользовались различными тригонометрическими соотношениями, в том числе и теми, которые в современной форме выражаются как
sin2α + cos2α = 1
sin α = cos(90 – α)
sin(α ± β) = sinα cosβ ± sinβ cosα
Индийцы также знали формулы для кратных углов sinn, cosn, где n = 2,3,4,5.

противолежащего катета к гипотенузе.
Косинус — отношение прилежащего катета к

гипотенузе.
Тангенс — отношение противолежащего катета к прилежащему.
Котангенс — отношение прилежащего катета к противолежащему.
Секанс — отношение гипотенузы к прилежащему катету.
Косеканс — отношение гипотенузы к противолежащему катету.

углов, то есть от 0° до 90° (от 0

до радиан). В XVIII веке Леонард Эйлер дал современные, более общие определения, расширив область определения этих функций на всю числовую ось. Рассмотрим в прямоугольной системе координат окружность единичного радиуса (см. рисунок) и отложим от горизонтальной оси угол θ (если величина угла положительна, то откладываем против часовой стрелки, иначе по часовой стрелке). Точку пересечения построенной стороны угла с окружностью обозначим A. Тогда:
Синус угла θ определяется как ордината точки A.
Косинус — абсцисса точки A.
Тангенс — отношение синуса к косинусу.
Котангенс — отношение косинуса к синусу (то есть величина, обратная тангенсу).
Секанс — величина, обратная косинусу.
Косеканс — величина, обратная синусу.
Для острых углов новые определения совпадают с прежними.

физики и инженерного дела. Большое значение имеет техника триангуляции,

позволяющая измерять расстояния до недалёких звёзд в астрономии, между ориентирами в географии, контролировать системы навигации спутников. Также следует отметить применение тригонометрии в таких областях, как теория музыки, акустика, оптика, анализ финансовых рынков, электроника, теория вероятностей, статистика, биология, медицина (включая ультразвуковое исследование (УЗИ) и компьютерную томографию), фармацевтика, химия, теория чисел (и, как следствие, криптография), сейсмология, метеорология, океанология, картография, многие разделы физики, топография и геодезия, архитектура, фонетика, экономика, электронная техника, машиностроение, компьютерная графика, кристаллография.