Презентация на тему Система счисления

форма записи числа
двоичная система счисления
восьмеричная система счисления
шестнадцатеричная система счисления

чисел при помощи определенного набора символов.
Цифры – это

знаки, при помощи которых записываются числа.
Алфавит системы счисления – это совокупность цифр.

Общие сведения

Древнеславянская система счисления

Вавилонская система счисления

Египетская система счисления

получаются в результате каких-либо операций из узловых чисел.
 100

+

 10 +

=

система счисления. В ней для записи любых чисел используется

всего один символ - палочка, узелок, зарубка, камушек.

Унарная система счисления

Узелковое письмо «кипу»

Зарубки

Примеры узлов «кипу»

Узелки, дощечки

Камушки

если значение цифры не зависит от её положения в

числе.

Здесь алгоритмические числа получаются путём сложения и вычитания узловых чисел с учётом следующего правила:
каждый меньший знак, поставленный справа от большего, прибавляется к его значению, а каждый меньший знак, поставленный слева от большего, вычитается из него.

от её положения в записи числа.
Одна и та же

цифра получает разные значения в зависимости от позиции, которую она занимает в записи числа.
Основание позиционной системы счисления = количеству цифр, составляющих её алфавит.

Алфавит десятичной системы составляют цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Т.е. всего 10 цифр.
Следовательно, основание десятичной системы = 10

В десятичной системе десять единиц одного разряда составляют одну единицу старшего разряда

Позиционная система счисления

н. э.
Арабы стали пользоваться подобной нумерацией около 800 г.

н. э.

Примерно в 1200 г. н. э. эту нумерацию начали применять в Европе.

Десятичная система счисления

число может быть представлено в виде:

Aq =±(an–1qn–1 + an–2

 qn–2 +…+ a0  q0 + a–1q–1 +…+ a–m q–m)

где:
А — число;
q — основание системы счисления;
ai — цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления;
n — количество целых разрядов числа;
m — количество дробных разрядов числа;
qi — «вес» i-го разряда.
Такая запись числа называется развёрнутая форма.

Основная формула

qn–2 +…+ a0  q0 + a–1  q–1

+…+ a–m  q–m)

Примеры записи чисел в развёрнутой форме:

2015 = 2103 + 0102 + 1101 + 5100

0,125 = 110-1 + 210-2 + 510–3

14351,1 = 1104 + 4103 + 3102 + 5101 + 1100 + 110–1

Развёрнутая форма записи числа:

2103 + 0102 + 1101 + 5100

0,125 = 110-1

+ 210-2 + 510–3

14351,1 = 1104 + 4103 + 3102 + 5101 + 1100 + 110–1

Развёрнутая форма записи числа:

счисления с основанием 2.
Двоичный алфавит: 0 и 1.
Для целых

двоичных чисел можно записать:
an–1an–2 … a1a0 = an–12n–1 + an–22n–2 +…+ a020
Пример:

100112 = 124 + 023 + 022 + 121 + 120 = 24 +21 + 20 =1910

Правило перевода двоичных чисел в десятичную систему счисления:

Вычислить сумму степеней двойки, соответствующих единицам в свёрнутой форме записи двоичного числа

счисления с основанием 2.
Двоичный алфавит: 0 и 1.




100112 =

124 + 023 + 022 + 121 + 120 = 24 +21 + 20 =1910

Правило перевода двоичных чисел в десятичную систему счисления:

Вычислить сумму степеней двойки, соответствующих единицам в свёрнутой форме записи двоичного числа

счисления
an–12n–1+an–22n–2+… a121 +a0

= an–12n–2 +…+ a1 (остаток

a0)

2

an–12n–1+an–22n–2+… a1

= an–12n–3+…+ a2 (остаток a1)

2

. . .

an–12n–1+an–22n–2+… a2

= an–12n–4 +…+ a3 (остаток a2)

2

На n-м шаге получим набор цифр: a0a1a2…an–1

целое десятичное число на 2. Остаток записать и обвести

в кружочек.
2) Если полученное частное ≥ 2 , то надо продолжать делить дальше.
3) Двоичный код десятичного числа получают так: последовательно записывают последнее частное
(самое правое в кружочке)
и затем все остальные остатки (в кружочках) справа налево

1

1

1

1

0

десятичных чисел в двоичную систему счисления

380 = 56310
Для перевода целого восьмеричного числа в десятичную

систему счисления следует перейти к его развёрнутой записи и вычислить значение получившегося выражения.

Восьмеричная система счисления

Для перевода целого десятичного числа в восьмеричную систему счисления следует последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на 8 до тех пор, пока не получим частное, равное нулю.

Восьмеричной системой счисления называется позиционная система счисления с основанием q = 8.
Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

+ 681+ 380 = 56310
Для перевода целого восьмеричного числа

в десятичную систему счисления следует перейти к его развёрнутой записи и вычислить значение получившегося выражения.

Восьмеричная система счисления

Для перевода целого десятичного числа в восьмеричную систему счисления следует последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на 8 до тех пор, пока не получим частное, равное нулю.

Восьмеричной системой счисления называется позиционная система счисления с основанием q = 8.
Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C,

D, E, F

Шестнадцатеричная система счисления

Переведём десятичное число 154 в шестнадцатеричную систему счисления:

15410 = 9А16

154

16

9

144

10

(А)

16

Пример:
3АF16 = 3162 +10161 +15160 = 768 +160 +15 = 94310

целых частных на основание новой системы счисления до тех

пор, пока не получим частное, равное нулю;
2) полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления;
3) составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего полученного остатка.

Цифровые весы

Правило перевода целых десятичных чисел в систему счисления с основанием q

от 1 до 16

следующих таблиц сложения и умножения:
Арифметика одноразрядных двоичных чисел
Арифметика многоразрядных

двоичных чисел

Умножение и деление двоичных чисел

так как:
двоичные числа представляются в компьютере с помощью простых

технических элементов с двумя устойчивыми состояниями;
представление информации посредством только двух состояний надёжно и помехоустойчиво;
двоичная арифметика наиболее проста;
существует математический аппарат, обеспечивающий логические преобразования двоичных данных.

Двоичный код удобен для компьютера.
Человеку неудобно пользоваться длинными и однородными кодами.
Специалисты заменяют двоичные коды на величины в восьмеричной или шестнадцатеричной системах счисления.

приняты определённые правила записи чисел.
Система счисления называется позиционной,

если количественный эквивалент цифры в числе зависит от её положения в записи числа.
В позиционной системе счисления с основанием q любое число может быть представлено в виде:
Aq =±(an–1qn–1 + an–2qn–2 +…+ a0q0 + a–1q–1 +…+ a–mq–m)
Здесь:
А — число;
q — основание системы счисления;
ai — цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления;
n — количество целых разрядов числа;
m — количество дробных разрядов числа;
qi — «вес» i-го разряда.

Самое главное

системы счисления?
Цифры каких систем счисления приведены на рисунке?

Объясните, почему позиционные системы счисления с основаниями 5, 10, 12 и 20 называют системами счисления анатомического происхождения.

Как от свёрнутой формы записи десятичного числа перейти к его развёрнутой форме?

Запишите в развёрнутом виде числа:
а) 143,51110
б) 1435118
в) 14351116
г) 1435,118

Запишите десятичные эквиваленты следующих чисел:
а) 1728
б) 2ЕА16
в) 1010102
г) 10,12
д) 2436

Укажите, какое из чисел 1100112, 1114,358 и1В16 является:
а) наибольшим
б) наименьшим

Какое минимальное основание имеет система счисления, если в ней записаны числа 123, 222, 111, 241? Определите десятичный эквивалент данных чисел в найденной системе счисления.

Верны ли следующие равенства?
а) 334 =217
б) 338 =214

Найдите основание х системы счисления, если:
а) 14x=910
б) 2002x=13010

Переведите целые числа из десятичной системы счисления в двоичную:
а) 89
б) 600
в) 2010

Переведите целые числа из десятичной системы счисления в восьмеричную:
а) 513
б) 600
в) 2010

Переведите целые числа из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную:
а) 513
б) 600
в) 2010

Заполните таблицу, в каждой строке которой одно и то же число должно быть записано в системах счисления с основаниями 2, 8, 10 и 16.

Выполните операцию сложения над двоичными числами:
а) 101010 + 1101
б) 1010 + 1010
в) 10101 + 111

Выполните операцию умножения над двоичными числами:
а) 1010 · 11
б) 111 · 101
в) 1010 · 111

Расставьте знаки арифметических операций так, чтобы были верны следующие равенства в двоичной системе:
а) 1100 ? 11 ? 100 = 100000;
б) 1100 ? 10 ? 10 = 100;
в) 1100 ? 11 ? 100 = 0.

Вычислите выражения:
а) (11111012 +AF16):368
б) 1258 + 1012 ·2A16 – 1418
Ответ дайте в десятичной системе счисления.

Задачник «Системы счисления»

любое число может быть представлено в виде:
Aq =±(an–1 qn–1

+ an–2  qn–2 +…+ a0  q0 + a–1  q–1 +…+ a–m  q–m).

Система счисления — это знаковая система, в которой приняты определённые правила записи чисел.
Цифры - знаки, при помощи которых записываются числа.
Алфавит - совокупность цифр системы счисления.

Система счисления

Двоичная

Десятичная

Восьмеричная

Шестнадцатеричная

Римская

Позиционная