Презентация на тему по математике на тему Путешествие в мир фракталов (6 класс)

г. Одинцово, ул. Бульвар Маршала Крылова, д. 20) тел. (498)720-34-56,

e-mail: odinlingvogym@mail.ru

Выполнил:
Леонтьев Владимир Александрович,
ученик 5 «Г» класса
Руководитель:
Соболева Надежда Ивановна
учитель математики МБОУ Одинцовской
лингвистической гимназии

Путешествие в мир
фракталов

только истину, но несравненную красоту».

Бертран Рассел

(поделенный на части) — сложная геометрическая фигура, обладающая свойством

самоподобия (объект, в точности или приближённо совпадающий с частью себя самого, имеет ту же форму, что и одна или более частей), то есть составленная из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком.
Фрактал — это бесконечно самоподобная геометрическая фигура, каждый фрагмент которой повторяется при уменьшении масштаба.
Небольшая часть фрактала содержит информацию о всем фрактале.

Множество Мандельброта — классический образец фрактала.

фрактальной геометрии –
Мандельброт Бенуа (1924—2010 г.)
«Большая часть моих

трудов — это муки рождения новой научной дисциплины»

Бенуа Мандельброт родился в Варшаве в 1924 году в семье литовских евреев.
В 1936 году вся семья эмигрировала во Францию и поселилась в Париже.
В 1958 году Мандельброт поселился в США, где приступил к работе в научно-исследовательском центре IBM в Йорктауне, поскольку IBM в то время занималась интересными Бенуа Мандельброту областями математики.
Исследуя экономику, Мандельброт обнаружил, что произвольные внешне колебания цены могут следовать скрытому математическому порядку во времени, который не описывается стандартными кривыми.

какие-либо параметры называются стохастичными.
Термин «стохастичность» происходит от греческого

слова, обозначающего «предположение».
Эти фракталы используются при моделировании рельефов местности и поверхности морей, процесса электролиза.
Их получают, меняя в итерационном процессе некоторые параметры случайным образом. Этим способом можно нарисовать такие природные объекты, как изрезанные береговые линии, рельеф местности, облака, волны на воде многое другое. Поэтому фрактальные модели сегодня широко применяют в компьютерных играх, создавая в них обстановку, которую уже трудно отличить от реальности.
Типичный представитель данного класса фракталов - плазма.

Плазма 3d.

Плазма

что их строят, используя простые алгебраические формулы. Получают их

с помощью нелинейных процессов в n-мерных пространствах. Самыми известными из них являются множества Мандельброта и Жюлиа, Бассейны Ньютона и т.д.
В голоморфной динамике, множество Жюлиа́ рационального отображения  — множество точек, динамика в окрестности которых в определённом смысле неустойчива по отношению к малым возмущениям начального положения.
Один из методов построения алгебраических фракталов состоит в следующем. Вы берете формулу, подставляете в нее число и получаете результат. Потом подставляете в эту же формулу результат и получаете следующее число. Повторяем эту процедуру много раз. В математике - это называется итерационный процесс. В результате получается набор чисел, которые являются точками фрактала. Удивительно то, что иногда эти формулы до смешного простые - вы их можете найти в любом школьном учебнике алгебры 6-го класса. А вот фигуры получаются поразительной сложности и красоты.

Бассейны Ньютона.

Множество Жюлиа.

Этот тип фракталов получается путем простых геометрических построений. Геометрические

фракталы являются самыми наглядными, т.к. геометрические фракталы обладают самоподобностью, не изменяющейся при изменении масштаба.
В результате бесконечного повторения этой процедуры получается геометрический фрактал. Один из самых известных примеров этого вида - это треугольник Серпинского.

прямой единичной длины. Затем он делится на три равные

части, и вынимается средний отрезок. Это первый шаг итерационной процедуры. На втором шаге подобной процедуре деления на три равные части и последующего удаления середины подвергается каждый из двух оставшихся отрезков. Так продолжая до бесконечности, получим множество Кантора. Суммарная длина получившихся в пределе отрезков равна нулю, так как мы исключили в результате длину, равную 1.

вырежем кусок треугольной формы, который своими вершинами будет упираться

в середины сторон исходного треугольника. Повторим эту же процедуру для трех образовавшихся треугольников (за исключением центрального) и так до бесконечности. Если мы теперь возьмем любой из образовавшихся треугольников и увеличим его - получим точную копию целого. В данном случае мы имеем дело с полным самоподобием.

Серпинского.

году математиком Хельге фон Кохом. Эта кривая вызвала огромный

интерес в математическом мире, поскольку она образует бесконечно длинную линию внутри области конечной площади. Кривая Коха примечательна тем, что непрерывна.

Процесс её построения выглядит следующим образом: берём единичный отрезок, разделяем на три равные части и заменяем средний интервал равносторонним треугольником без этого сегмента. В результате образуется ломаная, состоящая из четырех звеньев длины 1/3. На следующем шаге повторяем операцию для каждого из четырёх получившихся звеньев и т. д…

может быть ваша тумбочка, шкаф или даже обыкновенная коробка?

Дизайнер Такеши Миякава (Takeshi Miyakawa) похоже, задумался над этим вопросом основательно, воссоздав довольно любопытный куб – Fractal 23. Этот чудный представитель семейства мебельных, представляет собой модульную систему и доступен для открытого контакта с четырех сторон.

коралл.
Фрактальные морские животные
Осьминог – морское придонное животное

из отряда головоногих.

Родственник улиток, брюхоногий голожаберный моллюск Главк.

Принцип фрактальности очевиден, когда все фигурки деревянной игрушки выстроены

в ряд, а не вложены друг в друга.
Матрёшка это конструкция состоящая из самоподобных элементов.

Декоративная роспись – хохлома.
Традиционные элементы хохломы – это травяные узоры из цветов, ягод и веток. Снова все признаки фрактальности. Ведь один и тот же элемент можно повторять несколько раз в разных вариантах и пропорциях.

которого ___ заменяется на 4 линии каждая длинной в

1/3 исходной _/\_. Таким образом, с каждой итерацией длинна кривой увеличивается на треть. И если мы сделаем бесконечное число итераций - получим фрактал - снежинку Коха бесконечной длинны. Получается, что наша бесконечная кривая покрывает ограниченную площадь.
Еще одно важное свойство, которым обладает граница снежинки Коха - ее бесконечная длина.

Снежинка Коха

в книге Б.Мандельброта «The Fractal Geometry of Nature» «Фрактальная

геометрия природы» ставший классическим – «Какова длина берега Британии?».
В 1975 году Мандельброт опубликовал свою работу «Какова длина побережья Великобритании?» — первое исследование фракталов.
Ответ на этот вопрос не так прост, как кажется. Все зависит от длины инструмента, которым мы будем пользоваться. Померив берег с помощью километровой линейки, мы получим какую-то длину. Однако мы пропустим много небольших заливчиков и полу островков, которые по размеру намного меньше нашей линейки. Уменьшив размер линейки до 1 метра – мы учтем эти детали ландшафта, и, соответственно длина берега станет больше. Пойдем дальше и измерим длину берега с помощью миллиметровой линейки, мы тут учтем детали, которые больше миллиметра, длина будет еще больше. В итоге ответ – длина берега Британии бесконечна.

В самом простом случае небольшая часть фрактала содержит информацию

о всем фрактале.

лук
Типичный представитель фрактала из растительного мира - цветная

капуста.

Дизайнеры и 3D-художники восторгаются экзотическими формами, похожими на фракталы цветной коралловой капусты.

на компьютерные фракталы.
Фракталы в природе
Павлины – в их

красочном оперенье спрятаны сплошные фракталы.

Разряд молнии-один из примеров природных фракталов. 

использовали (и сейчас используют) фракталы в своём творчестве. Одним

из них был Кацусико Хокусай. Например, на его картине «Большая волна в Канагаве» гребни больших волн состоят из множества более мелких волн.
Если вглядываться в эту картину, то обращаешь внимание, что художник рисуя гребень волны использовал фрактал, как бы состоящий из многочисленных хищных водяных лап. Поэтому часто эту картину используют в качестве иллюстрации к книгам по теории хаоса, фракталам.

изображений природных объектов, таких, как деревья, кусты, горные ландшафты,

поверхности морей и так далее.
В физике фракталы естественным образом возникают при моделировании нелинейных процессов, таких, как течение жидкости, пламя, облака и т.п. Фракталы используются при моделировании пористых материалов, например, в нефтехимии.
В биологии они применяются для моделирования популяций и для описания систем внутренних органов (система кровеносных сосудов).
Так же фрактальную геометрию используют для проектирования антенных устройств.

Значение и применение фракталов

красоту надо увидеть»

Б. Мандельброт