Что такое findslide.org?

FindSlide.org - это сайт презентаций, докладов, шаблонов в формате PowerPoint.


Для правообладателей

Обратная связь

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Яндекс.Метрика

Презентация на тему по математике по теме:Векторы в пространстве

Содержание

СодержаниеПонятие вектора в пространстве.Понятие вектораРавенство векторовСложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число.Сложение и вычитание векторовСумма нескольких векторовУмножение вектора на числоКомпланарные векторыКомпланарные векторыРазложение вектора по трем некомпланарным векторамКоординаты точки и координаты вектора.Прямоугольная система координат в пространствеКоординаты
Полезная модель: Электронное приложение к учебнику Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, СодержаниеПонятие вектора в пространстве.Понятие вектораРавенство векторовСложение и вычитание векторов. Умножение вектора на Понятие вектораОтрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а Понятие вектораЛюбая точка пространства также может рассматриваться как вектор. Такой вектор называют нулевым.ABCDT Понятие вектораДлиной ненулевого вектора AB называется длина отрезка AB.Длина вектора AB обозначается так: Понятие вектораДва ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой Понятие вектораПримеры:Ни сонаправленные, ни противоположно направленные, так как не коллинеарны Равенство векторовВекторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.ABCDENKMAD Равенство векторовЕсли точка А – начало вектора а, то говорят, что вектор Сложение и вычитание векторовПравило треугольника:АBC Сложение и вычитание векторов++ Сложение и вычитание векторовДля любых векторов a, b и c справедливы равенства:		a+b=b+a		(a+b)+c=a+(b+c) Сложение и вычитание векторовРазностью векторов a и b называется такой вектор, сумма Сумма нескольких векторовСумма нескольких векторов не зависит от того, в каком порядке они складываются.АBCО Умножение вектора на числоПроизведением ненулевого вектора а на число k называется такой Умножение вектора на числоДля любых векторов a, b и любых чисел k, l справедливы равенства:		(kl)a=k(la)		k(a+b)=ka+kb		(k+l)a=ka+la Компланарные векторыВекторы называются компланарными, если при откладывании их от одной и той Компланарные векторыЕсли вектор с можно разложить по векторам a и b, т.е. Разложение вектора по трем некомпланарным векторамТеорема:	Любой вектор можно разложить по трем некомпланарным Разложение вектора по трем некомпланарным векторамДоказательство:Дано: a, b и с – некомпланарные Разложение вектора по трем некомпланарным векторамЭто равенство выполняется только тогда, когда x-x1=0, Координаты точки и координаты вектораЕсли через точку пространства проведены три попарно перпендикулярные Координаты точки и координаты вектораПрямые с выбранными на них направлениями называют осями Координаты точки и координаты вектораТочка О разделяет каждую из осей координат на Координаты точки и координаты вектораA (9;5;10)B (4;-3;6)C (9;0;0)D (4;0;5)E (0;3;0)F (0;0;-3)oABCDEFxyz Координаты точки и координаты вектора1) Дано: OE {0;0;-3}		OF {0;3;0}Найти: OE + OFРешение: Координаты точки и координаты вектораЛюбой вектор можно разложить по координатным векторам, т.е. Координаты точки и координаты вектора10 Каждая координата суммы двух или более векторов Координаты точки и координаты вектораДано: a{1;-2;0}, b{0;3;-6}, c{-2;3;1}Найти: Решение: по правилу 30: Координаты точки и координаты вектораВектор, конец которого совпадает с данной точкой, а Координаты точки и координаты вектораOM=OM1 + OM2 + OM3OM1=OM1*i=xiOM2=OM2*j=yjOM3=OM3*k=zkOM=xi + yj + zkOM{x;y;z}Что и требовалось доказать.OxyzNM(x;y;z)M1M2M3 Координаты точки и координаты вектораКаждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала. Координаты точки и координаты вектораКоординаты середины отрезка:Дано: A(x1;y1;z1), B(x2;y2;z2), C(x;y;z)C-середина AB. Найти Координаты точки и координаты вектораКаждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов Координаты точки и координаты вектораВычисление длины вектора по его координатам.Дано: а{x;y;z}. Доказать: xyzOA1A2A3A Координаты точки и координаты вектораРешение:OA1=xiOA2=yjOA3=zkOA=OA1+OA2+OA3==xi+yj+zk=axyzOA1A2A3A Координаты точки и координаты вектораxyzOA1A2A3AЧто и требовалось доказать. Координаты точки и координаты вектораРасстояние между двумя точками.Дано: М1(x1;y1;z1), M2(x2;y2;z2)Решение:Таким образом: Скалярное произведение векторовСкалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними. Скалярное произведение векторовСкалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны Скалярное произведение векторовСкалярный квадрат вектора (т.е. скалярное произведение вектора на себя) равен квадрату его длины. Скалярное произведение векторовКосинус угла α между ненулевыми векторами вычисляется по формуле: Скалярное произведение векторовДля любых векторов a, b и с и любого числа Список использованной литературыЛ. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Л.
Слайды презентации

Слайд 2 Содержание
Понятие вектора в пространстве.
Понятие вектора
Равенство векторов
Сложение и вычитание

СодержаниеПонятие вектора в пространстве.Понятие вектораРавенство векторовСложение и вычитание векторов. Умножение вектора

векторов. Умножение вектора на число.
Сложение и вычитание векторов
Сумма нескольких

векторов
Умножение вектора на число
Компланарные векторы
Компланарные векторы
Разложение вектора по трем некомпланарным векторам
Координаты точки и координаты вектора.
Прямоугольная система координат в пространстве
Координаты вектора
Связь между координатами векторов и координатами точек
Простейшие задачи в координатах
Скалярное произведение векторов
Скалярное произведение векторов
Вычисление углов между прямыми и плоскостями
Список использованной литературы

Слайд 3 Понятие вектора
Отрезок, для которого указано, какой из его

Понятие вектораОтрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом,

концов считается началом, а какой – концом, называется вектором



A
B
C
D


Слайд 4 Понятие вектора
Любая точка пространства также может рассматриваться как

Понятие вектораЛюбая точка пространства также может рассматриваться как вектор. Такой вектор называют нулевым.ABCDT

вектор. Такой вектор называют нулевым.




A
B
C
D
T


Слайд 5 Понятие вектора
Длиной ненулевого вектора AB называется длина отрезка

Понятие вектораДлиной ненулевого вектора AB называется длина отрезка AB.Длина вектора AB обозначается так:

AB.
Длина вектора AB обозначается так:


Слайд 6 Понятие вектора
Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они

Понятие вектораДва ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной

лежат на одной прямой или на параллельных прямых.
Если векторы

коллинеарные и при этом их лучи совпадают, то такие векторы называют сонаправлеными, а если не совпадают – противоположно направленными.

Слайд 7


Понятие вектора
Примеры:
Ни сонаправленные, ни противоположно направленные,
так как

Понятие вектораПримеры:Ни сонаправленные, ни противоположно направленные, так как не коллинеарны

не коллинеарны


Слайд 8 Равенство векторов
Векторы называются равными, если они сонаправлены и

Равенство векторовВекторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.ABCDENKMAD EKAE DKEN DB

их длины равны.
A
B
C
D
E
N
K
M
AD EK
AE DK
EN DB


Слайд 9 Равенство векторов
Если точка А – начало вектора а,

Равенство векторовЕсли точка А – начало вектора а, то говорят, что

то говорят, что вектор а отложен от точки А.
От

любой точки можно отложить вектор, равный данному и притом только один.



M

N


Слайд 10 Сложение и вычитание векторов
Правило треугольника:
А
B
C

Сложение и вычитание векторовПравило треугольника:АBC

Слайд 11 Сложение и вычитание векторов
+
+

Сложение и вычитание векторов++

Слайд 12 Сложение и вычитание векторов
Для любых векторов a, b

Сложение и вычитание векторовДля любых векторов a, b и c справедливы равенства:		a+b=b+a		(a+b)+c=a+(b+c)

и c справедливы равенства:
a+b=b+a
(a+b)+c=a+(b+c)


Слайд 13 Сложение и вычитание векторов
Разностью векторов a и b

Сложение и вычитание векторовРазностью векторов a и b называется такой вектор,

называется такой вектор, сумма которого с вектором b равна

вектору a.
Иными словами: a-b=a+(-b)

-


Слайд 14 Сумма нескольких векторов
Сумма нескольких векторов не зависит от

Сумма нескольких векторовСумма нескольких векторов не зависит от того, в каком порядке они складываются.АBCО

того, в каком порядке они складываются.

А
B
C
О


Слайд 15 Умножение вектора на число
Произведением ненулевого вектора а на

Умножение вектора на числоПроизведением ненулевого вектора а на число k называется

число k называется такой вектор b, длина которого равна

|k| * |a|, причем векторы a и b сонаправлены при k ≥ 0 и противоположно направлены при k < 0.
Произведением нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор

Слайд 16 Умножение вектора на число
Для любых векторов a, b

Умножение вектора на числоДля любых векторов a, b и любых чисел k, l справедливы равенства:		(kl)a=k(la)		k(a+b)=ka+kb		(k+l)a=ka+la

и любых чисел k, l справедливы равенства:

(kl)a=k(la)
k(a+b)=ka+kb
(k+l)a=ka+la


Слайд 17 Компланарные векторы
Векторы называются компланарными, если при откладывании их

Компланарные векторыВекторы называются компланарными, если при откладывании их от одной и

от одной и той же они будут лежать в

одной плоскости.

O

A

B

B1

E

C

D


Слайд 18 Компланарные векторы
Если вектор с можно разложить по векторам

Компланарные векторыЕсли вектор с можно разложить по векторам a и b,

a и b, т.е. представить в виде:
c=xa+yb
Где x и

у – некоторые числа, то векторы a, b и с компланарны.


O

A

A1

B

B1

C


Слайд 19 Разложение вектора по трем некомпланарным векторам
Теорема:
Любой вектор можно

Разложение вектора по трем некомпланарным векторамТеорема:	Любой вектор можно разложить по трем

разложить по трем некомпланарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются

единственным образом.

Слайд 20 Разложение вектора по трем некомпланарным векторам
Доказательство:
Дано:
a, b

Разложение вектора по трем некомпланарным векторамДоказательство:Дано: a, b и с –

и с – некомпланарные векторы, ОА=a, OB=b, OC=c, OP=p

O
A
B
C
P
P2
P1
2)

Векторы коллинеарны, поэтому можно записать так: OP=x*OA + y*OB + z*OC

3) Допустим, что вектор можно разложить
еще по трем числам: x1,y1,z1. Тогда,
используя свойство действий над векторами,
получим:


Слайд 21 Разложение вектора по трем некомпланарным векторам
Это равенство выполняется

Разложение вектора по трем некомпланарным векторамЭто равенство выполняется только тогда, когда

только тогда, когда x-x1=0, y-y1=0, z-z1=0.
Отсюда следует:
5)

Из этой

формулы следует, что векторы a, b и с компланарны. Но это противоречит условию теоремы. Значит x=x1, y=y1 и z=z1.
Теорема доказана.

Слайд 22 Координаты точки и координаты вектора
Если через точку пространства

Координаты точки и координаты вектораЕсли через точку пространства проведены три попарно

проведены три попарно перпендикулярные прямые,
На каждой из них выбрано

направление и выбрана единица измерения, то говорят, что задана
прямоугольная система координат

O





Слайд 23 Координаты точки и координаты вектора
Прямые с выбранными на

Координаты точки и координаты вектораПрямые с выбранными на них направлениями называют

них направлениями называют осями координат.
А их общая точка –

началом координат

O

x

y

z


Слайд 24 Координаты точки и координаты вектора
Точка О разделяет каждую

Координаты точки и координаты вектораТочка О разделяет каждую из осей координат

из осей координат на два луча. Луч, направление которого

совпадает с направлением оси, называется положительной полуосью, а другой луч – отрицательной полуосью.

O

Отрицательная Положительная

x

y

z


Слайд 25 Координаты точки и координаты вектора
A (9;5;10)
B (4;-3;6)
C (9;0;0)
D

Координаты точки и координаты вектораA (9;5;10)B (4;-3;6)C (9;0;0)D (4;0;5)E (0;3;0)F (0;0;-3)oABCDEFxyz

(4;0;5)
E (0;3;0)
F (0;0;-3)

o






A
B
C
D
E
F
x
y
z


Слайд 26 Координаты точки и координаты вектора
1) Дано: OE {0;0;-3}
OF

Координаты точки и координаты вектора1) Дано: OE {0;0;-3}		OF {0;3;0}Найти: OE +

{0;3;0}
Найти: OE + OF

Решение:
OE + OF = {0;0;-3}

+ {0;3;0} = {0;3;-3}

o







A

B

D

E

F

C

x

y

z


Слайд 27 Координаты точки и координаты вектора
Любой вектор можно разложить

Координаты точки и координаты вектораЛюбой вектор можно разложить по координатным векторам,

по координатным векторам, т.е. представить в виде
a=xi+yj+zk
Причем коэффициенты разложения

x, y, z определяются единственным образом

O

x

y

z


Слайд 28 Координаты точки и координаты вектора
10 Каждая координата суммы

Координаты точки и координаты вектора10 Каждая координата суммы двух или более

двух или более векторов равна сумме соответствующий координат этих

векторов.
20 Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов.
30 Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число.

Слайд 29 Координаты точки и координаты вектора
Дано: a{1;-2;0}, b{0;3;-6}, c{-2;3;1}

Найти:

Координаты точки и координаты вектораДано: a{1;-2;0}, b{0;3;-6}, c{-2;3;1}Найти: Решение: по правилу



Решение:
по правилу 30: 2a{2;-4;0}, b{0;-1;2}
По правилу 10

можно вычислить координаты вектора p.

Слайд 30 Координаты точки и координаты вектора
Вектор, конец которого совпадает

Координаты точки и координаты вектораВектор, конец которого совпадает с данной точкой,

с данной точкой, а начало – с началом координат,

называется радиус-вектором данной точки.

Докажем, что координаты любой точки равны соответствующим координатам её радиус-вектора.

Слайд 31 Координаты точки и координаты вектора
OM=OM1 + OM2 +

Координаты точки и координаты вектораOM=OM1 + OM2 + OM3OM1=OM1*i=xiOM2=OM2*j=yjOM3=OM3*k=zkOM=xi + yj + zkOM{x;y;z}Что и требовалось доказать.OxyzNM(x;y;z)M1M2M3

OM3

OM1=OM1*i=xi
OM2=OM2*j=yj
OM3=OM3*k=zk

OM=xi + yj + zk
OM{x;y;z}

Что и требовалось доказать.
O
x
y
z
N
M(x;y;z)
M1
M2
M3


Слайд 32 Координаты точки и координаты вектора


Каждая координата вектора равна

Координаты точки и координаты вектораКаждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала.

разности соответствующих координат его конца и начала.


Слайд 33 Координаты точки и координаты вектора
Координаты середины отрезка:
Дано: A(x1;y1;z1),

Координаты точки и координаты вектораКоординаты середины отрезка:Дано: A(x1;y1;z1), B(x2;y2;z2), C(x;y;z)C-середина AB.

B(x2;y2;z2), C(x;y;z)
C-середина AB. Найти координаты С.

Решение:
OC=(OA+OB)/2

x=(x1+x2)/2
y=(y1+y2)/2
z=(z1+z2)/2
x
y
z



A (x1;y1;z1)
B

(x2;y2;z2)

C (x;y;z)

O


Слайд 34 Координаты точки и координаты вектора


Каждая координата середины отрезка

Координаты точки и координаты вектораКаждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов

равна полусумме соответствующих координат его концов


Слайд 35 Координаты точки и координаты вектора
Вычисление длины вектора по

Координаты точки и координаты вектораВычисление длины вектора по его координатам.Дано: а{x;y;z}. Доказать: xyzOA1A2A3A

его координатам.
Дано: а{x;y;z}. Доказать:
x
y
z
O
A1
A2
A3
A


Слайд 36 Координаты точки и координаты вектора
Решение:
OA1=xi
OA2=yj
OA3=zk

OA=OA1+OA2+OA3=
=xi+yj+zk=a
x
y
z
O
A1
A2
A3
A

Координаты точки и координаты вектораРешение:OA1=xiOA2=yjOA3=zkOA=OA1+OA2+OA3==xi+yj+zk=axyzOA1A2A3A

Слайд 37 Координаты точки и координаты вектора
x
y
z
O
A1
A2
A3
A
Что и требовалось доказать.

Координаты точки и координаты вектораxyzOA1A2A3AЧто и требовалось доказать.

Слайд 38 Координаты точки и координаты вектора
Расстояние между двумя точками.
Дано:

Координаты точки и координаты вектораРасстояние между двумя точками.Дано: М1(x1;y1;z1), M2(x2;y2;z2)Решение:Таким образом:

М1(x1;y1;z1), M2(x2;y2;z2)

Решение:
Таким образом:


Слайд 39 Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух векторов называется произведение

Скалярное произведение векторовСкалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними.

их длин на косинус угла между ними.


Слайд 40 Скалярное произведение векторов


Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю

Скалярное произведение векторовСкалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны

тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны


Слайд 41 Скалярное произведение векторов


Скалярный квадрат вектора (т.е. скалярное произведение

Скалярное произведение векторовСкалярный квадрат вектора (т.е. скалярное произведение вектора на себя) равен квадрату его длины.

вектора на себя) равен квадрату его длины.


Слайд 42 Скалярное произведение векторов

Косинус угла α между ненулевыми векторами

Скалярное произведение векторовКосинус угла α между ненулевыми векторами вычисляется по формуле:

вычисляется по формуле:


Слайд 43 Скалярное произведение векторов
Для любых векторов a, b и

Скалярное произведение векторовДля любых векторов a, b и с и любого

с и любого числа k справедливы равенства:
10 a2 ≥

0, причем a2 > 0 при a ≠ 0
20 ab=ba
30 (a+b)c=ac+bc
40 k(ab)=(ka)b

  • Имя файла: prezentatsiya-po-matematike-po-temevektory-v-prostranstve.pptx
  • Количество просмотров: 107
  • Количество скачиваний: 0