Презентация на тему по математике на тему Определенный интеграл

интеграла.

Формула Ньютона-Лейбница.
Основные методы интегрирования.
Приложения определенного интеграла.

у=f(х) определена на отрезке [а; b], а < b.

Выполним следующие действия.
С помощью точек хо=а, х1 ,х2, …, хn=b разобьем отрезок [а; b] на n частичных отрезков [хо; х1], [х1; х2], …, [xn-1; xn].
В каждом частичном отрезке [xi-1; xi], i= 1,2,…, n выберем произвольную точку ci€[xi-1; xi] и вычислим значение функции в ней, т. е. величину f(ci).

значение функции f(ci) на длину соответствующего частичного отрезка: f(ci)4.

Составим сумму Sn всех таких произведений:
Sn= f(ci)+ f(ci)+…+ f(ci) (1)
Сумма вида. (1) называется uнтегральнoй суммой функции у=f(х) на отрезке [а; b]. Обозначим через λ длину наибольшего частичного отрезка: (i = 1,2, ... ,n).

интегральной суммы (1), когда n→∞ что λ→0. Если при

этом интегральная сумма Sn имеет предел I, который не зависит ни от способа разбиения отрезка [а; b] на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то число I называется определенным интегралом от функции у = f(x) на отрезке [а; b] и обозначается . Таким образом,

(2)

b называются соответственно нижним и верхним пределом интегрирования, f(x)

– подынтегральной функцией, f(x)dx – подынтегральным выражением, х – переменной интегрирования, отрезок [а; b] –областью (отрезком) интегрирования.
Функция у = f(x), для которой на отрезке [а; b] существует определенный интеграл , называется интегрируемой на этом отрезке.

зависит от обозначения переменной интегрирования.





Определенный интеграл с одинаковыми пределами

интегрирования равен нулю:




Для любого действительного числа с:

интеграла, т.е.

где α- некоторое число.

функций равен такой же сумме интегралов от этих функций,

т.е.

части, то интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов

для каждой из возникших частей, т.е. при любых a, b, c:

где a

можно почленно интегрировать:



5.

непрерывна на отрезке [a, b], (где a

такое значение [a, b], что



-среднее значение функции на f(c) на отрезке [a, b].

отрезке [a, b] и F(x) – любая первообразная для

f(x) на [a, b]. Тогда определенный интеграл от функции f(x) на [a, b] равен приращению первообразной F(x) на этом отрезке, т.е.

непрерывную производную на отрезке [α,β], a= φ(α), b= φ(β)

и функция f(x) непрерывна в каждой точке х вида x= φ(t) , где t€[α,β].
Тогда справедливо следующее равенство

и v=v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a,b]. Тогда

y=f(x) неотрицательна и непрерывна на отрезке [ a, b].

Тогда по геометрическому смыслу определенного интеграла площадь S под кривой y=f(x) на [ a, b] численно равна определенному интегралу, т.е.

(см рис.), то формула для вычисления площади такой фигуры

имеет вид

отрезке [a, b] задана непрерывная знакопостоянная функция y=f(x). Объемы

тела вращения, образованного вращением вокруг оси Ох (или оси Оу) криволинейной трапеции, ограниченной кривой y=f(x) (f(x)≥ 0) и прямыми у=0, х=а, х=b, вычисляются соответственно по формулам:

оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной кривой x=φ(y) (φ(y) ≥0)

и прямыми x=0, y=c, y=d, то объем тела вращения равен