Презентация на тему действительные числа

6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, … –

b если существует натуральное число q такое, что выполняется

a – делимое
b – делитель
q – частное

a : b = q

и с ⋮ b, то a ⋮ b.
2о Если

Пример: 144 ⋮ 12 и 12 ⋮ 3, то 144 ⋮ 3.

Пример: 84 ⋮ 3 и 63 ⋮ 3, то (84 + 63) ⋮ 3.

3о Если a ⋮ b и с не делится на b, то (a + c) не делится на b.

Пример: 48 ⋮ 3 и 52 не делится на 3,
то (48 + 52) не делится на 3.

Свойства делимости

c) ⋮ b, то c ⋮ b.
5о Если a

Пример: 48 ⋮ 3 и (48 + 57) ⋮ 3, то 57 ⋮ 3.

Пример: 81 ⋮ 3 и 56 ⋮ 4, то (81∙56) ⋮ (3∙4).

6о Если a ⋮ b и с  N, то ac ⋮ bc, и наоборот.

Пример: 48 ⋮ 12 и 11  N, то
(48∙11) ⋮ (12∙11), и обратно.

Свойства делимости

и с  N, то ac ⋮ b.
8о Если

Пример: 48 ⋮ 3 и 13  N, то (48∙13) ⋮ 3.

Пример: 81 ⋮ 9 и 54 ⋮ 9, то (81∙17 + 54∙28) ⋮ 9.

9о Среди n последовательных натуральных
чисел одно и только одно делится на n.

Свойства делимости

Пример: среди трех последовательных натур. чисел 111, 112, 113 только одно делится на 3. (111 ⋮ 3)

чтобы последняя цифра числа делилась на 2.
Пример: 56738 ⋮

Признаки делимости

Для того, чтобы натуральное число делилось

На 5: необходимо и достаточно, чтобы последняя цифра числа делилась на 5 (0 или 5).

Пример: 56735 ⋮ 5 т.к. 5 ⋮ 5.

На 10: необходимо и достаточно, чтобы цифра единиц была 0.

Пример: 56730 ⋮ 10.

чтобы делилось на 4 число, образованное двумя последними цифрами.
Пример:

Признаки делимости

Для того, чтобы натуральное число делилось

На 25: необходимо и достаточно, чтобы делилось на 25 число, образованное двумя последними цифрами.

Пример: 56775 ⋮ 25, т.к. 75 ⋮ 25.

На 8: необходимо и достаточно, чтобы делилось на 8 число, образованное тремя последними цифрами.

Пример: 56552 ⋮ 8, т.к. 552 ⋮ 8.

чтобы делилось на 125 число, образованное тремя последними цифрами.
Пример:

Признаки делимости

Для того, чтобы натуральное число делилось

На 3: необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 3.

Пример: 56742 ⋮ 3, т.к. (5+6+7+4+2) ⋮ 3.

На 9: необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 9.

Пример: 56545 ⋮ 9, т.к. (5+6+7+4+5) ⋮ 9.

чтобы сумма его цифр, взятых со знаком «+», стоящих

Пример: 8637519 ⋮ 11, т.к. (9-1+5-7+3-6+8) ⋮ 11.

Признаки делимости

Для того чтобы натуральное число делилось

На 7 (на 13): необходимо и достаточно, чтобы сумма чисел, образующих грани, взятых со знаком «+» для нечетных граней и со знаком «–» для четных граней, делилась на 7 (на 13).

Пример: 254 390 815 ⋮ 7, т.к. (815-390+254) ⋮ 7.

2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ …

Примеры: 6! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 = 720

2! = 1 ∙ 2 = 2

1! = 1

0! = 1

+ r
a – делимое
b – делитель
Теорема 4. Если натуральное

Пример: 37 : 15 = 2 (ост. 7)
а = 37, b = 15, тогда 37 = 15 ∙ 2 + 7;
где q = 2, r = 7.

q – неполное частное
r – остаток

Замечание. Если а ⋮ b, то можно считать, что r = 0.

имеет только два делителя – само себя и 1,

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, … – простые числа.

Теорема 1. Любое, натуральное число а > 1 имеет хотя бы один простой делитель.

Теорема 2. Множество простых чисел бесконечно.

Теорема 3. Расстояние между двумя соседними простыми числами может быть больше любого наперед заданного натурального числа.

имеет более двух делителей, то его называют составным числом.
1

4, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 58, 60, 62, 63, … – составные числа

Основная теорема арифметики. Любое натуральное число (кроме 1) либо является простым, либо его можно разложить на простые множители.

Примеры: 210 = 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7; 56 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 7.

24, 32, 48, 96
Делители числа 72:
Автор: Семёнова Елена Юрьевна
Наибольший

1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72

Делители числа 96:

Среди них есть одинаковые:

Их называют общими делителями чисел 72 и 96, а
наибольшее из них называют наибольшим общим
делителем (НОД) чисел 72 и 96.

Найти НОД чисел: 72 и 96.

НОД (72; 96) = 24

1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 24

числа a и b называют взаимно простыми числами, если

Пример: 35 и 36 взаимно простые числа,
т.к. НОД (35; 36) = 1.

…
Кратные числа 12:
Автор: Семёнова Елена Юрьевна
Наименьшее общее кратное (НОК)
12,

Кратные числа 18:

Среди них есть одинаковые:

Их называют общими кратными чисел 12 и 18, а
наименьшее из них называют наименьшим общим
кратным (НОК) чисел 12 и 18.

Найти НОК чисел: 12 и 18.

НОК (12; 18) = 36

36, 72, 108, 144, …

22 ∙ 33 ∙ 5 ∙ 7
2
2
3
3
3
5
7
3780
1890
945
315

2
2
2
2
3
3
7
7

7056
3528
1764
882
441
147
49
7
1

7056 = 24 ∙ 32 ∙ 72

НОД (3780; 7056)=
= 22 ∙ 32 ∙ 7 = 252

НОК (3780; 7056)=
= 24 ∙ 33 ∙ 5 ∙ 72 =
= 105840

записать в виде конечной десятичной дроби или в виде

Рациональные числа – это числа вида ,
где m – целое число, а n – натуральное.
Q - множество рациональных чисел.

Примеры: = 0,17(857142); = 0,(285714);

6 = 6,000… = 6,(0); 7,432 = 7,432000… = 7,432(0).

бесконечную десятичную периодическую дробь можно представить в виде обыкновенной

дроби бесконечную десятичную периодическую дробь :
Пусть х = 1,(23)

Пример (1 способ):

–

дроби бесконечную десятичную периодическую дробь :
Пусть 1,(23) = 1,232323…

Пример (2 способ):

число» происходят от латинского слова ratio – разум (буквальный

Иррациональным числом называют бесконечную десятичную непериодическую дробь.

0,1234567891011121314…
π ≈ 3,1415926535897932…
е ≈ 2,7182818284590452…
√11 ≈ 3,31662479035539…

Примеры: