Слайд 2
Иррациональные числа-общие сведения(3-7 )
Число «Пи»(8-24)
Число «е»(25-35)
Содержание
Слайд 3
Определение
Иррациона́льное число́ — это вещественное число, которое
не является рациональным, то есть которое не может быть
представленным в виде дроби m/n , где m — целое число, n — натуральное число.
Множество иррациональных чисел(I) обычно обозначается таким образом: I=R/Q — множество иррациональных чисел есть разность множеств вещественных и рациональных чисел.
http://gorinalw.3dn.ru/sprav/8klasse-algebra/Koll-sistematika.doc
Слайд 4
История
Иррациональные числа были неявным образом восприняты индийскими математиками
в VII веке до нашей эры, когда Манава (ок.
750 г. до н. э. — ок. 690 г. до н. э.) выяснил, что квадратные корни некоторых натуральных чисел, таких как 2 и 61, не могут быть явно выражены.
Первое доказательство существования иррациональных чисел обычно приписывается Гиппасу из Метапонта (ок. 500 гг. до н. э.), пифагорейцу, который нашел это доказательство, изучая длины сторон пентаграммы.
Слайд 5
Гиппас обосновал, что не существует единой единицы длины,
поскольку предположение о ее существовании приводит к противоречию. Он
показал, что если гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника содержит целое число единичных отрезков, то это число должно быть одновременно и четным, и нечетным. Доказательство выглядело следующим образом:
Отношение длины гипотенузы к длине катета равнобедренного прямоугольного треугольника может быть выражено как a:b, где a и b выбраны наименьшими из возможных.
По теореме Пифагора: a^2 = 2b^2.
Так как a^2 четное, a должно быть четным (так квадрат нечетного числа был бы нечетным).
Поскольку a:b несократима, b обязано быть нечетным.
Так как a четное, обозначим a = 2y.
Тогда a^2 = 4y^2 = 2b^2.
b^2 = 2y^2, следовательно b^2 четное, тогда и b четно.
Однако было доказано, что b нечетное. Противоречие.
Открытие Гиппаса поставило перед пифагорейской математикой серьезную проблему, разрушив предположение, что числа и геометрические объекты едины и неразделимы, лежавшее в основе всей теории.
Слайд 6
Феодор Киренский доказал иррациональность корней натуральных чисел до
17 (исключая, естественно, точные квадраты — 1, 4, 9
и 16), но остановился на этом, так как имевшаяся в его инструментарии алгебра не позволяла доказать иррациональность квадратного корня из 17.
Позже Евдокс Книдский (410 или 408 г. до н. э. — 355 или 347 г. до н. э.) развил теорию пропорций, которая принимала во внимание как рациональные, так и иррациональные отношения. Это послужило основанием для понимания фундаментальной сути иррациональных чисел. Величина стала считаться не числом, но обозначением сущностей, таких как отрезки прямых, углы, площади, объемы, промежутки времени — сущностей, которые могут меняться непрерывно (в современном понимании этого слова).
Слайд 7
Свойства
Всякое вещественное число может быть записано бесконечной десятичной
дробью, при этом иррациональные числа и только они записываются
непериодическими бесконечными десятичными дробями.
Иррациональные числа определяют Дедекиндовы сечения в множестве рациональных чисел, у которых в нижнем классе нет наибольшего, а в верхнем нет наименьшего числа.
Каждое трансцендентное число является иррациональным.
Каждое иррациональное число является либо алгебраическим, либо трансцендентным.
Множество иррациональных чисел всюду плотно на числовой прямой: между любыми двумя числами имеется иррациональное число.
Множество иррациональных чисел несчётно, является множеством второй категории
Слайд 8
http://image.newsru.com/pict/id/large/494379_1039170217.gif
Слайд 9
Число «пи»
-это одно из множества представителей иррациональных чисел
«пи»
— математическая константа, выражающая отношение длины окружности к длине
её диаметра. Обозначается буквой греческого алфавита «пи».
http://www.sensator.ru/images/0000/c/o/content/photo/2007/1/1169734700.26545_5326911.jpg
Слайд 10
Трансцендентность
π — трансцендентное число, это означает, что оно
не может быть корнем какого-либо многочлена с целыми коэффициентами.
Транцендентность числа π была доказана в 1882 году профессором Кенигсбергского, а позже Мюнхенского университета Линдеманом. Доказательство упростил Феликс Клейн в 1894 году.
Поскольку в евклидовой геометрии площадь круга и длина окружности являются функциями числа π, то доказательство трансцендентности π положило конец спору о квадратуре круга, длившемуся более 2,5 тысяч лет.
http://moikompas.ru/img/compas/2008-07-05/irrational_number_pi/29424127.jpg
Слайд 11
Соотношения
Известно много формул числа π:
Франсуа Виет, 1593:
Формула Валлиса:
Ряд
Лейбница:
Слайд 12
Тождество Эйлера:
Т. н. «интеграл Пуассона» или «интеграл Гаусса»
Интегральный
синус:
Слайд 13
История
Впервые обозначением этого числа греческой буквой воспользовался британский
математик Джонс в 1706 году, а общепринятым оно стало
после работ Леонарда Эйлера в 1737 году.Это обозначение происходит от начальной буквы греческих слов περιφέρεια — окружность, периферия и περίμετρος — периметр.История числа π шла параллельно с развитием всей математики. Некоторые авторы разделяют весь процесс на 3 периода: древний период, в течение которого π изучалось с позиции геометрии, классическая эра, последовавшая за развитием математического анализа в Европе в XVII веке, и эра цифровых компьютеров.
http://www.horoshienovosti.com.ua/images/slon/21_11.jpg
Слайд 14
Архимед, возможно, первым предложил математический способ вычисления π.
Для этого он вписывал в окружность и описывал около
неё правильные многоугольники. Принимая диаметр окружности за единицу, Архимед рассматривал периметр вписанного многоугольника как нижнюю оценку длины окружности, а периметр описанного многоугольника как верхнюю оценку. Рассматривая правильный 96-угольник, Архимед получил оценку .
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e7/Domenico-Fetti_Archimedes_1620.jpg/200px-Domenico-Fetti_Archimedes_1620.jpg
Слайд 15
Около 265 года н. э. математик Лю Хуэй
из царства Вэй предоставил простой и точный итеративный алгоритм
(англ.) с любой степенью точности. Он самостоятельно провёл вычисление для 3072-угольника и получил приближённое значение для π по следующему принципу:
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Thumbnails/Liu_Hui.jpg
Слайд 16
Позднее Лю Хуэй придумал быстрый метод вычисления π
и получил приближённое значение 3,1416 только лишь с 96-угольником,
используя преимущества того факта, что разница в площади следующих друг за другом многоугольников формирует геометрическую прогрессию со знаменателем 4.
http://thenews.kz/static/news/b/c/bcpIUb4T.jpg
Слайд 17
Нерешённые проблемы
Неизвестно, являются ли числа π и e
алгебраически независимыми.
Неизвестно, являются ли числа π + e, π
− e, πe, π / e, πe, ππ трансцендентными.
До сих пор ничего не известно о нормальности числа π; неизвестно даже, какие из цифр 0—9 встречаются в десятичном представлении числа π бесконечное количество раз.
Слайд 18
История вычисления
В 1997 году Дэйвид Бэйли, Питер Боруэйн
и Саймон Плуфф открыли способ (англ.) быстрого вычисления произвольной
двоичной цифры числа π без вычисления предыдущих цифр, основанный на формуле
Слайд 19
Мнемонические правила
Чтобы нам не ошибаться,
Надо правильно прочесть:
Три, четырнадцать,
пятнадцать,
Девяносто два и шесть.
Надо только постараться
И запомнить всё как
есть:
Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девяносто два и шесть.
Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девять, два, шесть, пять, три, пять.
Чтоб наукой заниматься,
Это каждый должен знать.
Можно просто постараться
И почаще повторять:
«Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девять, двадцать шесть и пять».
Подсчитайте количество букв в каждом слове в нижеприведенных фразах (без учёта знаков препинания) и запишите эти цифры подряд — не забывая про десятичную запятую после первой цифры «3», разумеется. Получится приближенное число Пи:
Это я знаю и помню прекрасно: Пи многие знаки мне лишни, напрасны.
Кто и шутя, и скоро пожелаетъ Пи узнать число — ужъ знаетъ!
Вот и Миша и Анюта прибежали Пи узнать число они желали.
http://im5-tub.yandex.net/i?id=11258320-03
Слайд 20
Если соблюдать стихотворный размер, можно довольно быстро запомнить:
Три, четырнадцать, пятнадцать, девять два, шесть пять, три
пять
Восемь девять, семь и девять, три два, три восемь, сорок шесть
Два шесть четыре, три три восемь, три два семь девять, пять ноль два
Восемь восемь и четыре, девятнадцать, семь, один
Слайд 21
Дополнительные факты
Неофициальный праздник «День числа пи» отмечается 14
марта, которое в американском формате дат (месяц/день) записывается как
3.14, что соответствует приближённому значению числа π. Считается, что праздник придумал в 1987 году физик из Сан-Франциско Ларри Шоу, обративший внимание на то, что 14 марта ровно в 01:59 дата и время совпадают с первыми разрядами числа Пи = 3,14159.
Памятник числу «пи» на ступенях перед зданием Музея искусств в Сиэтле
http://img11.nnm.ru/c/f/d/2/5/97d0bdb2780f8e951969da99b1c_prev.jpg
Слайд 22
Ещё одной датой, связанной с числом π, является
22 июля, которое называется «Днём приближённого числа Пи» (англ.
Pi Approximation Day), так как в европейском формате дат этот день записывается как 22/7, а значение этой дроби является приближённым значением числа π.
http://uchitel56.rusedu.net/gallery/1409/chislo_Pi.jpg
Слайд 23
А вам слабо?
17 июня 2009 года украинский нейрохирург,
доктор медицинских наук, профессор Андрей Слюсарчук установил мировой рекорд,
запомнив 30 миллионов знаков числа Пи, которые были напечатаны в 20 томах текста. С установлением нового рекорда Андрея Слюсарчука официально поздравил президент Украины Виктор Андреевич Ющенко. Поскольку устное перечисление 30 млн цифр π со скоростью одна цифра в секунду заняло бы почти год (347 дней) при непрерывном перечислении 24 часа в сутки, 7 дней в неделю, то был применён следующий подход для проверки рекорда: во время демонстраций Слюсарчука просят назвать произвольно выбранные проверяющими последовательности цифр числа Пи, расположенные на произвольно выбранных местах произвольных страниц 20-томной распечатки, группированной в упорядоченные таблицы. Он многократно успешно проходит этот тест.
Слайд 24
Хочешь понастоящему развить память? Запомни и расскажи хотя
бы до второго кольца!!! Удачи!!! ☺ ☺
http://s41.radikal.ru/i094/0811/7d/5ba48b5a68fc.jpg
Слайд 26
Число «е»
-это еще одно число из множества представителей
иррациональных чисел
e — математическая константа, основание натурального логарифма, трансцендентное
число. Иногда число e называют числом Эйлера или числом Непера. Обозначается строчной латинской буквой «e». Численное значениe
е= 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 352 662 497 757…
http://www.expert.ru/images/russian_reporter/2008/19/rep_49_064_1.jpg
Слайд 27
Способы определения
Число e может быть определено несколькими
способами.
Через предел:
Как
сумма ряда:
Как единственное число a, для которого выполняется
Как единственное
положительное число a, для которого верно
Слайд 28
Свойства
Данное свойство
играет важную роль в решении дифференциальных уравнений. Так, например,
единственным решением дифференциального уравнения является функция , где c — произвольная константа.
http://image.newsru.com/pict/id/large/1107811_1224161687.gif
Слайд 29
Число e трансцендентно. Это первое число, которое не
было выведено как трансцендентное специально, его трансцендентность была доказана
только в 1873 году Шарлем Эрмитом. Предполагается, что e — нормальное число, то есть вероятность появления разных цифр в его записи одинакова.
Слайд 30
Число e разлагается в бесконечную цепную дробь
следующим образом:
то есть
Слайд 31
Представление Каталана:
http://ru.wikipedia.org/wiki/http://ru.wikipedia.org/wiki/Каталан,_Евгений-Шарль
Слайд 32
История
Данное число иногда называют неперовым в честь шотландского
учёного Непера, автора работы «Описание удивительной таблицы логарифмов» (1614
год). Однако это название не совсем корректно, так как у него логарифм числа x был равен
Константу впервые вычислил швейцарский математик Бернулли при анализе следующего предела:
Слайд 33
Мнемоника
Мнемо́ника (греч. τα μνημονιχα
— искусство запоминания), мнемоте́хника — совокупность специальных приёмов и
способов, облегчающих запоминание нужной информации и увеличивающих объём памяти путём образования ассоциаций (связей). Замена абстрактных объектов и фактов на понятия и представления, имеющие визуальное, аудиальное или кинестетическое представление, связывание объектов с уже имеющейся информацией в памяти различных типов для упрощения запоминания.
Приблизительное значение зашифровано в: «Мы порхали и блистали, но застряли в перевале; не признали наши крали авторалли» (нужно выписать подряд цифры, выражающие число букв в словах следующего стишка, и поставить запятую после первого знака)
Два и семь, восемнадцать,
Двадцать восемь, восемнадцать,
Двадцать восемь, сорок пять,
Девяносто, сорок пять.
Слайд 34
Мнемоническое правило: два и семь, далее два раза
год рождения Льва Толстого (1828), затем углы равнобедренного прямоугольного
треугольника (45, 90 и 45 градусов). Стихотворная мнемофраза, иллюстрирующая часть этого правила: «Экспоненту помнить способ есть простой: две и семь десятых, дважды Лев Толстой»
Числа 45, 90 и 45 можно запоминать как «год победы над фашистской Германией, затем дважды этот год и снова он»
Слайд 35
Интересные факты
В IPO компании Google в 2004 году
было объявлено о намерении компании увеличить свою прибыль на
2 718 281 828 долларов. Заявленное число представляет собой первые 10 цифр известной математической константы.