Презентация на тему Круги Эйлера. Идеальный математик XVIII века (1707 – 1783гг.)

XVIII ВЕКА
(1707 – 1783гг.) (к

300-летию со дня рождения)

учебной литературе по математике столь же часто, как имя

Эйлера. В Энциклопедии можно найти сведения о шестнадцати формулах, уравнениях, теоремах и т. д., носящих имя Эйлера.

материях, написанные к некоторой немецкой принцессе...", где появились впервые

«круги Эйлера»

того, чтобы облегчить наши размышления».
При решении целого ряда

задач Леонард Эйлер использовал идею изображения множеств с помощью кругов и они получили название «круги Эйлера».

множествами. На этих диаграммах изображаются все возможные варианты пересечения

множеств. Количество пересечений (областей) n определяется по формуле:
N=2n,
где n - количество множеств.
Таким образом, если в задаче используется два множества, то N=22=4, если три множества, то N=23=8, если четыре множества, то N=24=16. Диаграммы Эйлера-Венна используются в основном для N<=4.

(универсум) U (в контексте задачи) - множество, содержащее все

элементы рассматриваемой задачи: элементы всех множеств задачи и элементы, не входящие в них.
Пустое множество Ø (в контексте задачи) - множество, не содержащее ни одного элемента рассматриваемой задачи. На диаграмме строят пересекающиеся множества, заключают их в универсум.

помощью этих кругов:
N-множество натуральных чисел,
Z – множество

целых чисел,
Q – множество рациональных чисел,
R – множество вех действительных чисел.

города умеет говорить только по-русски, часть – только по-башкирски

и часть умеет говорить на обоих языках. По-башкирски говорят 85%, по-русски 75%. Сколько процентов жителей говорят на обоих языках?

обоих языках)

своих квартирах какие-нибудь растения. Шестеро из них разводят кактусы,

а пятеро — фиалки. И только у двоих есть и кактусы и фиалки. Угадайте, сколько у меня подруг?

11 полузащитников,
17 защитников
Вратари
3 могут быть нападающими

и защитниками,
10 защитниками и полузащитниками,
6 нападающими и защитниками
1 и нападающим, и защитником, и полузащитником.
Вратари не заменимы.
Сколько в команде «Баймак» вратарей?

всего 30 футболистов. Значит вратарей будет 30-28=2. Ответ: 2

вратаря.

30 детей - отличники учебы,
28 - участники олимпиад,

42 - спортсмены.
8 учащихся одновременно участники олимпиад и спортсмены,
10 – участники олимпиад и отличники,
5 – спортсмены и отличники учебы,
3 – и отличники, и участники олимпиад, и спортсмены.
Сколько отдыхающих не относятся ни к одной из групп?

из групп)
Ответ: 20 детей.

кругов Эйлера (диаграмм Эйлера-Венна) позволяет легко решить задачи, которые

обычным путем разрешимы лишь при составлении системы трех уравнений с тремя неизвестными.

понятие: число элементов конечного множества A называется мощностью этого

множества и обозначается |A|. Формула включений и исключений даёт возможность находить мощность объединения любого конечного набора множеств.

любых конечных множеств A и B справедливо равенство:
|A ∪

B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.

Формула включений и исключений для трёх множеств. Для любых конечных множеств A, B и C справедливо равенство:
|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |B ∩ C| − |A ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.