Слайд 2
правило
Правило 1. Любой член неравенства можно перенести из
одной части неравенства в другую с противоположным знаком,не меняя
при этом знака неравенства.
Правило 2. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и тоже положительное число,не меняя при этом знака неравенства.
Правило 3. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и тоже отрицательное число,изменив при этом знак неравенства на противоположный (<на>,≤на≥).
Слайд 3
пример
Решить неравенство
Решение:Умножим
Обе
части неравенства на положительное число 15,оставив знак неравенства без
изменения (правило 2).Это позволит нам освободиться от знаменателей,т.е. перейти к более простому неравенству,равносильному данному:
Слайд 4
Воспользовавшись правилом 1 решения неравенств,перенесем член 30x из
правой части неравенства в левую,а член -3 –из левой
части в правую (с противоположными знаками).Получим:
11x-30x>-1+3;
-17x>2.
Наконец, применив правило 3,получим:
Слайд 5
Квадратные неравенства
Квадратным неравенством с одной переменной x
называют неравенство вида ax²+bx+c>0 ,где a,b,c –действительные числа (кроме
a=0).
Слайд 6
правило
Правило 1.Если квадратный трехчлен ax²+bx+c не имеет
корней (т.е. его дискриминант D-отрицательное число)и если при этом
a>0,то при всех значениях х выполняется неравенство
ax²+bx+c>0.
Иными словами, если D<0,а>0,то неравенство ax²+bx+c>0 выполняется при всех х; напротив, неравенство ax²+bx+c≤0 в этом случае не имеет решений.
Слайд 7
Правило
Правило 2.Если квадратный трехчлен ax²+bx+c не
имеет корней (т.е. его дискриминант D-отрицательное число)и если при
этом а<0 ,то при всех значениях х выполняется неравенство
ax²+bx+c<0.
Иначе говоря, если D<0,a<0,то неравенство ax²+bx+c<0 выполняется при всех х; напротив,неравенство ax²+bx+c≥0 в этом случае не имеет решений.
эти утверждения-частные случаи следующей теоремы.
Слайд 8
Теорема
Если квадратный трехчлен ax²+bx+c имеет отрицательный дискриминант,
то при любом х значение трехчлена имеет знак старшего
коэффициента а.
Слайд 9
Пример
Решить неравенство x²-6х+8>0.
Решение: Разложим квадратный
трехчлен x²-6х+8 на линейные множители. Корням трехчлена являются числа
2 и 4.Воспользовавшись известной из курса алгебры для 8-го формулой ax²+bx+c= а(х-х1)(х-х2), получим: х²-6х+8=(х-2)(х-4).
Отметим на числовой прямой корни трехчлена:2 и 4.
(рисунок). Выясним, когда произведение (х-2)(х-4)
Положительно, а когда отрицательно.
Слайд 10
Если х>4,то x-2>0 и x-4>0,значит,(х-2)(х-4)>0.Если 2
и х-2>0,и х-40.Нас интересует все те значения
переменной х, при которых данный квадратный трехчлен x²-6x+8 принимает положительные значения.Это имеет место на двух открытых лучах
Ответ: х<2;х>4.
Метод рассуждений, который мы применили в примере, называют обычно методом интервалов (или методом промежутков).Он активно используется в математике для решений рациональных неравенств.
Слайд 11
Рациональные неравенства
Рациональное неравенство с одной переменной х
-это неравенство вида h(x)>q(x) ,где h(x) и q(x) –рациональные
выражения, т.е.алгебраические выражения, составленые из числа и переменной х с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в натуральную степень. Разумеется, переменная может быть обозначена любой другой буквой.
Слайд 12
Правило
При решении рациональных неравенств используются те правила,
которые были сформулированы в предыдущих слайдов. С помощью этих
правил обычно преобразуют заданное рациональное неравенство к виду f(x)>0(<0),где f(x)-алгебраическая дробь (или многочлен).Далее разлагают числитель и знаменатель дроби f(x) на множители вида х-а (если, конечно, это возможно) и применяют метод интервалов, которые мы уже упоминали и подробнее покажем на примере.
