Презентация на тему Логарифические уравнения

уравнений важно помнить...
Логарифмические уравнения

неравенств пользуются свойствами логарифмов, а также свойствами логарифмической функции

y = log a x, a > 0, a 1 :
1) Область определения:  x > 0;
2) Область значений:   R;
3)   logax1=logax2 x1=x2;
4) При a>1 функция y=logax возрастает, при 0 < a < 1 функция y=logax убывает при всех x > 0, т.е.
a >1  и logax1>logax2 x1>x2, 0 < a < 1 и logax1>logax2 x1 < x2;

уравнения к квадратному, заменой переменной;
приведение логарифмов к одному основанию;
решение

уравнений логарифмированием обеих частей.

Основными методами решения логарифмических уравнений являются следующие:

имеем: 2х2+1=(х+1)2,
x2 -2x=0
x=2 или

x=0.
Проверка:
х=0 не может быть корнем данного уравнения, так как основание логарифма х+1≠1. При х=2 log 2+1( 2·22 +1)=log39=2.
Ответ: 2.

Метод первый: решение уравнений на основании определения логарифма

равенства логарифмов следует:
x= 6- x2
x=-3 или x=2.

Проверка:
x=-3 корнем уравнения быть не может, так как
логарифмы отрицательных чисел не существуют.
Log5 x=log52,
log5(6-x2) = log5 (6-22)=log52.
Ответ: 2.

Метод второй: потенцирование

lg2x3=(lgx3)2=(3lgx)2= 9lg2x
9lg2x - 10lgx+1=0.

Пусть lgx=y, тогда 9y2- 10y+1=0
y=1 или y=1/9
lgx=1 или lgx=1/9
x=10 или х=10 1/9.
Проверкой подтверждаем, что оба числа являются
корнями.
Ответ: 10; 10 1/9

Метод третий: приведение логарифмического уравнения к квадратному

x=16.
Ответ: 16.



Метод четвертый: приведение логарифмов к одному основанию

x > 0), получим:
( lgx+2)·lgx=lg1000

lg2x+ 2lgx- 3=0
lgx=y
у2 + 2у- 3=0
y=- 3, у=1.
lgx=- 3, x=10-3=0,001;
lgx=1, x=10
Выполнив проверку, убедимся, что оба найденных значения переменной являются корнями данного уравнения.
Ответ: 0,001; 10.

Метод пятый: логарифмирование обеих частей уравнения

содержащим знака логарифма, следует учитывать область допустимых значений (ОДЗ)

исходного уравнения.
Решение большинства логарифмических уравнений после некоторых преобразований сводится к решению логарифмического уравнения вида logh(x) f(x) = logh(x) g(x) или совокупности таких уравнений.

При решении логарифмических уравнений следует помнить:

следует помнить о том, что равенство loga f(x) + logag(x)

= loga (f(x)g(x)), выполняется не при любых значениях переменной, поскольку области определения его левой и правой частей различны. Левая часть определена при f(x) > 0, g(x) > 0. Правая часть определена при f(x) ·g(x) > 0. Таким образом, область определения правой части равенства loga f(x) + loga g(x) = loga (f(x)g(x)) шире области определения его левой части. Поэтому при решении уравнения переход от суммы логарифмов к логарифму произведения может привести к появлению посторонних корней.

соответствующие ограничения или, получив корни, сделать проверку. Преобразование же логарифма

произведения в сумму логарифмов таит еще больше опасностей: в этом случае область допустимых значений переменной сужается и при решении уравнения можно потерять корни. Поэтому, если такое преобразование все-таки необходимо, часто приходится рассматривать два случая:
f(x) > 0, g(x) > 0, тогда loga(f(x)g(x)) = loga f(x) + loga g(x);
f(x) < 0, g(x) < 0, тогда loga (f(x)g(x)) = loga ( - f(x)) + loga (-g(x)).

John Napier; 1550—1617) шотландский барон, математик,
один

из изобретателей
логарифмов, первый публикатор
логарифмических таблиц.

Немного истории: