Что такое findslide.org?

FindSlide.org - это сайт презентаций, докладов, шаблонов в формате PowerPoint.


Для правообладателей

Обратная связь

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Яндекс.Метрика

Презентация на тему Метод площадей при решении геометрических задач

Содержание

Cодержание
Метод площадей при решении геометрических задачВыполнил: ученик 10 Б класса МОУ «Лицей Cодержание Введение   В элементарной математике, самыми трудными считаются геометрические задачи. СвойствоЕсли вершину треугольника передвигать по прямой, параллельной основанию, то площадь при этом Если два треугольника имеют одинаковые высоты, то отношение их площадей равно Если два треугольника имеют общий  угол, то их площади относятся Отношение площадей подобных треугольников равны квадрату коэффициента подобия.СвойствоДоказательство: Рассмотрим ∆ABC и ∆MBN. Медиана треугольника делит его на две равновеликие части.Свойство Доказательство: Рассмотрим ∆ABC Медианы треугольника делят его на три равновеликие части.Свойство Доказательство: Рассмотрим ∆ABC. Проведем Средние линии треугольника площади S отсекают от него треугольники площади ¼·S .Свойство Медианы треугольника делят его на 6 равновеликих частей.Свойство Доказательство: По свойству №7 Утверждение 1  Два треугольника являются равновеликими, если равны их Задача 2. На стороне CD параллелограмма ABCD взята произвольная точка Е. Зная, Задача 3. В параллелограмме ABCD на сторонах AB и Утверждение 2.  Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника.Задача 4. Задача 5. Докажите, что диагонали параллелограмма делят его на четыре равновеликих треугольника.Решение. Задача 6. На продолжении стороны треугольника АВС взята точка D так, что Задача типа С4 на ЕГЭМедиана BM ∆ABC равна его высоте AH. Найдите Список литературы.http://uztest.ru/abstracts/?idabstract=440813http://artgrafica.net/2010/05/14/free-power-point-templates.htmlhttp://uztest.ru/abstracts/?idabstract=814114http://www.etudes.ru/
Слайды презентации

Слайд 2 Cодержание

Cодержание

Слайд 3 Введение
В элементарной математике, самыми трудными

Введение  В элементарной математике, самыми трудными считаются геометрические задачи.

считаются геометрические задачи.
При решении геометрических

задач, как правило, алгоритмов нет, и выбирать наиболее подходящую к данному случаю теорему не просто. Поэтому, желательно в каждой теме выработать какие-то общие положения, которые полезно знать всякому решающему геометрические задачи. Один из алгоритмов решения многих геометрических задач – метод площадей, т.е. решение задач с использованием свойств площадей.

Слайд 4 Свойство

Если вершину треугольника передвигать по прямой, параллельной основанию,

СвойствоЕсли вершину треугольника передвигать по прямой, параллельной основанию, то площадь при

то площадь при этом не измениться.
Доказательство: Рассмотрим ∆ABC

и ∆ADC. Они имеют общее основание и равные высоты, так как прямые AC и BD параллельные, то расстояние между ними равно h - высоте ∆ABC и ∆ADC. Если площадь треугольника находится по формуле S=0,5·a·h, то SАВС=0,5·AC·h , SADC=0,5·AC·h, SAEC=0,5·AC·h. Значит,
SAEC= SABC =SADC

1


Слайд 5 Если два треугольника имеют одинаковые высоты, то отношение

Если два треугольника имеют одинаковые высоты, то отношение их площадей

их площадей равно отношению длин оснований (сторон, на которые

опущены эти высоты).
Доказательство: Пусть h₁ = h₂ в двух треугольниках с основаниями a и b. Рассмотрим отношение площадей этих треугольников S1:S2=(0,5·а·h1):(0,5·b·h2). Упростив, получим S1:S2=a:b.

Свойство

2


Слайд 6 Если два треугольника имеют общий угол, то их

Если два треугольника имеют общий угол, то их площади относятся

площади относятся как произведение сторон, заключающих этот угол.
Свойство
Доказательство:

Рассмотрим ∆ABN и ∆MBC с общим углом B , где AB = a, BN = b, MB = a1 и BC = b1. Пусть S1 = SMBC и S = SABN . Используя формулу площади треугольника вида S=0,5absinγ, рассмотрим отношение площадей ∆ABN и ∆MBC . Тогда S1:S=(0,5·a1·b1·sin ∠B):(0,5·a·b·sin∠B). Упростив, получим S1:S=(a1·b1):(a·b).

3


Слайд 7 Отношение площадей подобных треугольников равны квадрату коэффициента подобия.
Свойство
Доказательство:

Отношение площадей подобных треугольников равны квадрату коэффициента подобия.СвойствоДоказательство: Рассмотрим ∆ABC и

Рассмотрим ∆ABC и ∆MBN. Пусть AB = k·MB, BC

= k·NB и ∠ABC = ∠MBN. Используя формулу площади треугольника вида S=0,5·a·b·sin ∠γ, рассмотрим отношение площадей ∆ABC и ∆MBN. Тогда SABC:SMBN = (0,5·AB·BC·sin∠B):(0,5·MB·NB·sin∠B) = (k·NB·k·MB):(MB·NB)=k² .

4


Слайд 8
Медиана треугольника делит его на две равновеликие части.
Свойство

Медиана треугольника делит его на две равновеликие части.Свойство Доказательство: Рассмотрим


Доказательство: Рассмотрим ∆ABC , где BM – медиана ,

тогда AM=MC=0,5·AC. Медиана делит треугольник на два равновеликих. Найдем площади треугольников ∆ABM и ∆MBC по формуле S=0,5·a·h. Получим, SАВМ=0,5·AM·h и SМВС= 0,5·MC·h. Значит, SАВМ=SМВС.

5


Слайд 9 Медианы треугольника делят его на три равновеликие части.
Свойство

Медианы треугольника делят его на три равновеликие части.Свойство Доказательство: Рассмотрим ∆ABC.


Доказательство: Рассмотрим ∆ABC. Проведем медианы из всех вершин, которые

пересекаются в точке O. Получим треугольники ∆AOB, ∆BOC, ∆AOC. Пусть их площади равны соответственно S1, S2, S3. А площадь ∆ABC равна S. Рассмотрим ∆ABK и ∆CBK, они равной площади, т.к. BK медиана. В треугольнике ∆AOC OK - медиана, значит, площади треугольников ∆AOK и ∆COK равны. Отсюда следует, что S1 = S2. Аналогично можно доказать, что S2 = S3 и S3 = S1 .

6


Слайд 10
Средние линии треугольника площади S отсекают от него

Средние линии треугольника площади S отсекают от него треугольники площади ¼·S

треугольники площади ¼·S .
Свойство
Доказательство: Рассмотрим ∆ABC. NM -

средняя линия в треугольнике и она равна половине основания AC. Если SABC = S , то SNBM=0,5·NM·h1=0,5· (0,5·AC) ·(0,5·h)=0,25·S. Аналогично, можно доказать, что площади всех треугольников равны одной четвертой части площади ∆ABC.

7


Слайд 11
Медианы треугольника делят его на 6 равновеликих частей.
Свойство

Медианы треугольника делят его на 6 равновеликих частей.Свойство Доказательство: По свойству


Доказательство: По свойству №7 площади ∆AOB, ∆BOC, ∆AOC равны.

По свойству №5 площади ∆AOM, ∆BOM равны. Значит S1 = S6 . Аналогично S2 = S3. Если S1 + S6 = S2 + S3 и 2S1 = 2S2 значит S1 = S2. И так далее. Получим, что все шесть треугольников имеют равные площади и они составляют шестую часть от площади ∆ABC.

8


Слайд 12 Утверждение 1 Два треугольника являются равновеликими,

Утверждение 1 Два треугольника являются равновеликими, если равны их высоты

если равны их высоты и основания.
Задача 1. Докажите, что

диагональ параллелограмма делит его на два равновеликих треугольника.

Решение. Высоты треугольников ABD и BCD равны. AD = BC (по свойству параллелограмма). Тогда в силу утверждения 1 S∆ABD = S∆BCD


Слайд 13 Задача 2. На стороне CD параллелограмма ABCD взята

Задача 2. На стороне CD параллелограмма ABCD взята произвольная точка Е.

произвольная точка Е. Зная, что S∆ABE = S, найдите

площадь параллелограмма ABCD.

Решение. Проведем дополнительное построение: КЕ||AD. Тогда из задачи 1 следует, что S∆KBE = S∆CBE, а S∆AKE = S∆ADE. Отсюда, SABCD = 2S.


Слайд 14 Задача 3. В параллелограмме ABCD

Задача 3. В параллелограмме ABCD на сторонах AB и

на сторонах AB и CD взяты произвольные точки M

и N. Докажите, что площадь четырехугольника KMEN равна площади четырех образовавшихся треугольников.

Решение. Проведем отрезок КЕ. Тогда в силу задачи 2 S∆KME = S∆KMB + S∆MEC, а S∆KNE = S∆AKN + S∆EDN .
Отсюда, S∆KMEN = S∆KMB + S∆MEC + S∆KNE + S∆EDN.


Слайд 15 Утверждение 2.
Медиана треугольника делит его на

Утверждение 2. Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника.Задача 4.

два равновеликих треугольника.
Задача 4. В параллелограмме ABCD точка К

– середина АВ, а L – середина ВС. Зная, что SKBLD = S, найдите SABCD .

Решение.
Проведем диагональ ВD. Тогда,
исходя из утверждения 2, получим,
что SABCD = S.


Слайд 16 Задача 5. Докажите, что диагонали параллелограмма делят его

Задача 5. Докажите, что диагонали параллелограмма делят его на четыре равновеликих

на четыре равновеликих треугольника.
Решение.
В силу задачи 1 и

утверждения 2 будем иметь
S∆AOB = S∆BOC = S∆COD =S∆DOA

Слайд 17 Задача 6. На продолжении стороны треугольника АВС взята

Задача 6. На продолжении стороны треугольника АВС взята точка D так,

точка D так, что АС = СD. Пусть М

– середина стороны АВ, а К – точка пересечения отрезков ВС и МD. Докажите, что площадь треугольника ВКD равна площади четырехугольника АМКС.

Решение.
В треугольнике АВD DМ и ВС – медианы. Поэтому S∆AMD =S∆BMD и S∆ACB = S∆CDB.
Эти равенства можно записать так: SAMKC+ S∆CKD = S∆СDK + S∆BKD, SAMKC + S∆MBK = S∆CKD + S∆BKD
Сложив эти равенства и упростив выражение, получим SAMCK = S∆BKD .


Слайд 18 Задача типа С4 на ЕГЭ
Медиана BM ∆ABC равна

Задача типа С4 на ЕГЭМедиана BM ∆ABC равна его высоте AH.

его высоте AH.
Найдите угол MBC.

Решение. Пусть ∠MBC

= α . Найдем площадь треугольника АВС двумя способами. Так как
медиана ВМ треугольника АВС разбивает его на два равновеликих треугольника, то
SABC=2SCBM=2·0,5·BC·BM·sinα=BC·BM·sin α
С другой стороны, SABC=0,5·BC·AH. Учитывая, что AH=BM, приравняем площади BC·BM·sin α=0,5·BC·AH. Получаем, что sinα=0,5. Отсюда α=30° или α=150°.

  • Имя файла: metod-ploshchadey-pri-reshenii-geometricheskih-zadach.pptx
  • Количество просмотров: 126
  • Количество скачиваний: 0