Слайд 2
Определенный интеграл.
Определенным интегралом функции
y=f(x) на [a,b]
называется
,
если этот предел существует и не зависит от
способа разбиений [a,b] на и от выбора
точек . Определенный интеграл
обозначается: Числа a и b
называются соответственно нижним и верхним
пределами интегрирования.
Слайд 3
Геометрический смысл определённого интеграла.
Слайд 4
Свойства определённого интеграла.
1.
2.
3. , k-любое число
4.
5.Аддитивность определённого интеграла. Для
любых чисел a,b,c справедливо:
Слайд 5
Формула Ньютона-Лейбница.
Если F(x) есть какая-либо первообразная
от непрерывной на
[ , ] функции f(x), то
справедлива формула
Ньютона-Лейбница:
Слайд 7
Замена переменной в определённом интеграле.
Слайд 8
Интегрирование по частям в определённом интеграле.
Слайд 10
Геометрические приложения определенного интеграла.
Слайд 14
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой, заданной параметрически.
Слайд 15
x(t), y(t), x’(t), y’(t) – непрерывны на
,
где
Слайд 16
Пример.
Найти площадь фигуры, ограниченной осью OX и одной
аркой
циклоиды:x=
(t-sin t), y=
(1-cos t).
Слайд 18
Пусть кривая задана уравнением y=f(x), где f(x) и
f’(x) непрерывны на [ , ].
Слайд 19
Пусть кривая задана в параметрической
форме x=x(t), y=y(t), t
, причём x(t),
y(t), x’(t)
0, y’(t) непрерывны на ,
Слайд 20
Несобственный интеграл.
Если существует конечный
(b> ), то этот
предел называется
несобственным интегралом функции f(x)
на промежутке [ ; ) и обозначают
Слайд 24
Определение
Функцией двух переменных называется правило, по
которому каждой
упорядоченной паре чисел (x;y),
принадлежащей множеству M, ставится в
соответствие
единственное действительное число z,
принадлежащее множеству L. Множество M
называется областью определения функции.
Множество L называется областью значения функции
при условии, что каждое z L соответствует хотя бы
одной паре (x;y) M.
Функцию двух переменных обозначают: z=f(x; y).
Слайд 26
Частные производные по x.
Предел
,
если он существует, называется частной
производной (I порядка) функции z=f(x,y)
по x в точке и обозначается:
; ; .
Слайд 27
Частные производные по y.
называется частной производной
(I порядка)
функции z=f(x,y) по y в точке
и обозначается:
; ; .
Слайд 28
Частные производные высших порядков.
Слайд 29
Пример.
. Вычислить
частные производные
II порядка функции.
, , , ,
, .
Слайд 31
Скалярное поле.
Часть пространства или всё пространство, в каждой
точке
p(x,y,z) которого задана скалярная функция
U=F(x, y, z)=F(p),
называется скалярным полем, а функция
U= F(p) называется функцией поля.
Пример.
Найти полный дифференциал функции в
произвольной точке.
, .
Следовательно .
Слайд 34
Экстремумы функции двух переменных.
Слайд 35
Необходимое условие существования экстремума.
Пусть функция z=f(x, y) в
точке
имеет экстремум и пусть
существует
и .
Тогда ,
Слайд 36
Достаточное условие существования экстремума.
Пусть для функции z=f(x,
y) в критической точке
существуют производные , ,
. Выражение
назовём дискриминантом функции z=f(x, y) в точке
.
Возможны три случая:
1) >0 , тогда точка – точка экстремума:
при >0 – точка минимума;
при <0 – точка максимума.
2) <0, тогда не является точкой экстремума.
Слайд 37
Пример исследовать на экстремум функцию
Решение.
; .
Решая систему получим четыре
стационарные точки