Что такое findslide.org?

FindSlide.org - это сайт презентаций, докладов, шаблонов в формате PowerPoint.

Обратная связь

Презентация на тему определенный интеграл

Содержание

2. План1. Понятие определённого интеграла2. Пример3. Свойства определённого
3. Понятие определённого интеграла Определённым интегралом от непрерывной
4. Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, а отрезок [a, b] – отрезком интегрирования.
5. Таким образом, если F(x) – какая-нибудь первообразная функция для f(x), то, согласно определению:Равенство называется формулой Ньютона-Лейбница.
6. При a = b по определению принимается
7. Разность F(b) – F(a) кратко записывают так:
8. Поэтому формулу Ньютона-Лейбница будем записывать и так:
9. ПримерВычислить определённый интеграл:Решение. Произведём замену переменной, полагая:Тогда dt =
10. Найдём новые пределы интегрирования. Подстановка значений x = 4 и x =
11. Свойства определённого интеграла Теорема 1. Определённый интеграл с
12. Теорема 2. Величина определённого интеграла не зависит от
13. Теорема 3. Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла, т.е.
14. Теорема 4. Определённый интеграл от алгебраической
15. Теорема 5. Если отрезок интегрирования разбит
16. Теорема 6. При перестановке пределов интегрирования
17. Теорема 7 (теорема о среднем). Определённый интеграл
18. Теорема 8. Если верхний предел интегрирования
19. Теорема 9. Если верхний предел интегрирования
20. Определённый интеграл с переменным верхним пределом
21. А через t обозначена переменная интегрирования,
22. Докажем, что функция Ф(х) является
23. Вычисление определённых интегралов методом интегрирования по частям
24. Как это следует из теоремы
25. Применение определенного интеграла Площадь криволинейной трапеции
26. Длина кривой
27. Площадь поверхности вращения
28. Объем тела вращения
29. Источники информации:http://function-x.ru/integral4.htmlКонспект лекцийhttp://uztest.ru/abstracts/?idabstract=68542http://osiktakan.ru/alg10.html
30. Скачать презентацию
31. Похожие презентации

План1. Понятие определённого интеграла2. Пример3. Свойства определённого интеграла4. Определённый интеграл с переменным верхним пределом5. Применение определенного интегралаПлощадь криволинейной трапецииДлина кривойПлощадь поверхности вращенияОбъем тела вращения

Определённый интеграл. Его применениеВыполнила:Студентка группы К-11ХК ДУТШкурко Виктория

Понятие определённого интеграла Определённым интегралом от непрерывной функции f(x) на конечном отрезке [a, b]

Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, а отрезок [a, b] – отрезком интегрирования.

Таким образом, если F(x) – какая-нибудь первообразная функция для f(x), то, согласно определению:Равенство называется формулой Ньютона-Лейбница.

Разность F(b) – F(a) кратко записывают так:

Поэтому формулу Ньютона-Лейбница будем записывать и так:

ПримерВычислить определённый интеграл:Решение. Произведём замену переменной, полагая:Тогда dt = 2x dx, откуда x dx = (1/2) dt,

Найдём новые пределы интегрирования. Подстановка значений x = 4 и x = 5 в уравнение

Свойства определённого интеграла Теорема 1. Определённый интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю,

Теорема 2. Величина определённого интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е.Пусть F(x) –

Теорема 3. Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла, т.е.

Теорема 4. Определённый интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен

Теорема 5. Если отрезок интегрирования разбит на части, то определённый интеграл

Теорема 6. При перестановке пределов интегрирования абсолютная величина определённого интеграла не

Теорема 7 (теорема о среднем). Определённый интеграл равен произведению длины отрезка интегрирования

Теорема 8. Если верхний предел интегрирования больше нижнего и подынтегральная функция

Теорема 9. Если верхний предел интегрирования больше нижнего и функции и непрерывны, то

Определённый интеграл с переменным верхним пределом Пусть f(x) – непрерывная на

А через t обозначена переменная интегрирования, чтобы не путать её с

Докажем, что функция Ф(х) является первообразной для f(x) = f(t). Действительно, дифференцируя Ф(х),

Вычисление определённых интегралов методом интегрирования по частям и методом замены переменной

Как это следует из теоремы 2 параграфа о свойствах неопределённого

Применение определенного интеграла Площадь криволинейной трапеции

Источники информации:http://function-x.ru/integral4.htmlКонспект лекцийhttp://uztest.ru/abstracts/?idabstract=68542http://osiktakan.ru/alg10.html

Слайды презентации

Слайд 2 План
1. Понятие определённого интеграла
2. Пример
3. Свойства определённого интеграла
4.

План1. Понятие определённого интеграла2. Пример3. Свойства определённого интеграла4. Определённый интеграл с

Определённый интеграл с переменным верхним пределом
5. Применение определенного интеграла
Площадь

криволинейной трапеции
Длина кривой
Площадь поверхности вращения
Объем тела вращения

Слайд 3 Понятие определённого интеграла
Определённым интегралом от непрерывной функции f(x) на

Понятие определённого интеграла Определённым интегралом от непрерывной функции f(x) на конечном отрезке

конечном отрезке [a, b] (где) называется приращение какой-нибудь её первообразной

на этом отрезке. При этом употребляется запись

Слайд 4 Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, а

отрезок [a, b] – отрезком интегрирования.

Слайд 5 Таким образом, если F(x) – какая-нибудь первообразная функция для f(x),

то, согласно определению:

Равенство называется формулой Ньютона-Лейбница.

Слайд 6 При a = b по определению принимается

Слайд 7 Разность F(b) – F(a) кратко записывают так:

Слайд 8 Поэтому формулу Ньютона-Лейбница будем записывать и

так:

Слайд 9 Пример
Вычислить определённый интеграл:
Решение. Произведём замену переменной, полагая:
Тогда dt = 2x

ПримерВычислить определённый интеграл:Решение. Произведём замену переменной, полагая:Тогда dt = 2x dx, откуда x dx =

dx, откуда x dx = (1/2) dt, и подынтегральное выражение преобразуется так:

Слайд 10 Найдём новые пределы интегрирования. Подстановка значений x = 4 и x = 5 в

уравнение

даёт а

Используя теперь формулу
получим:

После замены переменной мы не возвращались к старой переменной, а применили формулу Ньютона-Лейбница к полученной первообразной.

Слайд 11 Свойства определённого интеграла
Теорема 1. Определённый интеграл с одинаковыми пределами

Свойства определённого интеграла Теорема 1. Определённый интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен

интегрирования равен нулю, т.е.

Это свойство содержится в

самом определении определённого интеграла. Однако его можно получить и по формуле Ньютона-Лейбница:

Слайд 12 Теорема 2. Величина определённого интеграла не зависит от обозначения

переменной интегрирования, т.е.

Пусть F(x) – первообразная для f(x). Для f(t) первообразной служит

та же функция F(t), в которой лишь иначе обозначена независимая переменная. Следовательно:

На основании формулы
последнее равенство означает равенство интегралов

и

Слайд 13 Теорема 3. Постоянный множитель можно выносить за

знак определённого интеграла, т.е.

Слайд 14 Теорема 4. Определённый интеграл от алгебраической суммы

конечного числа функций равен алгебраической сумме определённых интегралов от

этих функций, т.е.

Слайд 15 Теорема 5. Если отрезок интегрирования разбит на

части, то определённый интеграл по всему отрезку равен сумме

определённых интегралов по его частям, т.е. если то:

Слайд 16 Теорема 6. При перестановке пределов интегрирования абсолютная

величина определённого интеграла не меняется, а изменяется лишь его

знак, т.е.

Слайд 17 Теорема 7 (теорема о среднем). Определённый интеграл равен

произведению длины отрезка интегрирования на значение подынтегральной функции в

некоторой точке внутри его, т.е.

Слайд 18 Теорема 8. Если верхний предел интегрирования больше

нижнего и подынтегральная функция неотрицательна (положительна), то и определённый

интеграл неотрицателен (положителен), т.е. если

Слайд 19 Теорема 9. Если верхний предел интегрирования больше

нижнего и функции и непрерывны, то неравенство
можно почленно

интегрировать, т.е.

Слайд 20 Определённый интеграл с переменным верхним пределом
Пусть f(x)

– непрерывная на отрезке [a, b] функция, а F(x) – её

первообразная. Рассмотрим определённый интеграл:
где

Слайд 21 А через t обозначена переменная интегрирования, чтобы

не путать её с верхней границей. При изменении х меняется и

опредёленный интеграл т.е. он является функцией верхнего предела интегрирования х, которую обозначим через Ф(х), т.е.

Слайд 22 Докажем, что функция Ф(х) является первообразной

для f(x) = f(t). Действительно, дифференцируя Ф(х), получим:

так как F(x)

– первообразная для f(x), а F(a) – постояная величина.
Функция Ф(х) – одна из бесконечного множества первообразных для f(x), а именно та, которая при x = a обращается в ноль.

Слайд 23 Вычисление определённых интегралов методом интегрирования по частям и

методом замены переменной
При выводе формулы интегрирования по

частям было получено равенство u dv = d(uv) – v du. Проинтегрировав его в пределах от a до b и учитывая теорему 4 параграфа о свойствах определённого интеграла, получим

Слайд 24 Как это следует из теоремы 2

параграфа о свойствах неопределённого интеграла, первый член в правой

части равен разности значений произведения uv при верхнем и нижнем пределах интегрирования. Записав эту разность кратко в виде:

получаем формулу интегрирования по частям для вычисления определенного интеграла: