Что такое findslide.org?

FindSlide.org - это сайт презентаций, докладов, шаблонов в формате PowerPoint.

Обратная связь

Презентация на тему Построение графика неявно заданной функции на примере лемнискаты Бернулли

Содержание

2. Содержание.1.Определение функции заданной неявно.2.Определение лемнискаты.3.Вывод уравнения лемнискаты.4.Преобразование
3. Определение неявно заданной функцииРассмотрим функцию, заданную неявно
4. Лемниската –
5. Пусть фокусы имеют координаты: F1(-a;0) и
6. Преобразование уравнения лемнискатыДальнейшая цель- получить уравнение лемнискаты
7. Преобразование уравнения лемнискатыПреобразуя последнее уравнение, имеем:или в окончательном видеМы получили уравнение лемнискаты в декартовой системе координат.
8. Построение графика лемнискатыТ.к х и у входят
9. Уравнение лемнискаты в полярной системе координат Поскольку
10. ρ 2=2а2 cos2φИз этого уравнения видно, чтопри
11. Построение лемнискатыПостроим график функции при разных значениях
12. Построение лемнискаты
13. Построение лемнискаты при а=-0,5
14. При построении кривых семейства овалов Кассини, промежуточным
15. В технике лемниската применяется, в частности, в
16. Существует два способа построения лемнискаты. Первый способ
17. Второй способ - с помощью шарнирного устройства, две точки которого закреплены на плоскости (рис.3).Способы построения лемнискатыРис.3
18. Лемниската Бернулли.Ее автор – швейцарский математик Якоб
19. БЕРНУЛЛИ Якоб I (1654-1705). Швейцарский математик.
20. ♣ Вирченко Н.А. и др.Справочник «Графики функций»;
21. Скачать презентацию
22. Похожие презентации

Содержание.1.Определение функции заданной неявно.2.Определение лемнискаты.3.Вывод уравнения лемнискаты.4.Преобразование уравнения лемнискаты.5.Уравнение лемнискаты в полярной системе координат.6.Исследование уравнения лемнискаты.7.Построение лемнискаты.8. Применение лемнискаты.9.Краткая историческая справка.

Главная
Математика
Построение графика неявно заданной функции на примере лемнискаты Бернулли

Тема: «Построение графика неявно заданной функции на примере лемнискаты Бернулли»Проект Гузь Ольги

Содержание.1.Определение функции заданной неявно.2.Определение лемнискаты.3.Вывод уравнения лемнискаты.4.Преобразование уравнения лемнискаты.5.Уравнение лемнискаты в полярной

Определение неявно заданной функцииРассмотрим функцию, заданную неявно уравнением F(x ,y)=0.В зависимости от

Пусть фокусы имеют координаты: F1(-a;0) и F2 (а;0); М(х, у) -

Преобразование уравнения лемнискатыДальнейшая цель- получить уравнение лемнискаты Бернулли в более простом виде.

Преобразование уравнения лемнискатыПреобразуя последнее уравнение, имеем:или в окончательном видеМы получили уравнение лемнискаты в декартовой системе координат.

Построение графика лемнискатыТ.к х и у входят в это уравнение только в

Уравнение лемнискаты в полярной системе координат Поскольку х =ρ cos φ, у

ρ 2=2а2 cos2φИз этого уравнения видно, чтопри φ=0. Если φ увеличивается в

Построение лемнискатыПостроим график функции при разных значениях а:

При построении кривых семейства овалов Кассини, промежуточным графиком является лемниската Бернулли.

В технике лемниската применяется, в частности, в качестве переходной кривой на закруглениях

Существует два способа построения лемнискаты. Первый способ - с помощью двух угольников

Второй способ - с помощью шарнирного устройства, две точки которого закреплены на плоскости (рис.3).Способы построения лемнискатыРис.3

Лемниската Бернулли.Ее автор – швейцарский математик Якоб Бернулли. Он дал этой кривой

БЕРНУЛЛИ Якоб I (1654-1705). Швейцарский математик. Работал в Базельском университете.Работы посвящены

♣ Вирченко Н.А. и др.Справочник «Графики функций»; Киев: Наук. думка, 1979г;♣ И.И.Валуцэ

Internet-ресурсы: WWW.Colledg.Ru;WWW.5ballov.Ru; WWW.bankreferatov.Ru; WWW.rubricon.com. Программное обеспечение: MS Word; MS Power Point;Windows Media;

Слайды презентации

Слайд 2 Содержание.
1.Определение функции заданной неявно.
2.Определение лемнискаты.
3.Вывод уравнения лемнискаты.
4.Преобразование уравнения

лемнискаты.
5.Уравнение лемнискаты в полярной системе координат.
6.Исследование уравнения лемнискаты.
7.Построение лемнискаты.
8.

Применение лемнискаты.
9.Краткая историческая справка.

Слайд 3 Определение неявно заданной функции
Рассмотрим функцию, заданную неявно уравнением

Определение неявно заданной функцииРассмотрим функцию, заданную неявно уравнением F(x ,y)=0.В зависимости

F(x ,y)=0.
В зависимости от того, какой является функция F(x

,y)-алгебраической или трансцендентной,- кривые также делятся на алгебраические и трансцендентные.
Примеры, лемниската Бернулли.

Слайд 4 Лемниската –

Лемниската – это кривая, у которой произведение расстояний

это кривая, у которой произведение расстояний каждой ее точки

до двух заданных точек- фокусов -постоянно и равно квадрату половины расстояния между ними.

Определение лемнискаты

Слайд 5 Пусть фокусы имеют координаты: F1(-a;0) и F2

(а;0); М(х, у) - произвольная точка геометрического места,
то

по условию

Подставляя в это равенство выражения

получим искомое уравнение данного геометрического места

Вывод уравнения лемнискаты

Слайд 6 Преобразование уравнения лемнискаты

Дальнейшая цель- получить уравнение лемнискаты Бернулли

Преобразование уравнения лемнискатыДальнейшая цель- получить уравнение лемнискаты Бернулли в более простом

в более простом виде.
Возводя в квадрат обе части

уравнения и группируя члены, находим

отсюда

Слайд 7 Преобразование уравнения лемнискаты
Преобразуя последнее уравнение, имеем:

или в окончательном

виде

Мы получили уравнение лемнискаты в декартовой системе координат.

Слайд 8 Построение графика лемнискаты

Т.к х и у входят в

Построение графика лемнискатыТ.к х и у входят в это уравнение только

это уравнение только в чётных степенях, то лемниската симметрична

относительно координатных осей.
Построить график данной функции затруднительно.
Запишем это же уравнение в полярной системе координат.

Слайд 9 Уравнение лемнискаты в полярной системе координат

Поскольку х

Уравнение лемнискаты в полярной системе координат Поскольку х =ρ cos φ,

=ρ cos φ, у = ρ sinφ, х2+у2= ρ2,

то уравнение лемнискаты в полярных координатах примет вид
ρ 4=2а2 ρ(cos2φ- sin2φ)
или

ρ 2=2а2 cos2φ.

Слайд 10 ρ 2=2а2 cos2φ
Из этого уравнения видно, что
при φ=0.

ρ 2=2а2 cos2φИз этого уравнения видно, чтопри φ=0. Если φ увеличивается

Если φ увеличивается в пределах
от 0 до

, то ρ уменьшается от до ρ=0.
Если , то ρ принимает мнимые
значения. Это означает, что на лемнискате нет точек, для которых φ меняется в указанных пределах.

Исследование уравнения лемнискаты

Слайд 11 Построение лемнискаты
Построим график функции
при разных значениях а:

при а=1

Слайд 12 Построение лемнискаты

Слайд 13 Построение лемнискаты
при а=-0,5

Слайд 14 При построении кривых семейства овалов Кассини, промежуточным графиком

является лемниската Бернулли.

1.

2. 3. 4.
Фигура выпуклая как эллипс.
Появляется вогнутая перемычка с четырьмя точками перегиба.
Перемычка смыкается, полученная фигура называется лемнискатой Бернулли.
Фигура разваливается на два овала.

Построение

Слайд 15
В технике лемниската применяется, в частности, в качестве

В технике лемниската применяется, в частности, в качестве переходной кривой на

переходной кривой на закруглениях малого радиуса, как это имеет

место на железнодорожных линиях в горной местности и на трамвайных путях.

Применение:

Слайд 16 Существует два способа построения лемнискаты.
Первый способ -

Существует два способа построения лемнискаты. Первый способ - с помощью двух

с помощью
двух угольников и нарисованной на листе бумаги

окружности (рис.2).Вершина острого угла одного из угольников находится в центре окружности, вершина прямого угла другого -на окружности.

Способы построения лемнискаты

Рис.2

Слайд 17 Второй способ - с помощью шарнирного устройства, две

точки которого закреплены на плоскости (рис.3).
Способы построения лемнискаты
Рис.3

Слайд 18
Лемниската Бернулли.
Ее автор – швейцарский математик Якоб Бернулли.

Лемниската Бернулли.Ее автор – швейцарский математик Якоб Бернулли. Он дал этой

Он дал этой кривой поэтическое название «лемниската».

В античном

Риме так называли бантик, с помощью которого прикрепляли венок к голове победителя на спортивных играх.

Историческая справка

Слайд 19 БЕРНУЛЛИ Якоб I (1654-1705). Швейцарский математик. Работал

в Базельском университете.
Работы посвящены математическому анализу, теории вероятностей и

механике. В 1687 познакомился с первым мемуаром Лейбница по дифференциальному исчислению и применил его идеи к изучению ряда кривых, встречающихся в математике, механике, и выводу формулы радиуса кривизны плоской кривой. Ввел термин «интеграл».

Краткая биография