Презентация на тему Применение графов при решении задач по математике

мостах
Применение графов
Выводы

называется непустое множество точек и множество отрезков, оба конца

которых принадлежат заданному множеству точек.
Точки называются вершинами графа, а соединяющие линии – рёбрами.

Рёбра графа

Вершины графа

Дальше

называется степенью вершины. Вершина графа, имеющая нечётную степень, называется

нечетной, а чётную степень – чётной.

Нечётная степень

Чётная степень

содержание

– число чётное, равное удвоенному числу рёбер графа.
Число нечётных

вершин любого графа чётно.
Во всяком графе с n вершинами, где n≥2, всегда найдутся две вершины с одинаковыми степенями.

в точности две вершины имеют одинаковую степень, то в

этом графе всегда найдётся либо в точности одна вершина степени 0, либо в точности одна вершина степени n-1.
Если полный граф имеет n вершин, то количество рёбер будет равно n(n-1)/2.

Полный граф

Неполный граф

Неориентированный граф

венгерского математика Д. Кенига в 1936 г., хотя начальные

важнейшие теоремы о графах восходят к Л. Эйлеру.

Дальше

заложил в 1736 г. Леонард Эйлер, рассматривая задачу о

кенигсбергских мостах. Сегодня эта задача стала классической.

содержание

на реке Прегель. В пределах города река омывает два

острова. С берегов на острова были перекинуты мосты. Старые мосты не сохранились, но осталась карта города, где они изображены.

Дальше

следующая задача: можно ли пройти по всем мостам и

вернуться в начальный пункт, побывав на каждом мосту только один раз?

Дальше

заданные условия, нельзя. Прохождение по всем мостам при условии,

что нужно на каждом побывать один раз и вернуться в точку начала путешествия, на языке теории графов выглядит как задача изображения «одним росчерком» графа.

дальше

рисунке имеет четыре нечетные вершины, то такой граф начертить

«одним росчерком» невозможно.

содержание

от бумаги, называется эйлеровым.
Решая задачу о кенигсбергских мостах,

Эйлер сформулировал свойства графа:
Число нечётных вершин (вершин, к которым ведёт нечётное число рёбер) графа должно быть чётно. Не может существовать граф, который имел бы нечётное число нечётных вершин.
Если все вершины графа чётные, то можно, не отрывая карандаша от бумаги, начертить граф, при этом можно начинать с любой вершины графа и завершить его в той же вершине.
Граф с более чем двумя нечётными вершинами невозможно начертить одним росчерком.

дальше

не отрывая карандаш от бумаги («одним росчерком»), проводя по

каждому ребру только один раз, начертить этот граф. Движение можно начать с любой вершины и закончить его в той же вершине.

дальше

начертить, не отрывая карандаш от бумаги, при этом движение

нужно начать с одной из этих нечетных вершин и закончить во второй из них.

дальше

начертить «одним росчерком».
?

головоломок, задач на смекалку.
дальше

встрече обменялись рукопожатиями (каждый пожал руку каждому по одному

разу). Сколько всего рукопожатий было сделано?

дальше

таким образом, что любой город соединён авиалиниями не более

чем с тремя другими, и из любого города в любой другой можно проехать, сделав не более одной пересадки. Какое максимальное число городов может быть в этом государстве?

Из него можно добраться не более, чем до трёх

городов, а из каждого из них ещё не более чем до двух (не считая А). Тогда всего городов не более 1+3+6=10. Значит всего городов не более 10. Пример на рисунке показывает существование авиалиний.

А

в верхних двух углах стоят два чёрных коня, в

нижних – два белых (рисунок ниже). За 16 ходов поставьте белых коней на место чёрных, а чёрных на место белых и докажите, что за меньшее число ходов это сделать невозможно.

в круг, получим, что в начале кони стояли так,

как на рисунке ниже: