Презентация на тему Применения производной к исследованию функций

функции;
Достаточный признак убывания функции;
Критические точки функции:
Необходимое условие экстремума;
Признак максимума

функции;
Признак минимума функции.

функции f.
Выяснить, обладает ли функция особенностями, облегчающими исследование.
Вычислить координаты

точек пересечения графика с осями координат.
Найти промежутки знакопостоянства функции f.
Выяснить, на каких промежутках функция f возрастает, а на каких убывает.
Найти точки и вид экстремума и вычислить значения f в этих точках.
Исследовать поведение функции f в окрестности характерных точек, не входящих в область определения.

0 в каждой точке интервала I, то функция возрастает

на I.
Достаточный признак убывания функции. Если f´ (х) < 0 в каждой точке интервала I, то функция убывает на I.

на основании формулы Лагранжа:

f´

= -2x + sin x
Найти:
промежутки возрастания (убывания) функции
Решение
Функция определена

на всей числовой прямой.
Найдем f´ (x). f´ (x) = -2 + cos x.
| cos x | ≤ 1 => f´ (x) < 0 для всех действительных х.
Вывод: f (x) = -2x + sin x убывает на всей числовой прямой

х0 является точкой экстремума функции f и в этой

точке существует производная f´, то она равна нулю: f´(х0) = 0

того, что производная в точке х0 обращается в нуль,

необязательно следует, что в этой точке функция имеет экстремум.

в точке х0, а f´ (х) > 0 на

интервале (а; х0) и f´ (х) < 0 на интервале (х0; b), то точка х0 является точкой максимума функции f.
Упрощённая формулировка признака:
Если в точке х0 производная меняет знак с плюса на минус, то х0 есть точка максимума.

в точке х0, f´ (х) < 0 на интервале

(а; х0) и f´ (х) > 0 на интервале (х0; b), то точка х0 является точкой минимума функции f.
Упрощённая формулировка признака:
Если в точке х0 производная меняет знак с минуса на плюс, то х0 есть точка максимума.

– x3
Найти:
Точки экстремума функции
Решение
Найдём производную функции: f´ (x) =

3 – 3х2
f´ (x) = 0, при х = 1 и х = -1
f´ (x) < 0 при х < -1; f‘ (x) > 0 при -1 < х < 1, т.е. в точках -1 и 1 функция меняет знак.
По признакам максимума и минимума точка -1 является точкой минимума, а точка 1 — точкой максимума.