Презентация на тему Теория бесконечных множеств

Содержание

2. Теорема 2. Отношение равномощности есть отношение эквивалентности.Доказательство. Необходимо проверить три условия: рефлексивность, симметричность, транзитивность.
3. Рефлексивность выполняется, так как отображение IA: A
4. Транзитивность. Пусть
5. Примеры.1) Докажем, что то есть докажем, что
6. 2) , то есть прямая
7. Определение 3. Множество А называется счетным,
8. Теорема 4. Любое подмножество
9. Доказательство. Пусть А – счетное
10. Если какой-то элемент окажется
11. Скачать презентацию
12. Похожие презентации

Теорема 2. Отношение равномощности есть отношение эквивалентности.Доказательство. Необходимо проверить три условия: рефлексивность, симметричность, транзитивность.

Главная
Математика
Теория бесконечных множеств

ГЛАВА II ТЕОРИЯ БЕСКОНЕЧНЫХ МНОЖЕСТВ§1. Счетные множества. Примеры. Минимальность счетной мощности Определение

Теорема 2. Отношение равномощности есть отношение эквивалентности.Доказательство. Необходимо проверить три условия: рефлексивность, симметричность, транзитивность.

Рефлексивность выполняется, так как отображение IA: A A осуществляет биекцию

Примеры.1) Докажем, что то есть докажем, что любые два интервала равномощны, то

2) , то есть прямая равномощна открытой полупрямой. В самом

Определение 3. Множество А называется счетным, если оно равномощно множеству

Теорема 4. Любое подмножество счетного множества или

Доказательство. Пусть А – счетное множество и

Если какой-то элемент окажется последним в списке В,

Если переобозначить то Теорема доказана.

Слайды презентации

Слайд 2 Теорема 2. Отношение равномощности есть отношение эквивалентности.
Доказательство.
Необходимо

проверить три условия: рефлексивность, симметричность, транзитивность.

Слайд 3 Рефлексивность выполняется, так как отображение
IA: A

A осуществляет биекцию множества А на себя, то

есть .
Симметричность. Пусть ,
то есть существует биекция , тогда существует отображение ,

которое также является биекцией, то есть

Слайд 4 Транзитивность. Пусть

,

,
то есть существуют биекции

и

Тогда является биекцией,
причем , то есть . Транзитивность, а вместе с ней и теорема доказаны.

Слайд 5 Примеры.1) Докажем, что
то есть докажем, что любые

Примеры.1) Докажем, что то есть докажем, что любые два интервала равномощны,

два интервала равномощны, то есть, грубо говоря, состоят из

одного и того же количества точек, независимо от их длины. Рассмотрим функцию

y(0) = a, y(1) = b. Так как эта функция линейна и отлична от константы, то

биективно отображает (0;1) на (a, b).
Заметим, что по теореме 2 для любых открытых промежутков

Слайд 6 2) , то есть прямая равномощна

открытой полупрямой. В самом деле, отображение, определяемое функцией

есть не что иное, как биекция между R и .

Слайд 7 Определение 3.
Множество А называется счетным, если

Определение 3. Множество А называется счетным, если оно равномощно множеству натуральных

оно равномощно множеству натуральных чисел, то есть

= .
Другими словами, множество А счетно, если его элементы можно занумеровать натуральными числами, то есть представить в виде: А=

Слайд 8 Теорема 4. Любое подмножество счетного

множества или конечно

или счетно (т.е. не может содержать никаких других бесконечностей).

Слайд 9 Доказательство.
Пусть А – счетное множество

Доказательство. Пусть А – счетное множество и В

и В А. Перенумеруем

все элементы множества А:

"Передвигаясь" в перечне элементов множества А от с меньшими номерами к элементам с большими номерами, будем выбирать из этого списка элементы подмножества В:

Слайд 10 Если какой-то элемент окажется

Если какой-то элемент окажется последним в списке В, то

последним в списке В, то В является конечным множеством,

состоящим из к элементов:

Если же для каждого элемента из В в списке А всегда найдется следующий элемент

то мы получаем список (множество)

который занумерован числами 1,2,3,…,k,….