Что такое findslide.org?

FindSlide.org - это сайт презентаций, докладов, шаблонов в формате PowerPoint.


Для правообладателей

Обратная связь

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Яндекс.Метрика

Презентация на тему Задания на производную

Содержание

В начале было слово.К понятию производной можно прийти, рассматривая, например, такое широко используемое в физике понятие, как мгновенная скорость неравномерно движущегося тела.Мы познакомились с этим понятием, изучая в курсе физики раздел кинематики, а точнее кинематики прямолинейного
Задачи, приводящие к понятию производной. В начале было слово.К понятию производной можно прийти, рассматривая, например, такое широко Совершенно верно. Как же Вы представляете себе мгновенную скорость? Что это такое?Мгновенной А как Вы представляете себе мгновенную скорость? Так и представляю… Если Разве Вы не чувствуете, что фраза «скорость в данный момент времени» Остановись мгновенье – Производная  Центральные понятия дифференциального исчисления – производная и дифференциал возникли при Будем вслед за итальянским учёным Г.Галилеем изучать закон свободного падения тел. Поднимем Фиксируем момент t, в который мы хотим знать значение скорости v(t). Пусть Задача о мгновенной скоростиПредел средней скорости за промежуток времени от t0 до А л г о р и т м ∆t = t – Рассмотрим теперь другой классический пример, который решается в терминах производной, - построение Задача о касательной к графику функцииxyС∆х=х-х0∆f(x) = f(x) - f(x0) А л г о р и т м1)    ∆x y=f(x)  M0MT   x0 Задача о скорости химической реакцииСредняя скорость растворения соли в воде за промежуток А л г о р и т м ∆t = t – Задача о теплоёмкости тела Если температура тела с массой в 1 кг ∆τ = τ – τ0 Задача о мгновенной величине токаОбозначим через q = q(t) количество электричества, протекающее ∆t = t – t0 Экономические задачиРассмотрим ситуацию: пусть y - издержки производства, а х - количество Аналогичным образом могут быть определены и многие другие экономические величины, имеющие предельный Экономические задачиПусть функция u(t) выражает количество произведенной продукции за время t. Найдем Рост численности населенияВывести формулу для вычисления численности населения на ограниченной территории в ВыводыРазличные задачи привели в процессе решения к одной и той же математической Определение производнойПроизводной функции f(x) в точке х называется предел отношения приращения функции Возвращаясь к рассмотренным задачам, важно подчеркнуть следующее:а) мгновенная скорость неравномерного движения есть А это значит:Аппарат производной можно использовать при решении геометрических задач, задач из Авторы:Учащиеся 10 классаАмбарцумян Ануш, Дешевых Андрей,
Слайды презентации

Слайд 2 В начале было слово.
К понятию производной можно прийти,

В начале было слово.К понятию производной можно прийти, рассматривая, например, такое

рассматривая, например, такое широко используемое в физике понятие, как

мгновенная скорость неравномерно движущегося тела.
Мы познакомились с этим понятием, изучая в курсе физики раздел кинематики, а точнее кинематики прямолинейного неравномерного движения.

Слайд 3 Совершенно верно. Как же Вы представляете себе мгновенную

Совершенно верно. Как же Вы представляете себе мгновенную скорость? Что это

скорость? Что это такое?



Мгновенной скоростью тела называют скорость, которую

оно имеет в данный момент времени (в данной точке траектории)

Слайд 4 А как Вы представляете себе мгновенную скорость?




А как Вы представляете себе мгновенную скорость? Так и представляю…

Так и представляю… Если тело движется равномерно, то в

разные моменты времени его скорость одинакова. Если тело движется неравномерно (ускоряясь или замедляясь, то в разные моменты времени его скорость будет, вообще говоря, различной

Слайд 5 Разве Вы не чувствуете, что фраза «скорость

Разве Вы не чувствуете, что фраза «скорость в данный момент

в данный момент времени» не более как синоним фразы

«мгновенная скорость»? Как говорится, «что в лоб, что по лбу». Термин «скорость в данный момент времени нуждается в разъяснении в той же мере, в какой нуждается в нём термин «мгновенная скорость».

Физик эту проблему решает просто. У него есть приборы, например, спидометр. А математик создаст математическую модель процесса.
Итак, проблема поставлена.
Приступим к её решению.

Слайд 6 Остановись мгновенье –

Остановись мгновенье –

мы тебя исследуем !
Сначала мы определили «территорию» своих исследований. В каких ещё науках математика поможет решить подобную проблему ?
Оказалось, что связь между количественными характеристиками самых различных процессов, исследуемых физикой, химией, биологией, экономикой, техническими науками, аналогична связи между путём и скоростью.
Основным математическим понятием, выражающим эту связь является производная.

Слайд 7 Производная
Центральные понятия дифференциального исчисления – производная

Производная Центральные понятия дифференциального исчисления – производная и дифференциал возникли при

и дифференциал возникли при рассмотрении большого числа задач естествознания

и математики, приводивших к вычислению пределов одного и того же типа. Важнейшие среди них – физическая задача определения скорости неравномерного движения и геометрическая задача построения касательной к кривой.
Рассмотрим подробно каждую из них.

Слайд 8 Будем вслед за итальянским учёным Г.Галилеем изучать закон

Будем вслед за итальянским учёным Г.Галилеем изучать закон свободного падения тел.

свободного падения тел. Поднимем камешек и затем из состояния

покоя отпустим его. Движение свободно падающего тела явно неравномерное. Скорость v постепенно возрастает. Но как именно выглядит зависимость v(t) ?

Слайд 9 Фиксируем момент t, в который мы хотим знать

Фиксируем момент t, в который мы хотим знать значение скорости v(t).

значение скорости v(t). Пусть h – небольшой промежуток времени,

прошедший от момента t. За это время падающее тело пройдёт путь, равный s(t+h)-s(t).
Если промежуток времени h очень мал, то приближённо
s(t+h)-s(t)≈v(t)∙h, или , причём

последнее приближённое равенство тем точнее, чем меньше h. Значит величину v(t) скорости в момент t можно рассматривать как предел, к которому стремится отношение, выражающее среднюю скорость на интервале времени от момента t до момента t+h.
Сказанное записывают в виде


Слайд 10 Задача о мгновенной скорости
Предел средней скорости за промежуток

Задача о мгновенной скоростиПредел средней скорости за промежуток времени от t0

времени от t0 до t при t→ t0, называется

мгновенной скоростью v(t0) в момент времени t0

v(t0) =


Слайд 11 А л г о р и т м

А л г о р и т м ∆t = t



∆t = t – t0

∆x = x – x0
∆v = v(t+t0) - v(t0) ∆f = f(x+x0) – f(x0)
.
.

На языке предмета На математическом языке


Слайд 12 Рассмотрим теперь другой классический пример, который решается в

Рассмотрим теперь другой классический пример, который решается в терминах производной, -

терминах производной, - построение касательной к кривой. Требуется построить

прямую Т, касательную в т. А к кривой – графику функции y = f(x).

Слайд 13 Задача о касательной к графику функции
x
y
С
∆х=х-х0
∆f(x) = f(x)

Задача о касательной к графику функцииxyС∆х=х-х0∆f(x) = f(x) - f(x0)

- f(x0)


Слайд 14 А л г о р и т м
1)

А л г о р и т м1)  ∆x =

∆x = x – x0
2)

∆f = f(x+x0) – f(x0)
3)

4)

Слайд 15 y=f(x)
M0
M
T

y=f(x) M0MT  x0

x0

x0+∆x

∆x

∆y

y

x

0

Убедитесь, что угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) можно определить по формуле


Слайд 16 Задача о скорости химической реакции
Средняя скорость растворения соли

Задача о скорости химической реакцииСредняя скорость растворения соли в воде за

в воде за промежуток времени [t0;t1] (масса соли, растворившейся

в воде изменяется по закону х = f(t)) определяется по формуле .

Скорость растворения в данный момент времени

Слайд 17 А л г о р и т м

А л г о р и т м ∆t = t



∆t = t – t0

∆x = x – x0
∆f = f(t1) - f(t0) ∆f = f(x) – f(x0)
.
.

На языке предмета На математическом языке


Слайд 18 Задача о теплоёмкости тела
Если температура тела с

Задача о теплоёмкости тела Если температура тела с массой в 1

массой в 1 кг повышается от t1 = 0


до t2 = τ, то это происходит за счёт того, что телу сообщается определённое количество тепла Q; значит Q есть функция температуры τ, до которой тело нагревается: Q=Q(τ).

Пусть температура повысилась с τ до τ +Δτ. Количество тепла ΔQ, затраченное для этого нагревания равно: ΔQ=Q(τ+Δτ)-Q(τ).
Отношение есть количество тепла,
которое необходимо «в среднем» для нагревания тела на 1. Это отношение называется средней теплоёмкостью, которая не даёт представления о теплоёмкости для любого значения температуры τ.
Теплоёмкостью при температуре τ называ-ется предел отношения приращения количества тепла ΔQ к приращению температуры Δτ.( при Δτ →0)


Слайд 19
∆τ = τ – τ0

∆τ = τ – τ0

∆x = x – x0
∆Q = Q(τ1) - Q(τ0) ∆f = f(x) – f(x0)
.
.

А л г о р и т м

На языке предмета На математическом языке


Слайд 20 Задача о мгновенной величине тока
Обозначим через q =

Задача о мгновенной величине токаОбозначим через q = q(t) количество электричества,

q(t) количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника за

время t.
Пусть Δt – некоторый промежуток времени, Δq = q(t+Δt) – q(t) – количество электричества, протекающее через указанное сечение за промежуток времени от момента t до момента t + Δt. Тогда отношение называют средней силой тока.
Мгновенной силой тока в момент времени t называется предел отношения приращения количества электричества Δq ко времени Δt, при условии, что Δt→0.

Слайд 21
∆t = t – t0

∆t = t – t0

∆x = x – x0
∆q = q(t1) - q(t0) ∆f = f(x) – f(x0)
.
.

А л г о р и т м

На языке предмета На математическом языке


Слайд 22 Экономические задачи
Рассмотрим ситуацию: пусть y - издержки производства,

Экономические задачиРассмотрим ситуацию: пусть y - издержки производства, а х -

а х - количество продукции, тогда x- прирост продукции,

а y - приращение издержек производства.

В этом случае производная выражает предельные

издержки производства и характеризует приближенно дополнительные затраты на производство дополнительной

единицы продукции ,где MC – предельные

издержки (marginal costs); TC – общие издержки (total costs); Q - количество.C(t)СС

Слайд 23 Аналогичным образом могут быть определены и многие другие

Аналогичным образом могут быть определены и многие другие экономические величины, имеющие

экономические величины, имеющие предельный характер.

Другой пример - категория

предельной выручки
(MR— marginal revenue) — это дополнительный доход, полученный при переходе от производства n-ной к (n+1)-ой единице продукта.
Она представляет собой первую производную от выручки:


При этом R= PQ, где R–выручка (revenue); P–цена (price).

Таким образом ,  MR= P.

Экономические задачи


Слайд 24 Экономические задачи
Пусть функция u(t) выражает количество произведенной продукции

Экономические задачиПусть функция u(t) выражает количество произведенной продукции за время t.

за время t. Найдем производительность труда в момент t0.


За период от t0 до t0+ t количество продукции изменится от u(t0) до u0+ u = u(t0+ t). Тогда средняя
производительность труда за этот период
поэтому производительность труда в момент t0

Слайд 25 Рост численности населения
Вывести формулу для вычисления численности населения

Рост численности населенияВывести формулу для вычисления численности населения на ограниченной территории

на ограниченной территории в момент времени t.
Пусть у=у(t)- численность

населения.
Рассмотрим прирост населения за t = t - t0
y=k ∙ y ∙ t, где к = кр – кс –коэффициент прироста (кр – коэффициент рождаемости,
кс – коэффициент смертности)

получим

Слайд 26 Выводы
Различные задачи привели в процессе решения к одной

ВыводыРазличные задачи привели в процессе решения к одной и той же

и той же математической модели – пределу отношения приращения

функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю. Значит, эту математическую модель надо специально изучить, т.е.:
Присвоить ей новый термин.
Ввести для неё обозначение.
Исследовать свойства новой модели.
Определить возможности применения нового понятия - производная

Слайд 27 Определение производной
Производной функции f(x) в точке х называется

Определение производнойПроизводной функции f(x) в точке х называется предел отношения приращения

предел отношения приращения функции в точке х к приращению

аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю, если этот предел существует

Слайд 28 Возвращаясь к рассмотренным задачам, важно подчеркнуть следующее:
а) мгновенная

Возвращаясь к рассмотренным задачам, важно подчеркнуть следующее:а) мгновенная скорость неравномерного движения

скорость неравномерного движения есть производная от пути по времени;
б)

угловой коэффициент касательной к графику функции в точке (x0; f(x)) есть производная функции f(x) в точке х = х0;
в) мгновенная сила тока I(t) в момент t есть производная от количества электричества q(t) по времени;
г) теплоёмкость С(τ) при температуре τ есть производная от количества тепла Q(τ), получаемого телом;
д) скорость химической реакции в данный момент времени t есть производная от количества вещества у(t), участвующего в реакции, по времени t.

Слайд 29 А это значит:
Аппарат производной можно использовать при решении

А это значит:Аппарат производной можно использовать при решении геометрических задач, задач

геометрических задач, задач из естественных и гуманитарных наук, экономических

задач оптимизационного характера.
И, конечно, не обойтись без производной при исследовании функции и построении графиков, решении уравнений и неравенств

У нас впереди огромные возможности для исследовательской работы в новых проектах!

«…нет ни одной области в математике, которая когда-либо не окажется применимой к явлениям действительного мира…» Н.И. Лобачевский


  • Имя файла: zadaniya-na-proizvodnuyu.pptx
  • Количество просмотров: 121
  • Количество скачиваний: 0
- Предыдущая Банд’Эрос