Презентация на тему Первообразная и интеграл

f на заданном промежутке, если для всех х из

этого промежутка
 

для заданной функции найти все ее первообразные. При решении

этой задачи важную роль играет следующее утверждение: Признак постоянства функции.
 Если F'(х) = 0 на некотором промежутке I,
то функция F — постоянная на этом промежутке. Все первообразные функции f можно записать с помощью одной формулы, которую называют общим видом первообразных для функции f.

теорема (основное свойство первообразных):
Теорема.  Любая первообразная для функции

f на промежутке I может быть записана в виде
F(x)+C,
где F (х) — одна из первообразных для функ-ции f (x) на промежутке I,
С — произвольная постоянная.

смысл: 
графики любых двух первообразных для функции f получаются друг

из друга параллельным переносом вдоль оси Оу (рис.).

для f, a G — первообразная для g, то

F+G есть первообразная для f+g.
(F+G)'=F'+G'=f+g

для f, a k — постоянная, то функция kF

— первообразная для kf. (kF)'=kF'=kf.
Правило 3. Если F (х) есть первообразная для f (x), a k и b — постоянные, причем k≠0, то    есть первообразная для f
(kx+b).

задана непрерывная функция f, не меняющая на нем знака.

Фигуру, ограниченную графиком этой функции, отрезком [а; b] и прямыми х = а и х = b (рис. 1), называют криволинейной трапецией.

Если f — непрерывная и неотрицательная на отрезке [а;

b] функция, a F — ее первообразная на этом отрезке, то площадь S соответствующей криволинейной трапеции) равна приращению первообразной на отрезке
[а; b] т. е.
S=F(b)-F(a). 

вычисления площади криволинейной трапеции. Для простоты будем считать функцию

f неотрицательной и непрерывной на отрезке [а; b] тогда площадь S соответствующей криволинейной трапеции можно приближенно подсчитать следующим образом.

n отрезков одинаковой длины точками x0 = а

(рис. 1) равна:


В силу непрерывности функции f объединение построенных

прямоугольников при большом n, т. е. при малом Δx, «почти совпадает» с интересующей нас криволинейной трапецией.

предположение, что Sn≈S при больших n. (Коротко говорят: «Sn

стремится к S при n, стремящемся к бесконечности»— и пишут: Sn→S при n→∞.) Предположение это правильно. Более того, для любой непрерывной на отрезке [а; b] функции а (не обязательно неотрицательной) Sn при n→∞ стремится к некоторому числу.

называют (по пределению) интегралом функции f от а до b и

обозначают  , т.е.

при n→∞ (1 ) (читается: «Интеграл от а до b эф от икс дэ икс»). Числа а и b называются пределами интегрирования: а — нижним пределом, b — верхним. Знак   называют знаком интеграла.
Функция f называется подынтегральной функцией, а переменная х — переменной интегрирования.

то площадь S соответствующей криволинейной трапеции выражается формулой