Презентация на тему Методы и приемы решений тригонометрических уравнений

в раздел.
Виды тригонометрических уравнений
Методы решения

уравнений.
1. Знать формулы для решения простейших тригонометрических уравнений.
2.

Различать типы тригонометрических уравнений и знать способы их решений.
3. Уметь решать тригонометрические уравнения любых типов.

Выделение основных проблем при решении
этих уравнений:
Потеря корней.
Посторонние корни.
Отбор корней.

(измерять),
то есть измерение треугольников) — раздел математики,
в

котором изучаются тригонометрические функции и их приложения к геометрии.
Данный термин впервые появился в 1595 г. как название книги немецкого математика Бартоломеуса Питискуса (Bartholomäus Pitiscus, 1561—1613),
а сама наука ещё в глубокой древности использовалась для расчётов в астрономии, геодезии и архитектуре.

Лагранж

общие определения, расширив область определения этих функций на всю

числовую ось.

и отложим от горизонтальной оси угол
(если величина угла

положительна, то откладываем против часовой стрелки, иначе по часовой стрелке). Точку пересечения построенной стороны угла с окружностью обозначим Р.

у π/2 90°
1
120° 2π/3 π/3 60°

135° 3π/4 π/4 45°

150° 5π/6 1/2 π/6 30°



180° π -1 0 1 0 0° x
-1/2 ½ 2π 360 (cost)


210° 7π/6 -1/2 11π/6 330° [-π/6]

225° 5π/4 7π/4 315° [-π/4]

240° 4π/3 5π/3 300° [-π/3]

-1
270° 3π/2 [-π/2]
(sint)

из [0;π], что
cos t = а.
Причём, | а

|≤ 1.

arccos(- а) = π- arccos а

Примеры:

1)arccos(-1)

= π

2)arccos( )

Примеры:

а

- а

arcsin(- а)= - arcsin а

Арксинусом числа а называется
такое число (угол) t из [-π/2;π/2],
что sin t = а.
Причём, | а |≤ 1.

t из (-π/2;π/2),
что tg t = а .
Причём,

а Є R.

arctg(-а) = - arctg а

-а

arctg(-а )

Примеры:

1) arctg√3/3 =

π/6

2) arctg(-1) =

-π/4

(угол) t из (0;π),
что ctg t = а.
Причём,

а ЄR .

arcctg(- а) = π – arcctg а

- а

arcctg(- а)

1) arcctg(-1) =

Примеры:

3π/4

2) arcctg√3 =

π/6

где |а| ≤ 1
или
Частные случаи
1) cost=0
t = π/2+πk‚

kЄZ

2) cost=1
t = 2πk‚ kЄZ

3) cost = -1
t = π+2πk‚ kЄZ

а, где | а |≤ 1
или
Частные случаи
1) sint=0

t = πk‚ kЄZ

2) sint=1
t = π/2+2πk‚ kЄZ

3) sint = - 1
t = - π/2+2πk‚ kЄZ

аЄR
t = arctg а + πk‚ k ЄZ
4.

ctgt = а, а ЄR

t = arcctg а + πk‚ kЄZ

2х+1 ≤1
-2≤ 2х ≤0

-1≤ х ≤0
Ответ: [-1;0]

2) -1≤ 5-2х ≤1
-6≤ -2х ≤ -4
2≤ х ≤3
Ответ: [2;3]

новой переменной
a∙sin²x + b∙sinx + c=0
Пусть sinx

= p, где |p| ≤1, тогда a∙p² + b∙p + c = 0
Найти корни, вернуться к замене и решить простые уравнения.

sinx) и методом введения новой переменной.
a∙sinx + b∙cosx =

0
Т.к. sinx и cosx одновременно не равны нулю, то разделим обе части уравнения на cosx (или на sinx). Получим: простое уравнение
a∙tgx + b = 0 или tgx = m

Виды тригонометрических уравнений

Пример. Решите уравнение sinx + 2cosx = 0.
Решение: Разделим обе части уравнения на cosx.

Получим








Ответ:

х (или sin²x) и методом введения новой переменной.
a∙sin²x +

b∙sinx∙cosx + c∙cos²x = 0
Разделим обе части на cos²x. Получим квадратное уравнение:
a∙tg²x + b∙tgx + c = 0.

Виды тригонометрических уравнений

П р и м е р .   Решить уравнение:  3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.
 
   Р е ш е н и е .  3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,
 
                             sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,
 
                             tg2 x + 4 tg x + 3 = 0 ,  отсюда  y 2 + 4y +3 = 0 ,
 
                             корни этого уравнения:  y1 = -1,  y2 = -3,  отсюда
                           1)   tg x = –1,  2)   tg x = –3,

Ответ:

тригонометрических уравнений

3. Уравнение вида:
А sinx + B cosx = C. А, В, С  0

  sin x + cos x = 1 .
    Р е ш е н и е .   Перенесём все члены уравнения
влево: 
                      sin x + cos x – 1 = 0 ,

универсальной
тригонометрической подстановки

Решаются с помощью введения вспомогательного аргумента.


А

sinx + B cosx = C

Универсальная подстановка.
х   + 2n;

Проверка обязательна!

Понижение степени.
= (1 + cos2x ) : 2
= (1 – cos 2x) : 2

Метод вспомогательного аргумента.

= arctg (-1) + πk, kЄZ
2x

= -π/4 + πk, kЄZ
x = -π/8 + πk/2, kЄZ

Ответ: -π/8 + πk/2, kЄZ.

2) cos(x+π/3) = ½

x+π/3 = ±arccos1/2 + 2πk, kЄZ
x+π/3 = ±π/3 + 2πk, kЄZ
x = -π/3 ± π/3 + 2πk, kЄZ

Ответ: -π/3 ± π/3 + 2πk, kЄZ

3) sin(π – x/3) = 0
упростим по формулам приведения
sin(x/3) = 0
частный случай
x/3 = πk, kЄZ
x = 3πk, kЄZ.
Ответ: 3πk, kЄZ.

понижай степень.

Увидел произведение – делай сумму.

Увидел сумму –

делай произведение.

подстановка).

Этими операциями мы сужаем область определения.

2. Лишние корни:

возводим в четную степень.
умножаем на g(х) (избавляемся от знаменателя).

Этими операциями мы расширяем область определения.

Потеря корней, лишние корни.