Что такое findslide.org?

FindSlide.org - это сайт презентаций, докладов, шаблонов в формате PowerPoint.


Для правообладателей

Обратная связь

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Яндекс.Метрика

Презентация на тему Алгебра высказываний. Решение логических задач

Содержание

Задача 1: Составьте сложное высказывание в словесной форме из простых, заданных математическим формулировкам:Высказывание А: «Учащийся Иванов хорошо успевает по английскому языку» Высказывание В: «Учащийся Иванов любит работать на компьютере». А ∧ В «Учащийся Иванов хорошо успевает
Алгебра высказыванийРешение логических задачАвтор: Сергеев  Евгений ВикторовичМОУ СОШ №4 г. Миньяра  Челябинской областиsergeev73@mail.ruhttp://shk4-minyar.ucoz.ru Задача 1: Составьте сложное высказывание в словесной форме из простых, заданных математическим Задача 2:  Пусть p и q обозначают высказывания: p = «Я Задача 3:  Обозначьте элементарные высказывания буквами и запишите высказывания на формальном Задача 4:  Составьте таблицу истинности  для функции А ∨ ¬ВA0011B0101¬B1010A ∨ ¬B1011 Задача 5:  Какие из следующих импликаций истинныесли 2 × 2 = Задача 6:  Какие из следующих высказываний противоречивыa = 1, a ∧ Задача 7:  Пусть:  а = «7 – простое», b = истинаистинаистиналожьистинаистинаистинаистинаистинаистиналожьложьистинаистинаЗадача 8:  Какие из следующих высказываний истинныp → pp ∨ ¬p¬(p Задача 9:  Даны значения: x = 0, y = 1, z Задача 9.1:  Даны значения: x = 0, y = 1, z Задача 9.2:  Даны значения: x = 0, y = 1, z Задача 9.3:  Даны значения: x = 0, y = 1, z Задача 9.4:  Даны значения: x = 0, y = 1, z Задача 9.5:  Даны значения: x = 0, y = 1, z Задача 9.6:  Даны значения: x = 0, y = 1, z Задача 10:   Упростите выражение:  (А ∧ В) ∨ (А Задача 11:   Упростите выражение:  (А ∨ ¬А) ∧ В(А Задача 12:   Упростите выражение:  А ∧ (А ∨ В) Задача 13:  Доказать справедливость  закона поглощения для дизъюнкции:  А Задача 14:  Доказать справедливость  закона поглощения для конъюнкции:  А Задача 15:  Доказать справедливость  первого закона де Моргана: ¬(А ∨ Задача 16:  Доказать справедливость  второго закона де Моргана: ¬(А ∧ Задача 17: Составить расписание занятий так, чтобы математика была первым или вторым Задача 17. РешениеПусть:М1 = «Математика первым уроком»М2 = «Математика вторым уроком»И1 = Задача 17. Решение. Раскрытие скобок(М1 ∨ М2) ∧ (И1 ∨ И3) ∧ Задача 18: В одной из смежных аудиторий может быть либо кабинет информатики, Задача 18. Решение Пусть:  А= «Информатика в кабинете 1»,  В= Задача 18. Решение (продолжение) 	  (¬(А ∨ В) ∨ ¬А) ∧ Задача 19. Следователь допрашивает Клода, Жака и Дика. Клод утверждает, что Жак Задача 19. РешениеВыразим эти высказывания на формальном языке логики:К ∧ ¬Ж ∨ Задача 20. Нерадивый студент сдает компьютерный тест. Все ответы сводятся к ответам Задача 20. РешениеПусть:Первый ответ «Да»Второй ответ «Да»Третий ответ «Да»Четвертый ответ «Да»Пятый ответ Таблицы истинности КонъюнкцияA0011B0101A ∧ B0001ДизъюнкцияA0011B0101А ∨ В0111ИмпликацияA0011B0101A → B1101ЭквиваленцияA0011B0101А ⇔ В10011234567899.19.29.39.49.59.6101112131415161718192021222324
Слайды презентации

Слайд 2 Задача 1: Составьте сложное высказывание в словесной форме

Задача 1: Составьте сложное высказывание в словесной форме из простых, заданных

из простых, заданных математическим формулировкам:
Высказывание А:
«Учащийся Иванов хорошо

успевает по английскому языку»

Высказывание В:
«Учащийся Иванов любит работать на компьютере».

А ∧ В
«Учащийся Иванов хорошо успевает по английскому языку и любит работать на компьютере»

А ∨ В
«Учащийся Иванов хорошо успевает по английскому языку или любит работать на компьютере»

А ∧ ¬В
«Учащийся Иванов хорошо успевает по английскому языку и не любит работать на компьютере»

¬(А ∧ В)
«не (учащийся Иванов хорошо успевает по английскому языку и любит работать на компьютере)» ≡ «Учащийся Иванов плохо успевает по английскому языку и не любит работать на компьютере»

А → В
«учащийся Иванов хорошо успевает по английскому языку, поэтому он любит работать на компьютере»

А → ¬В
«учащийся Иванов хорошо успевает по английскому языку, поэтому он не любит работать на компьютере»

В → А
«учащийся Иванов хорошо успевает по английскому языку, потому, что он любит работать на компьютере»


Слайд 3 Задача 2: Пусть p и q обозначают высказывания: p

Задача 2: Пусть p и q обозначают высказывания: p = «Я

= «Я учусь в школе» q = «Я люблю информатику» составьте

и запишите следующие высказывания:

¬p
¬(¬p)

«Я не учусь в школе»
«не(Я не учусь в школе)» ≡ «Я учусь в школе»
«Я учусь в школе и люблю информатику»
«Я учусь в школе и не люблю информатику»
«Я учусь в школе или люблю информатику»
«Я не учусь в школе или люблю информатику»
«Я не учусь в школе или я не люблю информатику»
«Я люблю информатику, потому, что учусь в школе»


p ∧ q
p ∧ ¬q

p ∨ q
¬p ∨ q

¬p ∨ ¬q
q → p


Слайд 4 Задача 3: Обозначьте элементарные высказывания буквами и запишите

Задача 3: Обозначьте элементарные высказывания буквами и запишите высказывания на формальном

высказывания на формальном языке алгебры высказываний
45 кратно 3

и 42 кратно 3
45 кратно 3 и 12 не кратно 3
2 ≤ 5
если 212 делится на 3 и на 4, то 212 делится на 12
212 – трехзначное число, которое делится на 3 и на 4

А ∧ В, где А = «45 кратно 3», В = «42 кратно 3»
А ∧ ¬В, где А = «45 кратно 3», В = «12 кратно 3»
А ∨ В, где А = «2 < 5», В = «2 = 5»
(A ∧ В) → С, где А = «212 делится на 3», В = «212 делится на 4» и С = «212 делится на 12»
А ∧ В ∧ С, где А = «212 – трехзначное число», В = «212 делится на 3» и С = «212 делится на 4»



Слайд 5 Задача 4: Составьте таблицу истинности для функции А

Задача 4: Составьте таблицу истинности для функции А ∨ ¬ВA0011B0101¬B1010A ∨ ¬B1011

∨ ¬В






A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
¬B
1
0
1
0
A ∨ ¬B
1
0
1
1


Слайд 6 Задача 5: Какие из следующих импликаций истинны
если 2

Задача 5: Какие из следующих импликаций истинныесли 2 × 2 =

× 2 = 4, то 2 < 3
если 2

× 2 = 4, то 2 > 3
если 2 × 2 = 5, то 2 < 3
если 2 × 2 = 5, то 2 > 3


истина
ложь
истина
истина

Таблицы истинности


Слайд 7 Задача 6: Какие из следующих высказываний противоречивы
a =

Задача 6: Какие из следующих высказываний противоречивыa = 1, a ∧

1, a ∧ b = 0
a = 1, a

∨ b = 0
a = 1, a ∧ b = 1
a = 1, a ∨ b = 1
a = 0, a ∧ b = 1
a = 0, a ∨ b = 1
a = 0, a ∧ b = 0
a = 0, a ∨ b = 0


истина
ложь
истина
истина
ложь
истина
истина
истина

Таблицы истинности


Слайд 8 Задача 7: Пусть: а = «7 – простое»,

Задача 7: Пусть: а = «7 – простое», b = «7

b = «7 – составное», с = «8 –

простое» и d = «8 – составное» Определите истинность высказываний

а ∧ с
а ∧ d
b ∧ c
c ∧ d


ложь
истина
ложь
ложь

а ∨ с
а ∨ d
b ∨ c
c ∨ d

истина
истина
ложь
истина

¬а
¬b
¬c
¬d

ложь
истина
истина
ложь


Слайд 9 истина
истина
истина
ложь
истина
истина
истина
истина
истина
истина
ложь
ложь
истина
истина
Задача 8: Какие из следующих высказываний истинны
p →

истинаистинаистиналожьистинаистинаистинаистинаистинаистиналожьложьистинаистинаЗадача 8: Какие из следующих высказываний истинныp → pp ∨ ¬p¬(p

p
p ∨ ¬p
¬(p ∧ ¬p)
p ⇔ ¬p
¬p → p
p

⇔ p
(p ∨ p) → p


¬(p ∧ (p ⇔ ¬p))
(p → p) ∨ ¬p
p ⇔ p ∧ (¬p → p ∧ p)
p ∧ (p ⇔ ¬p)
¬(¬p → p)
¬(p ⇔ ¬p)
(p ∨ p) → (p ∧ p)


Слайд 10 Задача 9: Даны значения: x = 0, y

Задача 9: Даны значения: x = 0, y = 1, z

= 1, z = 1. Определите логические значения высказываний
x ∧

(y ∧ z)
(x ∧ y) ∧ z
x → (y → z)
x ∧ y → z
(x ∧ y) ⇔ (z ∨ ¬y)
((x ∨ y) ∧ z) ⇔ ((x ∧ z) ∨ (y ∧ z))



Слайд 11 Задача 9.1: Даны значения: x = 0, y

Задача 9.1: Даны значения: x = 0, y = 1, z

= 1, z = 1. Определите логические значения высказываний
x ∧

(y ∧ z)
x ∧ (1 ∧ 1)
x ∧ 1
0 ∧ 1
0 (ложь)


x ∧ (y ∧ z)

Таблицы истинности


Слайд 12 Задача 9.2: Даны значения: x = 0, y

Задача 9.2: Даны значения: x = 0, y = 1, z

= 1, z = 1. Определите логические значения высказываний
(x ∧

y) ∧ z
(0 ∧ 1) ∧ z
0 ∧ z
0 ∧ 1
0 (ложь)


(x ∧ y) ∧ z

Таблицы истинности


Слайд 13 Задача 9.3: Даны значения: x = 0, y

Задача 9.3: Даны значения: x = 0, y = 1, z

= 1, z = 1. Определите логические значения высказываний
x →

(y → z)
x → (1 → 1)
x → 1
0 → 1
1 (истина)


x → (y → z)

Таблицы истинности


Слайд 14 Задача 9.4: Даны значения: x = 0, y

Задача 9.4: Даны значения: x = 0, y = 1, z

= 1, z = 1. Определите логические значения высказываний
x ∧

y → z
0 ∧ 1 → z
0 → z
0 → 1
1 (истина)


x ∧ y → z

Таблицы истинности


Слайд 15 Задача 9.5: Даны значения: x = 0, y

Задача 9.5: Даны значения: x = 0, y = 1, z

= 1, z = 1. Определите логические значения высказываний
(x ∧

y) ⇔ (z ∨ ¬y)
(x ∧ y) ⇔ (z ∨ ¬1)
(x ∧ y) ⇔ (z ∨ 0)
(x ∧ y) ⇔ (z ∨ 0)
(0 ∧ 1) ⇔ (1 ∨ 0)
0 ⇔ 1
0 (ложь)


(x ∧ y) ⇔ (z ∨ ¬y)

Таблицы истинности


Слайд 16 Задача 9.6: Даны значения: x = 0, y

Задача 9.6: Даны значения: x = 0, y = 1, z

= 1, z = 1. Определите логические значения высказываний
((x ∨

y) ∧ z) ⇔ ((x ∧ z) ∨ (y ∧ z))
((0 ∨ 1) ∧ z) ⇔ ((0 ∧ 1) ∨ (1 ∧ 1))
(( 1 ) ∧ z) ⇔ (( 0 ) ∨ ( 1 ))
(1 ∧ 1) ⇔ (0 ∨ 1)
1 ⇔ 1
1 (истина)


((x ∨ y) ∧ z) ⇔ ((x ∧ z) ∨ (y ∧ z))

Таблицы истинности


Слайд 17 Задача 10: Упростите выражение: (А ∧ В)

Задача 10:  Упростите выражение: (А ∧ В) ∨ (А ∧

∨ (А ∧ ¬В)
(А ∧ В) ∨ (А ∧

¬В)
А ∧ (В ∨ ¬В)
А ∧ (В ∨ ¬В)
А ∧ ( 1 )
А


(А ∧ В) ∨ (А ∧ ¬В)

Таблицы истинности


Слайд 18 Задача 11: Упростите выражение: (А ∨ ¬А)

Задача 11:  Упростите выражение: (А ∨ ¬А) ∧ В(А ∨

∧ В
(А ∨ ¬А) ∧ В
( 1

) ∧ В
В


(А ∨ ¬А) ∧ В

Таблицы истинности


Слайд 19 Задача 12: Упростите выражение: А ∧ (А

Задача 12:  Упростите выражение: А ∧ (А ∨ В) ∧

∨ В) ∧ (В ∨ ¬В)
А ∧ (А ∨

В) ∧ (В ∨ ¬В)
А ∧ (А ∨ В) ∧ ( 1 )
А ∧ (А ∨ В) ∧ 1 {з-н поглощения}
А ∧ 1
А


А ∧ (А ∨ В) ∧ (В ∨ ¬В)

Таблицы истинности


Слайд 20 Задача 13: Доказать справедливость закона поглощения для дизъюнкции:

Задача 13: Доказать справедливость закона поглощения для дизъюнкции: А ∨ (А

А ∨ (А ∧ В) ≡ А по таблицам

истинности


Таблицы истинности







A
0
0
1
1

B
0
1
0
1

A ∧ B
0
0
0
1

A ∨ (А ∧ B)
0
0
1
1


Слайд 21 Задача 14: Доказать справедливость закона поглощения для конъюнкции:

Задача 14: Доказать справедливость закона поглощения для конъюнкции: А ∧ (А

А ∧ (А ∨ В) ≡ А по таблицам

истинности


Таблицы истинности







A
0
0
1
1

B
0
1
0
1

A ∨ B
0
1
1
1

A ∧ (А ∨ B)
0
0
1
1


Слайд 22 Задача 15: Доказать справедливость первого закона де Моргана:

Задача 15: Доказать справедливость первого закона де Моргана: ¬(А ∨ В)

¬(А ∨ В) ≡ ¬А ∧ ¬В по таблицам

истинности


Таблицы истинности







A
0
0
1
1

B
0
1
0
1

¬A
1
1
0
0

¬B
1
0
1
0

A ∨ B
0
1
1
1

¬(A ∨ B)
1
0
0
0

¬A ∧ ¬B
1
0
0
0


Слайд 23 Задача 16: Доказать справедливость второго закона де Моргана:

Задача 16: Доказать справедливость второго закона де Моргана: ¬(А ∧ В)

¬(А ∧ В) ≡ ¬А ∨ ¬В по таблицам

истинности


Таблицы истинности







A
0
0
1
1

B
0
1
0
1

¬A
1
1
0
0

¬B
1
0
1
0

A ∧ B
0
0
0
1

¬(A ∧ B)
1
1
1
0

¬A ∨ ¬B
1
1
1
0


Слайд 24 Задача 17:

Составить расписание занятий так, чтобы математика

Задача 17: Составить расписание занятий так, чтобы математика была первым или

была первым или вторым уроком, информатика первым или третьим

уроком, а физика – вторым или третьим.
В расписании всего три урока. Сколько вариантов расписания с такими условиями можно составить?

Слайд 25 Задача 17. Решение

Пусть:
М1 = «Математика первым уроком»
М2 =

Задача 17. РешениеПусть:М1 = «Математика первым уроком»М2 = «Математика вторым уроком»И1

«Математика вторым уроком»
И1 = «Информатика первым уроком»
И3 = «Информатика

третьим уроком»
Ф2 = «Физика вторым уроком»
Ф3 = «Физика третьим уроком»
Тогда расписание можно свести к выражению:
(М1 ∨ М2) ∧ (И1 ∨ И3) ∧ (Ф2 ∨ Ф3)

Слайд 26 Задача 17. Решение. Раскрытие скобок

(М1 ∨ М2) ∧

Задача 17. Решение. Раскрытие скобок(М1 ∨ М2) ∧ (И1 ∨ И3)

(И1 ∨ И3) ∧ (Ф2 ∨ Ф3)
(М1∧И1 ∨ М1∧И3

∨ М2∧И1 ∨ М2∧И3) ∧ (Ф2 ∨ Ф3)
М1·И1·Ф2 ∨ М1·И3·Ф2 ∨ М2·И1·Ф2 ∨ М2·И3·Ф2 ∨ ∨ М1·И1·Ф3 ∨ М1·И3·Ф3 ∨ М2·И1·Ф3 ∨ М2·И3·Ф3
Выбираем только непротиворечивые комбинации:
Ответ:
1 вариант – Математика, Физика, Информатика
2 вариант – Информатика, Математика, Физика

М1·И1·Ф2 ∨ М1·И3·Ф2 ∨ М2·И1·Ф2 ∨ М2·И3·Ф2 ∨ ∨ М1·И1·Ф3 ∨ М1·И3·Ф3 ∨ М2·И1·Ф3 ∨ М2·И3·Ф3


Слайд 27 Задача 18:

В одной из смежных аудиторий может

Задача 18: В одной из смежных аудиторий может быть либо кабинет

быть либо кабинет информатики, либо кабинет физики.
На одной

двери написано: «В одном из этих двух кабинетов точно есть кабинет информатики», а на двери другого: «Кабинет информатики не здесь».
Известно также, что высказывания на табличках тождественны.

Определить, где какой кабинет

Слайд 28 Задача 18. Решение

Пусть: А= «Информатика в кабинете

Задача 18. Решение Пусть: А= «Информатика в кабинете 1», В= «Информатика

1», В= «Информатика в кабинете 2»
Тогда: ¬А= «Физика в кабинете

1», ¬В= «Физика в кабинете 2»
Высказывание «В одном из этих двух кабинетов точно есть кабинет информатики»: Х = А ∨ В,
Высказывание «Кабинет информатики не здесь»: Y = ¬А
Исходя из условия: X ⇔ Y, т.е.
Y = (¬X ∨ Y) ∧ (¬Y ∨ X ) ⇒ (¬X ∨ Y) ∧ (¬Y ∨ X ) ∨ ¬Y
Заменяем X и Y их выражениями:
(¬(А ∨ В) ∨ ¬А) ∧ (¬(¬А) ∨ (А ∨ В) ) ∨ ¬(¬А)

Слайд 29 Задача 18. Решение (продолжение)

(¬(А ∨

Задача 18. Решение (продолжение) 	 (¬(А ∨ В) ∨ ¬А) ∧

В) ∨ ¬А) ∧ (¬(¬А) ∨ (А ∨ В)

) ∨ ¬(¬А)
Упрощаем выражение:
((¬А ∧ ¬В) ∨ ¬А) ∧ (А ∨ (А ∨ В)) ∨ А ⇒

(¬(А ∨ В) ∨ ¬А) ∧ (¬(¬А) ∨ (А ∨ В) ) ∨ ¬(¬А)

((¬А ∧ ¬В) ∨ ¬А) ∧ (А ∨ (А ∨ В)) ∨ А ⇒
((¬А ∨ ¬А) ∧ (¬В ∨ ¬А)) ∧ (А ∨ А ∨ В ∨ А) ⇒
(¬А ∧ (¬В ∨ ¬А)) ∧ (А ∨ В) ⇒
¬А ∧ (А ∨ В) ⇒
(¬А ∧ А) ∨ (¬А ∧ В) ⇒
¬А ∧ В
Т.о. выражение ¬А ∧ В соответствует высказыванию:
«Физика в кабинете 1 и информатика в кабинете 2»


Слайд 30 Задача 19.

Следователь допрашивает Клода, Жака и Дика.

Задача 19. Следователь допрашивает Клода, Жака и Дика. Клод утверждает, что


Клод утверждает, что Жак лжет, Жак обвинял во лжи

Дика, а Дик призывает не слушать ни того, ни другого.
Кто из допрашиваемых говорил правду?

Решение:
Пусть показания свидетелей будут назваться буквами К, Ж и Д. Тогда известно, что:
Если Клод сказал правду (К), то Жак лжет (¬Ж), иначе (если Клод солгал, ¬К), то Жак сказал правду (Ж)
Если Жак сказал правду (Ж), тогда Дик не прав, (¬Д), иначе лжет Жак (¬Ж), а Дик – прав (Д)
Если лжет Дик (Д), то Клод и Жак правы (Ж и К), иначе последние лгут (¬(Ж и К)), а Дик – прав (Д)

Слайд 31 Задача 19. Решение

Выразим эти высказывания на формальном языке

Задача 19. РешениеВыразим эти высказывания на формальном языке логики:К ∧ ¬Ж

логики:
К ∧ ¬Ж ∨ ¬К ∧ Ж
Ж ∧ ¬Д

∨ ¬Ж ∧ Д
Д ∧ ¬К ∧ ¬Ж ∨ ¬Д ∧ (К ∨ Ж)
Задача будет решена, если все три высказывания будут истинны, т.е. истинна их конъюнкция:
(К·¬Ж ∨ ¬К·Ж) ∧ (Ж·¬Д ∨ ¬Ж·Д) ∧ (Д·¬К·¬Ж ∨ ¬Д·(К ∨ Ж))
(К·¬Ж· Ж·¬Д ∨ К·¬Ж·¬Ж·Д ∨ ¬К·Ж·Ж·¬Д ∨ ¬К·Ж·¬Ж·Д) ∧
∧ (Д·¬К·¬Ж ∨ ¬Д·К ∨ ¬Д·Ж)
(К·¬Ж·¬Ж·Д ∨ ¬К·Ж·Ж·¬Д) ∧ (Д·¬К·¬Ж ∨ ¬Д·К ∨ ¬Д·Ж)
(К·¬Ж·¬Ж·Д·Д·¬К·¬Ж ∨ К·¬Ж·¬Ж·Д·¬Д·Ж ∨ К·¬Ж·¬Ж·Д·¬Д·Ж ∨ ∨ ¬К·Ж·Ж·¬Д·Д·¬К·¬Ж ∨ ¬К·Ж·Ж·¬Д·¬Д·Ж ∨ ∨ ¬К·Ж·Ж·¬Д·¬Д·Ж
¬К·Ж·Ж·¬Д·¬Д·Ж ∨ ¬К·Ж·Ж·¬Д·¬Д·Ж ≡ ¬К ∧ ¬Д ∧ Ж
Итак, только Жак говорил правду

(К·¬Ж ∨ ¬К·Ж) ∧ (Ж·¬Д ∨ ¬Ж·Д) ∧ (Д·¬К·¬Ж ∨ ¬Д·(К ∨ Ж))


Слайд 32 Задача 20.

Нерадивый студент сдает компьютерный тест. Все

Задача 20. Нерадивый студент сдает компьютерный тест. Все ответы сводятся к

ответы сводятся к ответам типа «Да» или «Нет». Один

правильный ответ – один балл. Студенту известно, что:
Первый и последний ответы противоположны
Второй и четвертый ответы одинаковы
Хотя бы один из первых двух ответов – «Да»
Если четвертый ответ «Да», то пятый – «Нет»
Ответов «Да» больше, чем ответов «Нет»

Требуется получить 4 или более баллов

Слайд 33 Задача 20. Решение

Пусть:
Первый ответ «Да»
Второй ответ «Да»
Третий ответ

Задача 20. РешениеПусть:Первый ответ «Да»Второй ответ «Да»Третий ответ «Да»Четвертый ответ «Да»Пятый

«Да»
Четвертый ответ «Да»
Пятый ответ «Да»
Тогда:
A ∧ ¬E
B ∧ D
A

∨ B
D → ¬E ≡ ¬D ∨ ¬E

Отсюда:

(A ∧ ¬E) ∧ (B ∧ D) ∧ (A ∨ B) ∧ (¬D ∨ ¬E) ⇒
⇒ A¬EBD ∧ (A ∨ B) ∧ (¬D ∨ ¬E) ⇒
⇒ A¬EBD ∧ (A¬D ∨ A¬E ∨ B¬D ∨ B¬E) ⇒
⇒ A¬EBD ∨ A¬EBD ⇒ A¬EBD


  • Имя файла: algebra-vyskazyvaniy-reshenie-logicheskih-zadach.pptx
  • Количество просмотров: 230
  • Количество скачиваний: 0