Слайд 3
Из истории;
Понятие о производной;
Правила вычисления производной:
-Основные правила
дифференцирования, -Производная степенной функции.
Производная сложной функции: -Сложная функция, -Производная триногометрических функций;
Применение.
Слайд 4
Формула производной встречается нам ещё в 15 веке.
Великий итальянский математик Тартальи, рассматривая и развивая вопрос -
на сколько зависит дальность полёта снаряда от наклона орудия - применяет её в своих трудах.
Посвящает целый трактат о роли производной в математике известный учёный Галилео Галилей. Затем производная и различные изложения с её применением стали встречаться в работах Декарта, французского математика Роберваля и англичанина Грегори. Большой вклад по изучению производной внесли такие умы, как Лопиталь, Бернулли, Лангранж и др
Слайд 5
Понятие о производной
Производной функции f в точке x0
называется число, к которому стремится разностное отношение
∆f/Δx=f(x0+Δx)-f(x0)/Δx
при ΔX, стремящемся к нулю.
Слайд 6
Основные правила дифференцирования
Правило №1. Если функции u и
v дифференцируемыв точке x0,то их сумма дифференцируема в этой
точке (u+v)'= u'+v'.
Коротко говорят: производная суммы равна сумме производных.
Слайд 7
Лемма. Если функция f дифференцируема в точке x0,то
она непрерывна в этой точке: ∆f→0 при ∆x→0, т.е.
f(x0+∆x
)→(x0) при ∆x→0.
Слайд 8
Правило №2. Если функции u и v дифференцируема
в точке x0,то произведение дифференцируемо в этой точке и
(uv)'=u'v+uv'.
Слайд 9
Следствие.Если функция u дифференцируема в точке x0,а С-постоянная,
то функция Cu дифференцируема в этой точке и (Cu)'=Cu'.
Коротко говорят: постоянный множитель можно выносить за знак проязводной.
Слайд 10
Правило №3. Если функции u и v дифференцируемы
в точке x0 и функция v не равна нулю
в этой точке, то частное u/v также дифференцируемо в x0 и
(u/v)'=u'v-uv'/v².
Слайд 11
Производная степенной функции:
Для любого целого n и любого
x (x≠0 при n≤1)
(xⁿ)'=nxⁿ־¹.
Слайд 12
Целые рациональные функции (многочлены) и дробно-рациональные функции дифференцируемы
в каждой точке своей области определения.
Слайд 13
Производная сложной функции:
Если функция f имеет производную
в точке x0,а функция g имеет производную в точке
y0=f(x0), то сложная функция h(x)=g(f(x)) также имеет производную в точке x0 причём h'(x0)=g'(f(x0))·f '(x0).
Слайд 14
Производные триногометрических функций:
Фориула производной синуса: Функция синус имеет
производную в любой точке и (sin x)'=cos x.
Слайд 15
Формулы дифференцирования косинуса, тангенса и котангенса: функции y=cos
x, y=tg x, y=ctg x имеют производные вкаждой точке
своей области определения,
и справедливы формулы:
(cos x)'=-sin x,
(tg x)'=1/cos² x,
(ctg x)'=-1/sin²x.
Слайд 16
(sin x)'=cos x
(cos x)'=-sin x,
(tgx)'=1/cos² x,
(ctg x)'=-1/sin²x.
Слайд 17
Производные широко применимы в настоящее время, например,
в экономическом анализе. Они помогают точно вывести данные об
изменении экономики государства. Используя их, можно совершенно точно просчитать, как можно увеличить доход государства и за счёт чего он может быть увеличен
Слайд 18
Производная широко используется для исследования функций, т.е. для
изучения различных свойств функций. Например, с помощью производной можно
находить промежутки возрастания и убывания функции, ее наибольшие и наименьшие значения.