Презентация на тему МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ В ЭКОНОМИКЕ

экономике восходит к работам Ф.Кенэ («Экономическая таблица»), А. Смита

(классическая макроэкономическая модель), Д.Риккардо (модель международной торговли). Моделированию рыночной экономики посвящены работы Л.Вальраса, О.Курно, В.Парето. С применением математических методов связаны работы В.В. Леонтьева, Р.Солоу, П.Самуэльсона, Д.Хикса, В.С Немчинова, В.В Новожилова, Л.В. Канторовича и многих других выдающихся ученых. Примерами экономических моделей являются модели фирмы, модели экономического роста, модели потребительского выбора, модели равновесия на финансовых и товарных рынках.
Построение экономической модели требует выполнения ряда шагов. Сначала формулируется предмет и цель исследования. Затем экономисты выявляют структурные и функциональные элементы модели, взаимосвязи между ними, существенные факторы, отвечающие цели исследования и отбрасывают то, что несущественно для решения задачи. На заключительном этапе проводятся расчеты по математической модели и анализ полученного решения. Именно на завершающем этапе применяются численные методы.
В данном разделе на материале ряда экономических моделей иллюстрируется применение методов численного решения нелинейных уравненийВ данном разделе на материале ряда экономических моделей иллюстрируется применение методов численного решения нелинейных уравнений, систем алгебраических уравненийВ данном разделе на материале ряда экономических моделей иллюстрируется применение методов численного решения нелинейных уравнений, систем алгебраических уравнений, численного интегрирования В данном разделе на материале ряда экономических моделей иллюстрируется применение методов численного решения нелинейных уравнений, систем алгебраических уравнений, численного интегрирования и методов решения дифференциальных уравнений.

макроэкономике для проведения балансового анализа многоотраслевого хозяйства.
Цель балансового

анализа — ответить на вопрос, каким должен быть объем производства каждой из отраслей хозяйства, чтобы удовлетворить все потребности в продукции этой отрасли? Предполагается, что каждая отрасль выступает одновременно как производитель некоторого вида продукции и как потребитель продукции других (в том числе своей) отраслей.
Процесс производства рассматривается за некоторый период времени, например, за год.

уравнения в экономической динамике. Модель экономического роста.
Динамические модели

характеризуют изменение экономических процессов во времени. Моделирование может осуществляться с использованием дискретного и непрерывного подхода. В настоящем разделе даются два примера такого моделирования. Эти примеры являются абстрактными. Однако в рассматриваемых случаях их решение может быть найдено в явном виде, что позволяет проанализировать особенности поведения решения для различных случаев соотношения параметров моделирования.

финансовой математики, где требуется применение методов вычислений.
Определение уровня процентной

ставки.
Вычисление наращенных сумм на основе непрерывных процентных ставок

лет фирма перечисляет в банк p раз в году

средства в размере R/p денежных единиц (R – величина суммарного годового платежа) с целью создания фонда накопления. Банк начисляет проценты на данные взносы m раз в году по сложной процентной ставке j. Определим наращенную сумму (величину фонда накопления) такого потока платежей на момент окончания выплат.

роста называется специальная процентная ставка, характеризующая относительный прирост наращенной

суммы.
Согласно данному определению на бесконечно малом промежутке имеем

«Численные методы» и рассмотрено достаточное количество примеров, что поможет

студентам в самостоятельной работе по освоению данного курса и будет полезно при выполнении лабораторных работ.

задачи с помощью компьютера.
Характеристика погрешности
Приближенные методы решения нелинейных уравнений
Решение

задач линейной алгебры
Интерполяция
Численное интегрирование
Численное решение задачи Коши
Метод наименьших квадратов
Литература

обуславливается следующими причинами: математическая модель дает приближенное описание задачи;

неточно заданы исходные данные: получение точного результата невозможно, т.к. оно требует неограниченного или неприемлемо большого числа арифметических операций, и поэтому приходится прибегать к приближенному методу; при вводе данных в машину, при выполнении арифметических операций и при выводе данных производятся округления.
Погрешности, соответствующие этим причинам, называют:
неустранимой погрешностью;
погрешностью метода;
вычислительной погрешностью.
Таким образом, полная погрешность результата решения задачи складывается из неустранимой погрешности, погрешности метода и вычислительной погрешности.
Процесс решения задачи с помощью вычислительной техники можно разделить на несколько этапов. Схематично это выглядит так:

значение x.
Абсолютной погрешностью приближения  называется величина А(x*), для

которой справедливо неравенство: |x - x*|≤ А(x*)
Величина Δ(x*), удовлетворяющая неравенству |x - x*|/ |x*| ≤ Δ(x*)
называется относительной погрешностью x*.
Абсолютная погрешность зависит от выбора системы единиц измерения x*. Относительная погрешность – величина безразмерная, иногда вычисляется в процентах.
Абсолютная и относительная погрешности связаны соотношением: А(x*) = |x*| Δ(x*).
Значащими цифрами в записи числа называются все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой.
Значащая цифра называется верной, если абсолютная погрешность этого числа не превосходит половины единицы разряда, соответствующего этой цифре. Остальные цифры называются сомнительными.
Таким образом, в числе
x* = a110n + a210n – 1 + … +am10n – m + 1 цифра ak считается верной,
если А(x*) ≤ 0,5·10n – k + 1.
Количеством верных цифр после запятой называется количество цифр в числе после запятой до первой сомнительной.

решения нелинейных уравнений

= 0. Заменим уравнение эквивалентным ему уравнением
x2 −

1 = sinx.
Изобразим примерно графики левой и правой частей на (-π, π).

Видно, что уравнение имеет два корня: на (−1, 0) и на (1, 2 ). Приближенные значения корней уточняют различными итерационными методами. Рассмотрим наиболее эффективные из них.

b, что на отрезке [a, b] лежит единственный корень

уравнения. Найдем середину отрезка c = (a+b)/2 и вычислим f(c). Из двух половин отрезка выберем ту, на концах которой функция имеет разные знаки, тогда корень лежит на этой половине. Затем новый отрезок опять делим пополам и т.д.
Если требуется найти корень с точностью ε, то продолжаем деление пополам до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше 2ε. Тогда середина последнего отрезка даст значение корня с требуемой точностью. Дихотомия проста и очень надежна: к простому корню она сходится для любых непрерывных функций f(x); при этом она устойчива к ошибкам округления. Скорость сходимости невелика: за k итераций длина отрезка уменьшится в 2k раза (уточнение трех цифр требует 10 итераций). Погрешность метода на шаге k оценивается следующим образом:
где ξ- точное решение уравнения, xk — значение одного из концов отрезка на шаге к. Дихотомия применяется тогда, когда требуется высокая надежность счета, а скорость сходимости малосущественна

ему уравнением х = φ(х),
где φ(х) ─ дифференцируемая

функция. Это можно сделать многими способами, например, положив φ(х) ≡ x + ψ(x)f(x), где ψ(x) — произвольная непрерывная знакопостоянная функция. Выберем некоторое нулевое приближение х0 и вычислим дальнейшие приближения по формулам
xn+1 = φ(xn), где n = 0, 1, 2, . . . (1)
Исследуем условия сходимости. Если φ(х) имеет непрерывную производную, то:
хn + 1 − ξ = φ(хn) − φ(ξ) = (хп − ξ)φ'(θ),
где точка θ лежит между точками хn и ξ. Поэтому, если всюду |φ'(х)| ≤ q < 1, то значения Іхп − ξІ убывают не медленней членов геометрической прогрессии со знаменателем q < 1, и последовательность хп сходится при любом нулевом приближении. Если |φ'(ξ)| > 1, то, в силу непрерывности, |φ'(х)| больше единицы и в некоторой окрестности корня; в этом случае итерации не могут сходиться. Если |φ'(ξ)| < 1, но вдали от корня |φ'(х)| > 1, то итерации сходятся, если нулевое приближение выбрано достаточно близко к корню; при произвольном нулевом приближении сходимости может не быть. Очевидно, что чем меньше q, тем быстрей сходимость.
Погрешность метода можно оценить соотношением: │хk − ξ│ ≤ qk│х0 − ξ│
где ξ ─ точное решение уравнения, xk ─ значение итерации на шаге k. Тогда количество итераций, необходимых для достижения точности ε, можно определить из неравенства: qk│х0 − ξ│ < ε.

уравнения f(x) = 0, f(x) – функция непрерывная вместе

с первой производной на [a, b]. Заменим f(x) линейной функцией f(xn) + f′(xn)(x − xn) ─ выражением для касательной в точке xn, принадлежащей отрезку [a, b]. Тогда точка пересечения графика этой функции с осью OX (решение уравнения f(xn) + f′(xn)(x − xn) = 0) ─ очередное приближение к решению уравнения по методу Ньютона.
Отсюда,
(2)

следующие условия:
1.Функция f(x) определена и дважды непрерывно дифференцируема на

[a, b];
2.Отрезку [a, b] принадлежит только один простой корень (f(a)⋅f(b) < 0)
3.Производные f′(х), f′′(х) сохраняют знак на [a, b] и f′(х) не обращается в 0;
4.Начальное приближение х0 удовлетворяет неравенству f(х0)·f′′(х0) ≥ 0.
Тогда последовательность{xn} монотонно сходится к корню уравнения f(x) = 0.
Скорость сходимости метода Ньютона квадратичная:|xk+1 − ξ| ≤ C∙|xk − ξ|2,где

0 приближенным методом можно оценить погрешность следующим образом:
пусть ⎢f′(х)⎢

≥ m на [a, b] , это справедливо, т.к. f′(х) ≠ 0 и она непрерывна на
[a, b].
Из │f(xn) − f(ξ)│ = │f′(θ)│∙│xn − ξ│ следует, что

решить систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными





в

матричной форме: Ax = b, где A — матрица коэффициентов,
b, x — столбец свободных членов и столбец неизвестных соответственно.
Применяемые в настоящее время методы решения линейных систем можно разбить на две группы: точные и приближенные

преобразований:
Обратный ход: решаем систему с треугольной матрицей, начиная с

последнего уравнения

x3 = 3; x2 = −28 + 10x3 = 2; x1 = 8 − 0,5x2 − 2x3 = 1.

такие методы, которые даже в предположении, что вычисления ведутся

без округлений, позволяют получить решение системы (х1, х2, . . . , хn) за конечное число шагов лишь с заданной точностью. Точное решение системы в этих случаях может быть получено теоретически как результат бесконечного процесса. К приближенным методам относятся: метод простой итерации, метод Зейделя и др. Каждый из этих методов не всегда является сходящимся в применении к конкретному классу систем линейных уравнений.

достаточным условием сходимости этого метода является диагональное преобладание в

матрице А исходной системы .
Диагональное преобладание в матрице А означает, что


для любого i = 1, 2, …, n

матрицу А в виде суммы трех матриц A =

L + D + R, где L – левая треугольная матрица, R – правая треугольная матрица, D – диагональная матрица. Тогда итерационный процесс можно записать в виде
(L+D)x(k + 1) + Rx(k) = b, отсюда имеем
x(k + 1) = −(L+D)−1 Rx(k) + (L+D)−1 b
Необходимые и достаточные условия сходимости метода Зейделя:
все корни уравнения det(R + (L + D)λ) = 0 должны быть по модулю
меньше 1.

уравнений с тремя неизвестными и в случае сходимости получить

для нее приближенное решение этим методом.
2x1 − x2 + x3 = −3
3x1 + 5x2 − 2x3 = 1
x1 − 4x2 + 10x3 = 0
Построим итерационный процесс следующим образом:
x1(k + 1) = −1,5 + 0,5 x2(k) − 0,5 x3(k)
x2(k + 1) = 0,2 − 0,6 x1(k + 1) + 0.4 x3(k)
x3(k + 1) = −0,1 x1(k + 1) + 0,4 x2(k + 1)
Уравнение det(R + (L + D)λ) = 0 имеет вид
100λ3 − 3λ2 + 2λ = 0
λ1 = 0, λ2, 3 - комплексные числа, по модулю меньше 1 и метод Зейделя сходится.

Лагранжа нулевой степени с одним узлом x0 – константой

f(x0). Тогда искомый интеграл, равный площади криволинейной трапеции, будет приближенно равен площади прямоугольника с высотой f(x0) и основанием b − a.
В зависимости от выбора x0 мы можем получить формулы:
Формула левых прямоугольников (x0 = a)
Формула правых прямоугольников (x0 = b)
Формула средних прямоугольников (x0 = (a+b)/2)

решения в ряд Тейлора
Методы Рунге - Кутты
Разностные методы
Пример

порядка:
найти решение уравнения y′ = f(x, y) на

отрезке [x0, x0 + L], удовлетворяющее начальным условиям y(x0) = y0 (1).
Если функция f(x,y) непрерывна и удовлетворяет условию Липшица по y в некоторой окрестности начальной точки x0, то можно указать такой отрезок
[x0 , x0 + L] , на котором решение задачи существует и единственно. Численные методы позволяют приближенно вычислить искомое решение y(x) в некоторых точках xi ∈ [x0, x0 +L]. Решение ищется в виде последовательности значений y0, y1, y2, . . . , yn , где yi – приближенное значение точного решения y(x) в точке xi .

f(x, y) имеет в рассматриваемой области непрерывные и ограниченные

частные производные. Тогда можно записать для решения (1) разложение в ряд Тейлора:


где y′(x0) = f(x0, y0), y′′(x0 ) = f′x(x0, y0) + f′y(x0, y0)f(x0, y0)
и т.д. Оборвем разложение на слагаемом, содержащем (x − x0)k.
Можно записать приближенное равенство

Возьмем k = 1. Полученный метод имеет вид:
yj+1 = yj + h f(xj, yj) и называется методом Эйлера. Геометрическая интерпретация метода Эйлера представлена на рисунке.