FindSlide.org - это сайт презентаций, докладов, шаблонов в формате PowerPoint.
Email: Нажмите что бы посмотреть
1.3 Взаимное расположение прямой и точки вне прямой
1.4 Взаимное расположение прямой и двух точек вне прямой
1.5 Взаимное расположение точки и двух параллельных прямых
2. Взаимное расположение прямолинейных фигур
2.1 Взаимное расположение треугольников
2.3 Взаимное расположение многоугольников
2.4 Взаимное расположение треугольника и окружности
3. Взаимное расположение окружностей
3.1 Расположение центров окружностей относительно общей касательной
3.2 Расположение центров окружностей относительно их общей точки касания
3.3 Расположение центров окружностей относительно общей хорды
3.4 Расположение центров окружностей относительно хорды большей окружности
3.5 Расположение точек касания окружности и прямой
2.2 Взаимное расположение треугольника и многоугольника
4.5 Выбор плоской фигуры
5. Соответствие между множеством фигур и множеством их свойств
5.1 Неопределенность между значением синуса (косинуса) угла и видом угла
5.2 Интерпретация алгебраического решения
5.3 Задачи с параметрами
Пример 1. На прямой взяты точки A, B и C так, что расстояние между
точками A и B равно 5, а между B и C равно 3. Найдите расстояние между точками A и C .
Решение. Неоднозначность в данной задаче состоит в том, что на прямой не
указано взаимное расположение точек A, B и C относительно друг друга. Можно записать шесть различных вариантов расположение этих точек:
А
В
С
В
А
С
А
В
С
В
А
С
С
В
А
В
С
А
АС = АВ + ВС = 5 + 3 = 8
Случай невозможен
СВ < АВ
Ответ: 8 или 2.
а)
b)
с)
СГ
А
В
С
1 сл.
А
С
В
2 сл.
А
В
С
3 сл.
А
В
С
D
М
А
В
С
D
М
1 сл. ВМ:МD = 1:2
2 сл. ВМ:МD = 2:1
А
В
С
D
М
1 случай. ВМ : МD = 1 : 2
А
В
С
D
2 случай. ВМ : МD = 2 : 1
А
В
С
D
Е
Е1
F
F1
2 случай. Е1C : BЕ1 = 2 : 3, решая аналогично,
А
В
С
D
Е
F
Е1
F1
1 случай. ВЕ : ЕС = 2 : 3
2 случай. ВЕ1 : Е1С = 3 : 2
А
B
C
E
F
D
x
y
d
А
В
С
D
М
Т
Е
1 случай. Прямая, проходящая через середину Е стороны АВ, пересекает отрезок CD и
продолжение отрезка AD за точку D.
А
В
С
D
М
Т
Е
2 случай. Прямая, проходящая через середину Е стороны АВ, пересекает отрезок CD и продолжение отрезка AD за точку А.
Ответ: 2 или 10.
1.2 Взаимное расположение точки и отрезка, лежащих на одной прямой
А
В
С
D
М
K
N
А
В
С
D
K
N
М
2 случай. Точка М внутри параллелограмма.
NC = x и AB = BN = 2x .
2(2x + 3x) = 40
x = 4 .
Значит, AB = 8 и BC = 8 + 4 = 12 .
Ответ: 5; 15 или 8; 12.
Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.
1 случай. Точка М вне параллелограмма.
А
В
С
G
М
O1
E
K
N
R
R
F
O
r
1 случай. Окружность вписана в треугольник.
FOGC – квадрат и отрезки касательных, проведенных из одной точки
к окружности, равны, то
2-й способ. Выразим площадь прямо-
угольного треугольника двумя способами.
1-й способ. r – радиус вписанной окружности.
А
В
С
E
K
F
D
Решение. ВЕ ┴ AD, CF ┴ AD.
Проекция боковой стороны равнобедренной трапеции на большее основание равна полуразности оснований, а проекция диагонали – полусумме оснований
(средней линии).
Ответ: 5 или 30.
L
А
В
С
L
M
K
N
O
P
А
В
С
L
M
K
N
O
P
1 случай
2 случай
CK = CL = 6 по свойству касательных.
А
В
С1
С
А1
О
40°
40°
10°
?
Решение. СС1 = 2R,
А
В
D1
С
А1
О
F
E1
D
E
Трапеция вписана в некоторую окружность тогда и только тогда, когда она является равнобедренной.
Решение. Трапеция вписана в окружность, поэтому она равнобедренная.
Пусть BC = 14 – хорда окружности R = 25. Существует две хорды AD || BC, A1D1 || BC и AD = A1D1 = 40 .
Центр окружности, описанной около трапеции, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам трапеции.
Центр описанной окружности O на серединном перпендикуляре к BC .
В
D1
С
А1
О
F
E1
E1F = FO – OE1 = 9.
Ответ: 39 или 9.
Радиус (диаметр), перпендикулярный
хорде, делит хорду пополам.
А
В
С
Р
F
D
E
Н
G
1 случай. Точки Е и В в одной
полуплоскости с границей АС.
E1
Р1
2 случай. Точки Е и В в разных
полуплоскостях с границей АС.
СГ
ПГ
?
Ответ: 2,4 или 7,2.
1 случай.
Точка Н принадлежит
отрезку АВ, AH ≤ AB.
А
В
С
K
D
Н
M
А
В
С
D
Н
M
K
А
D
В
С
K
M
Н
3 случай.
Точка Н принадлежит
лучу АВ, AH ≥ 3АВ .
r1
r2
r2
N
128
При любом способе касания
точка касания и центры окружностей
лежат на одной прямой.
А2
В2
r
R
O1
K1
O2
А1
В1
r
l1
l2
a
K2
СГ
ПГ
R
r
R
O1
O2
А
В
r
R
M
r
a
Внешнее касание окружностей.
1 случай
O1
O2
А
В
r
a
2 случай
Внутреннее касание окружностей.
M
φ
В обоих случаях центры O1 и O2 этих окружностей будут лежать на биссектрисе угла ADC.
А
В
С
D
Е
F
O2
ll
ll
l
l
AD = 4, BD = 3, ED = 1, FD =5.
2 случай.
Внутреннее касание окружностей.
1 случай.
Внешнее касание окружностей.
В обоих случаях центры O1 и O2
этих окружностей будут лежать
на биссектрисе угла – прямой BD.
Общая хорда перпендикулярна линии центров и делится ею пополам.
Пример 23. Окружности радиусов 10 и 17 пересекаются в точках А и В. Найдите расстояние между центрами окружностей, если AB = 16.
O2
А
В
O1
r
С
R
O2
O1
С
А
В
r
R
1 случай. Центры окружностей
лежат по разные стороны
от их общей хорды AB.
2 случай. Центры окружностей
лежат по одну сторону
от их общей хорды AB.
O1O2 = 15 + 6 = 21.
2 случай. Центры окружностей
лежат по одну сторону
от их общей хорды AB.
O2
А
O1
r
R
В
С
l
l
l
l
l
l
2 случай. Центры окружностей
лежат по одну сторону
от их общей хорды AD.
O
А
В
O1
С
M
N
O
А
В
N
O1
M
С
E
E
1 случай. Центры окружностей
лежат по разные стороны
от их общей хорды AB.
2 случай. Центры окружностей
лежат по одну сторону
от их общей хорды AB.
O1
А
В
O2
С
M
N
O1
O2
А
В
С
M
N
1 случай. Центры окружностей
лежат по разные стороны
от их общей хорды MN.
2 случай. Центры окружностей
лежат по одну сторону
от их общей хорды MN.
O
А
В
O1
С
N
E1
K
O2
Е2
1 случай. Центры окружностей
лежат по разные стороны
от их общей хорды AB.
2 случай. Центры окружностей
лежат по одну сторону
от их общей хорды AB.
Центры этих окружностей O1 и O2
будут лежать на перпендикуляре к хорде AB, проходящем через точку C.
KO1 = KC + CO1 = 9 + r =>
O
А
В
С
E
D
O1
Е1
G
1 случай. Окружность касается луча BС.
2 случай. Точка касания Е1 лежит на продолжении луча BС за точку В.
Центр искомой окружности O –
точка пересечения серединного перпендикуляра к отрезку AD и перпендикуляра к прямой ВС, восставленного из точки касания E окружности и прямой.
т.е. DE = 1.
O
300
BG = 2, GE1 = 1, GO = 2 + 2 = 4,
Ответ: 1 или 7.
O1
M
P
O2
9
E
4
O3
r3
Решение.
1 случай.
MP = MK + KP.
K
Перебор вариантов в задаче зависит от расположения точки касания третьей окружности с прямой относительно точек касания первых двух окружностей с этой прямой.
O2
K
B
O1
B1
O
N
B2
M
R = 4
1 случай.
Точка касания искомой окр. с KN левее точки касания B.
2 случай.
Точка касания искомой окр. с KN правее точки касания B.
A1
A2
C1
C2
Центры окружностей,
вписанных в угол, лежат на биссектрисе этого угла.
A1
A2
C1
r
OB ┴ KN, а KN = R = 4.
r = 1.
r = 16.
r
Ответ: 1 и 16.
В
E
F
C
E
F
E
F
1 сл.
2 сл.
СГ
ПГ
Ответ: S или 3S.
Пример 34. Диагонали АС и BD трапеции ABCD пересекаются в точке Е.
Найдите площадь трапеции, если площадь треугольника AED равна 9, а точка Е делит одну из диагоналей в отношении 1 : 3.
А
В
С
D
E
9
1
3
3
C
D
A
B
E
81
9
27
27
D
A
B
C
E
27
3
9
9
B
C
D
A
E
27
3
9
9
Если у двух треугольников равны
высоты, то их площади относятся
как основания.
Стр 30
1 случай
А
С
D
O
B
L
N
M
2 случай
А
С
D
O
B
E
H
Q
P
LN ┴ ВC, LN ┴ AD, BL = LC , AN = ND.
MB = BL и AM = AN
(отрезки касательных,
проведенные из одной точки),
то BC = 2BL = 18,
AD = 2AN = 50.
P
Пример 36. Площадь треугольника ABC равна 8. MN – средняя линия.
Найдите площадь треугольника CMN.
А
В
N
M
С
А
В
M
С
А
В
N
С
M
N
MN || BC
MN || AC
MN || AB
А
В
M
С
N
2 случай. MN || AC
B
С
A
B
A
С
O
O
2 случай
1 случай
A
С
B
H
E
F
D
B
A
C
F
H
E
D
2 случай
1 случай
A
С
B
H
E
D
Доказательство.
В четырехугольнике AEHD углы E и D прямые,
то
Отсюда следует, что радиусы окружностей, описанных около треугольников АВС и ВСН равны между собой.
Аналогичное доказательство проводят и для других треугольников.
C
A
B
H
D
E
2 случай
1 случай
B
A
C
H
C1
A1
B1
Доказательство. Рассмотрим остроугольный треугольник ABC.
A
H
B
C
B1
C1
A1
2 случай
1 случай
Замечание. Другое решение может быть основано на следующей опорной
задаче:
Высоты остроугольного треугольника являются биссектрисами его ортотреугольника (треугольник, образованный основаниями высот).
B
A
C
H
C1
A1
B1
Если треугольник тупоугольный, то две его высоты — биссектрисы внешних углов ортотреугольника, а третья — биссектриса внутреннего угла.
B
A
K
C
R
4.4 Выбор кругового элемента
E
O
J
I
a
b
O
B
A
K
C
R
E
J
I
a
b
1 случай
2 случай
R = 6a.
A
С
B
H
E
D
F
x
x
b
x – b
A
С
B
E
D
F
P
a – x
a
Пример 43. Радиус окружности равен 1. Найдите величину вписанного угла, опирающегося на хорду, равную 2. Ответ дайте в градусах.
A
B
O
A1
C
α
Решение.
Все вписанные углы, опирающиеся на эту хорду, с вершинами, лежащими на одной дуге, будут равны.
Хорда BC разбивает
окружность на две дуги.
ПГ
Вписанный угол измеряется полови-
ной дуги, на которую он опирается.
A
С
B
O
B1
M
M1
Решение.
По следствие теоремы синусов
B
C
A
O
A1
C1
Доказательство.
=>
Остальные равенства доказывают аналогично.
A
C
O
M
B
N
A
C
O
M
B
N
A
C
O
M
B
N
A
C
O
M
B
N
1 случай
Оба корня удовлетворяют решению задачи.
угол D – острый.
А
С
В
M
N
O
l
l
В трапецию BMNC вписана окружность
y = 17 при x = 10 и
y = 10 при x =17.
А
С
D
C1
B
А
С
D
C1
B
2 случай
1 случай
α
α
450 < α < 900
00 < α < 450
Вписанные углы, опирающиеся на
одну и ту же дугу, равны.
A
С
B
2 случай
1 случай
С
A
B
a
a
a
l
l
l
l