Презентация на тему по математике на тему Многовариантные задачи по планиметрии (9-11 класс)

точек на прямой
1.2 Взаимное расположение точки и отрезка, лежащих

1.3 Взаимное расположение прямой и точки вне прямой

1.4 Взаимное расположение прямой и двух точек вне прямой

1.5 Взаимное расположение точки и двух параллельных прямых

2. Взаимное расположение прямолинейных фигур

2.1 Взаимное расположение треугольников

2.3 Взаимное расположение многоугольников

2.4 Взаимное расположение треугольника и окружности

3. Взаимное расположение окружностей

3.1 Расположение центров окружностей относительно общей касательной

3.2 Расположение центров окружностей относительно их общей точки касания

3.3 Расположение центров окружностей относительно общей хорды

3.4 Расположение центров окружностей относительно хорды большей окружности

3.5 Расположение точек касания окружности и прямой

2.2 Взаимное расположение треугольника и многоугольника

многоугольника

4.2 Выбор линейного элемента

4.3 Выбор углового элемента

4.4 Выбор кругового

4.5 Выбор плоской фигуры

5. Соответствие между множеством фигур и множеством их свойств

5.1 Неопределенность между значением синуса (косинуса) угла и видом угла

5.2 Интерпретация алгебраического решения

5.3 Задачи с параметрами

представляющую собой точку, отрезок, луч, прямую.
При решении задач

Пример 1. На прямой взяты точки A, B и C так, что расстояние между
точками A и B равно 5, а между B и C равно 3. Найдите расстояние между точками A и C .

Решение. Неоднозначность в данной задаче состоит в том, что на прямой не
указано взаимное расположение точек A, B и C относительно друг друга. Можно записать шесть различных вариантов расположение этих точек:

А

В

С

В

А

С

А

В

С

В

А

С

С

В

А

В

С

А

АС = АВ + ВС = 5 + 3 = 8

Случай невозможен
СВ < АВ

Ответ: 8 или 2.

а)

b)

с)

СГ

и C так, что точка В расположена

А

В

С

1 сл.

А

С

В

2 сл.

А

В

С

3 сл.

на диагонали BD и делит ее в отношении 1:

А

В

С

D

М

А

В

С

D

М

1 сл. ВМ:МD = 1:2

2 сл. ВМ:МD = 2:1

на диагонали BD и делит ее в отношении 1

А

В

С

D

М

1 случай. ВМ : МD = 1 : 2

А

В

С

D

2 случай. ВМ : МD = 2 : 1

: 1.

точка E,
делящая эту сторону прямой в отношении 2

А

В

С

D

Е

Е1

F

F1

2 случай. Е1C : BЕ1 = 2 : 3, решая аналогично,

точка E,
делящая эту сторону прямой в отношении 2

А

В

С

D

Е

F

Е1

F1

1 случай. ВЕ : ЕС = 2 : 3

2 случай. ВЕ1 : Е1С = 3 : 2

= 12, BC = 5, CA = 10. Точка

А

B

C

E

F

D

x

y

d

точек Е и F на

проведена прямая,
пересекающая прямые CD и AD в

А

В

С

D

М

Т

Е

1 случай. Прямая, проходящая через середину Е стороны АВ, пересекает отрезок CD и
продолжение отрезка AD за точку D.

А

В

С

D

М

Т

Е

2 случай. Прямая, проходящая через середину Е стороны АВ, пересекает отрезок CD и продолжение отрезка AD за точку А.

Ответ: 2 или 10.

1.2 Взаимное расположение точки и отрезка, лежащих на одной прямой

через середину Е стороны АВ, пересекать продолжение
отрезка CD за

Пример 7. Дан параллелограмм ABCD. Биссектрисы его углов А

А

В

С

D

М

K

N

А

В

С

D

K

N

М

2 случай. Точка М внутри параллелограмма.

NC = x и AB = BN = 2x .
2(2x + 3x) = 40
x = 4 .
Значит, AB = 8 и BC = 8 + 4 = 12 .

Ответ: 5; 15 или 8; 12.

Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

1 случай. Точка М вне параллелограмма.

отрезки 3 и 4.

А

В

С

G

М

O1

E

K

N

R

R

F

O

r

1 случай. Окружность вписана в треугольник.

FOGC – квадрат и отрезки касательных, проведенных из одной точки
к окружности, равны, то

2-й способ. Выразим площадь прямо-
угольного треугольника двумя способами.

1-й способ. r – радиус вписанной окружности.

.
\
Ответ: 1 или 6.

= 44, AD = 100,
AB

А

В

С

E

K

F

D

Решение. ВЕ ┴ AD, CF ┴ AD.

Проекция боковой стороны равнобедренной трапеции на большее основание равна полуразности оснований, а проекция диагонали – полусумме оснований
(средней линии).

окружность касается стороны BC треугольника ABC и продолжений сторон

Ответ: 5 или 30.

L

равнобедренного треугольника со сторонами

А

В

С

L

M

K

N

O

P

А

В

С

L

M

K

N

O

P

1 случай

2 случай

BC2)
Окружность, вписанная в четырёхугольник – окружность,
вписанная в треугольник

CK = CL = 6 по свойству касательных.

прямой
Пример 11. Около треугольника ABC описана окружность с центром

А

В

С1

С

А1

О

40°

40°

10°

?

Решение. СС1 = 2R,

12. Трапеция с основаниями 14 и 40 вписана в

А

В

D1

С

А1

О

F

E1

D

E

Трапеция вписана в некоторую окружность тогда и только тогда, когда она является равнобедренной.

Решение. Трапеция вписана в окружность, поэтому она равнобедренная.
Пусть BC = 14 – хорда окружности R = 25. Существует две хорды AD || BC, A1D1 || BC и AD = A1D1 = 40 .

Центр окружности, описанной около трапеции, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам трапеции.

Центр описанной окружности O на серединном перпендикуляре к BC .

EF = EO + OF = 39 .
А
В
С
О
F
D
E
2 случай.

В

D1

С

А1

О

F

E1

E1F = FO – OE1 = 9.

Ответ: 39 или 9.

Радиус (диаметр), перпендикулярный
хорде, делит хорду пополам.

13. Дан равнобедренный треугольник АВС, AB = BC =

А

В

С

Р

F

D

E

Н

G

1 случай. Точки Е и В в одной
полуплоскости с границей АС.

E1

Р1

2 случай. Точки Е и В в разных
полуплоскостях с границей АС.

СГ

ПГ

полуплоскости
с границей АС.
Cоставим систему уравнений:
?

полуплоскостях
с границей АС.
E1F || AВ, E1G

?

Ответ: 2,4 или 7,2.

Взаимное расположение треугольника и многоугольника
А
В
С
M
K
N
2 случай

1 случай

А

В

С

M

K

N

Взаимное расположение многоугольников
Решение.

1 случай.
Точка Н принадлежит
отрезку АВ, AH ≤ AB.

А

В

С

K

D

Н

M

А

В

С

D

Н

M

K

А

D

В

С

K

M

Н

3 случай.
Точка Н принадлежит
лучу АВ, AH ≥ 3АВ .

< AH < 3AB.

Е
=>
При этом площади ромбов
принимают одно

AH ≥ 3АВ.

=>
противоречит условию AH ≥ 3АВ.

Взаимное расположение треугольника и окружности
А
В
С
H
O1
K
L
O
O2
M1
M2

1 случай. Окружность касается сторон

r1

r2

r2

N

128

При любом способе касания
точка касания и центры окружностей
лежат на одной прямой.

=>

касаются основания AC и AB или BC .
=>
Ответ: 16

общей касательной
Пример 17. Прямая касается окружностей радиусов R и

А2

В2

r

R

O1

K1

O2

А1

В1

r

l1

l2

a

K2

СГ

ПГ

О2К2 ┴ О1В1.

касания

R
O1
K1
O2
А
В
r
K
C
O1
O2
А
В
C

1 случай
Внешнее касание окружностей.

R

r

линии центров.

этом случае при исходных числовых данных задача не имеет

и r ( R > r ) соответственно
касаются в

R

O1

O2

А

В

r

R

M

r

a

Внешнее касание окружностей.

1 случай

O1

O2

А

В

r

a

2 случай

Внутреннее касание окружностей.

M

φ

По теореме Пифагора
φ

через точку B вне окружности
провести секущую и касательную, то
произведение

касание окружностей.

Геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла, есть

В обоих случаях центры O1 и O2 этих окружностей будут лежать на биссектрисе угла ADC.

5 и основанием

А

В

С

D

Е

F

O2

ll

ll

l

l

AD = 4, BD = 3, ED = 1, FD =5.

2 случай.
Внутреннее касание окружностей.

1 случай.
Внешнее касание окружностей.

В обоих случаях центры O1 и O2
этих окружностей будут лежать
на биссектрисе угла – прямой BD.

окружностей.

касается трёх данных внутренним образом.

внутренним образом.
R = 2r = 28.

их касания.
По теореме Пифагора AQ 2 = AM 2

в точках А и В имеют общую хорду АВ.

Общая хорда перпендикулярна линии центров и делится ею пополам.

Пример 23. Окружности радиусов 10 и 17 пересекаются в точках А и В. Найдите расстояние между центрами окружностей, если AB = 16.

O2

А

В

O1

r

С

R

O2

O1

С

А

В

r

R

1 случай. Центры окружностей
лежат по разные стороны
от их общей хорды AB.

2 случай. Центры окружностей
лежат по одну сторону
от их общей хорды AB.

стороны от их общей хорды AB.
O1O2

O1O2 = 15 + 6 = 21.

сторону от их общей хорды AB.

лежат по разные стороны
от их

2 случай. Центры окружностей
лежат по одну сторону
от их общей хорды AB.

стороны от их общей хорды AB.
Пусть

O2

А

O1

r

R

В

С

l

l

l

l

l

l

сторону от их общей хорды AB.
Проводя

лежат по разные стороны
от их

2 случай. Центры окружностей
лежат по одну сторону
от их общей хорды AD.

26. Окружности радиусов 20 и 3 касаются внутренним образом.

O

А

В

O1

С

M

N

O

А

В

N

O1

M

С

E

E

1 случай. Центры окружностей
лежат по разные стороны
от их общей хорды AB.

2 случай. Центры окружностей
лежат по одну сторону
от их общей хорды AB.

стороны от их общей хорды AB.
O1
O1C

сторону от их общей хорды AB.

5r . Од-
на из окружностей

O1

А

В

O2

С

M

N

O1

O2

А

В

С

M

N

1 случай. Центры окружностей
лежат по разные стороны
от их общей хорды MN.

2 случай. Центры окружностей
лежат по одну сторону
от их общей хорды MN.

разные стороны от их общей хорды MN.
Такой случай

стороны от их общей хорды MN.
O1

O2
А
В
С
M
N

окружностей лежат на одной прямой.

Пример 28. (ЕГЭ, 2010). В

O

А

В

O1

С

N

E1

K

O2

Е2

1 случай. Центры окружностей
лежат по разные стороны
от их общей хорды AB.

2 случай. Центры окружностей
лежат по одну сторону
от их общей хорды AB.

Центры этих окружностей O1 и O2
будут лежать на перпендикуляре к хорде AB, проходящем через точку C.

разные стороны от их общей хорды AB.
K
L
Пусть O1E1

KO1 = KC + CO1 = 9 + r =>

стороны от их общей хорды AB.

На стороне ВА угла ABC, равного 30°, взята такая

O

А

В

С

E

D

O1

Е1

G

1 случай. Окружность касается луча BС.

2 случай. Точка касания Е1 лежит на продолжении луча BС за точку В.

Центр искомой окружности O –
точка пересечения серединного перпендикуляра к отрезку AD и перпендикуляра к прямой ВС, восставленного из точки касания E окружности и прямой.

косинусов получаем
Тогда центр O окружности совпадает
c серединой

т.е. DE = 1.

продолжении луча BС за точку

O

300

BG = 2, GE1 = 1, GO = 2 + 2 = 4,

Ответ: 1 или 7.

внешним образом, лежат по

O1

M

P

O2

9

E

4

O3

r3

Решение.

1 случай.

MP = MK + KP.

K

Перебор вариантов в задаче зависит от расположения точки касания третьей окружности с прямой относительно точек касания первых двух окружностей с этой прямой.

искомой окр. с АK левее точки касания K.

с АK левее точки касания K.
r
AK = AK1

окр. с АK правее точки касания K.
r
AK2 = AK

MKN равный
2arcsin 0,6 и касающейся

O2

K

B

O1

B1

O

N

B2

M

R = 4

1 случай.
Точка касания искомой окр. с KN левее точки касания B.

2 случай.
Точка касания искомой окр. с KN правее точки касания B.

A1

A2

C1

C2

Центры окружностей,
вписанных в угол, лежат на биссектрисе этого угла.

окр. с KN левее точки касания

A1

A2

C1

r

OB ┴ KN, а KN = R = 4.

r = 1.

окр. с KN правее точки касания

r = 16.

r

Ответ: 1 и 16.

многоугольника

А
В
С
D
E
А
С
D
F
3 сл.

C
D
F
B
B
D
A
4 сл.

В

E

F

C

E

F

E

F

1 сл.

2 сл.

СГ

ПГ

равновеликих треугольника.
Диагональ параллелограмма разбивает его на два равновеликих треугольника.
В

Ответ: S или 3S.

4 сл.

3 сл.

Пример 34. Диагонали АС и BD трапеции ABCD пересекаются в точке Е.
Найдите площадь трапеции, если площадь треугольника AED равна 9, а точка Е делит одну из диагоналей в отношении 1 : 3.

А

В

С

D

E

9

1

3

3

C

D

A

B

E

81

9

27

27

D

A

B

C

E

27

3

9

9

B

C

D

A

E

27

3

9

9

к боковым сторонам)
и два подобных треугольника
(примыкающих к

Если у двух треугольников равны
высоты, то их площади относятся
как основания.

D
A
B
C
E
27
3
9
9
B
C
D
A
E
27
3
9
9
2 сл.

C
D
A
B
E
81
9
27
27
Ответ: 16;

Известно, что в эту трапецию можно вписать

Стр 30

1 случай

А

С

D

O

B

L

N

M

2 случай

А

С

D

O

B

E

H

Q

P

= BC + AD = 68.
Трапеция – равнобедренная, то

LN ┴ ВC, LN ┴ AD, BL = LC , AN = ND.

MB = BL и AM = AN
(отрезки касательных,
проведенные из одной точки),
то BC = 2BL = 18,
AD = 2AN = 50.

P

через вершины C и D получатся такие же результаты.

1 случай


4.2 Выбор

Пример 36. Площадь треугольника ABC равна 8. MN – средняя линия.
Найдите площадь треугольника CMN.

А

В

N

M

С

А

В

M

С

А

В

N

С

M

N

MN || BC

MN || AC

MN || AB

треугольника и пересекающая две другие, отсекает от него треугольник,

А

В

M

С

N

2 случай. MN || AC

в окружность радиуса 12. Известно,

B

С

A

B

A

С

O

O

2 случай

1 случай

Н.
Известно, что CH =

A

С

B

H

E

F

D

B

A

C

F

H

E

D

2 случай

1 случай

┴ BC.

┴ BC.

┴ BC.

┴ BC.

радиусы

A

С

B

H

E

D

Доказательство.

В четырехугольнике AEHD углы E и D прямые,
то

Отсюда следует, что радиусы окружностей, описанных около треугольников АВС и ВСН равны между собой.
Аналогичное доказательство проводят и для других треугольников.

Н.
Известно, что отрезок СН

C

A

B

H

D

E

2 случай

1 случай

BCH равны.

AA1 и CC1 .

B

A

C

H

C1

A1

B1

Доказательство. Рассмотрим остроугольный треугольник ABC.

треугольник ABC.

высот треугольника ABC.
Углы треугольника

A

H

B

C

B1

C1

A1

2 случай

1 случай

АВС – тупой.
4. Угол ВАС – тупой.

Замечание. Другое решение может быть основано на следующей опорной
задаче:
Высоты остроугольного треугольника являются биссектрисами его ортотреугольника (треугольник, образованный основаниями высот).

биссектрисами

B

A

C

H

C1

A1

B1

Если треугольник тупоугольный, то две его высоты — биссектрисы внешних углов ортотреугольника, а третья — биссектриса внутреннего угла.

радиуса ОВ пересекаются в точке С. Радиус ОА окружности

B

A

K

C

R

4.4 Выбор кругового элемента

E

O

J

I

a

b

O

B

A

K

C

R

E

J

I

a

b

1 случай

2 случай

– отрезок общей внешней касательной к двум касающимся

R = 6a.

к двум касающимся

a и b. Прямая, параллельная

A

С

B

H

E

D

F

x

x

b

x – b

A

С

B

E

D

F

P

a – x

a

свойств
5.1 Неопределенность между значением синуса (косинуса) угла
и видом

Пример 43. Радиус окружности равен 1. Найдите величину вписанного угла, опирающегося на хорду, равную 2. Ответ дайте в градусах.

A

B

O

A1

C

α

Решение.

Все вписанные углы, опирающиеся на эту хорду, с вершинами, лежащими на одной дуге, будут равны.

Хорда BC разбивает
окружность на две дуги.

ПГ

полуразности оснований,
а проекция диагонали — полусумме оснований (средней линии).

Вписанный угол измеряется полови-
ной дуги, на которую он опирается.

центром О, угол АОС равен

A

С

B

O

B1

M

M1

Решение.

По следствие теоремы синусов

биссектрис треугольника.

высоте АН.
Найдите угол МВС.
l
l
α
H
l
l
A
C
B
M

в треугольник

B

C

A

O

A1

C1

Доказательство.

=>

Остальные равенства доказывают аналогично.

и CN, О – центр вписанной окружности. Известно, что

A

C

O

M

B

N

A

C

O

M

B

N

треугольнике ABC проведены высоты ВМ и CN, О –

A

C

O

M

B

N

A

C

O

M

B

N

1 случай

1 случай

расположена между точками M и K ,
то есть

Оба корня удовлетворяют решению задачи.

одном случае
угол CDE острый, в другом – тупой.
1.

угол D – острый.

20.
угол D – тупой.

ABC, площадь которого равна 36, касается средней линии, параллельной

А

С

В

M

N

O

l

l

В трапецию BMNC вписана окружность

соответствует треугольник со сторонами
10, 17, 9.
Полученные значения x соответствуют

y = 17 при x = 10 и
y = 10 при x =17.

АВС с прямым углом при

А

С

D

C1

B

А

С

D

C1

B

2 случай

1 случай

α

α

450 < α < 900

00 < α < 450

C и C1 расположены по одну сторону от хорды

Вписанные углы, опирающиеся на
одну и ту же дугу, равны.

от хорды AB.
Четырехугольник AC1BC вписан в окружность, поэтому

из его
сторон равна а. Найдите

A

С

B

2 случай

1 случай

С

A

B

a

a

a

l

l

l

l

3 случай

центры O и O1 описанных около них окружностей.