Слайд 2
Содержание
Класс трансцендентных кривых
Определение трансцендентной кривой
Квадратриса
Трактриса
Цепная линия
Циклоида
Архимедова спираль
Гиперболическая спираль
Логарифмическая спираль
Спираль Корню, клотоида
Трохоида
Гипоциклоида
Эпициклоида
Слайд 3
Большой интересный класс составляют трансцендентные кривые
К ним
относятся графики тригонометрических функций (синусоида, тангенсоида), логарифмической функции, показательной
функции, гиперболических функций, а также много других линий, которые будут рассмотрены в дальнейшем.
Слайд 4
Трансцендентная кривая
Трансцендентная кривая - это кривая, уравнение которой
в декартовой системе координат не является алгебраическим
( в других
системах координат может быть алгебраическим.)
Логарифмическая спираль
Логарифмическая спираль
Слайд 5
Квадратриса
Квадратриса (или Квадратрисса) — плоская трансцендентная кривая,
определяемая кинематически. Открыта, по сообщению Прокла Диадоха, софистом Гиппием
(V век до н. э.), использовалась в античные времена для решения задач квадратуры круга и трисекции угла.
Слайд 6
Уравнения
В полярных координатах:
В прямоугольных координатах можно записать уравнение
квадратрисы в следующем виде:
Слайд 7
Трактриса
Трактриса (линия влечения) — (от лат. trahere — тащить) — плоская трансцендентная
кривая, для которой длина отрезка касательной от точки касания
до точки пересечения с фиксированной прямой является постоянной величиной.
Такую линию описывает предмет, волочащийся на верёвке длины a за точкой, движущейся по оси абсцисс. Трактриса также является частью кривой погони при равной скорости догоняющего и убегающего.
Слайд 8
Уравнения
Параметрическое описание:
Уравнение в декартовых координатах:
Слайд 9
Цепная линия
Цепная линия — линия, форму которой принимает гибкая
однородная нерастяжимая тяжелая нить или цепь (отсюда название) с
закрепленными концами в однородном гравитационном поле.
Является плоской трансцендентной кривой.
Уравнение в декартовой системе координат
Слайд 10
Краткая историческая справка
Поверхность, образованная вращением дуги цепной линии
вокруг оси Оx, называется катеноидом.
Цепные линии используются в расчетах,
связанных с провисанием проводов, тросов и т.п. Форму кривой провисания впервые рассматривал Г. Галилей (1638), который считал ее параболой. Истинная форма кривой найдена Г. Лейбницем, Я. и И. Бернулли, Х. Гюйгенсом.
Х. Гюйгенс предложил термин «Цепная линия»
Слайд 11
Применение
Арки
Перевёрнутая цепная линия — идеальная форма для арок. Однородная
арка в форме перевёрнутой цепной линии испытывает только деформации
сжатия, но не излома.
Мосты
Горбатый мост имеет форму, близкую к цепной линии.
Стоит заметить, что цепь подвесного моста имеет форму параболы, а не цепной линии. Это связано с тем, что пролёт моста намного тяжелее цепи.
Слайд 12
ЦИКЛОИДА
Циклоида (от греч.— круглый) — плоская трансцендентная кривая.
Циклоида определяется кинематически как траектория фиксированной точки производящей окружности
радиуса r, катящейся без скольжения по прямой.
Слайд 13
Уравнения
Примем горизонтальную ось координат в качестве прямой, по
которой катится производящая окружность радиуса r.
Циклоида описывается параметрическими
уравнениями:
Уравнение в декартовых координатах:
Циклоида может быть получена как решение дифференциального уравнения:
x = rt − rsint,
y = r − rcost.
Слайд 14
У циклоиды масса любопытнейших свойств. Оказывается, например, что
циклоида является кривой наибыстрейшего спуска. Иначе говоря, скатываясь по
снежной горке, профиль которой выполнен в виде циклоиды, мы окажемся у основания горки быстрее, чем в случае другой формы горки. Траектория конца маятника, как и ограничивающие его боковые "щеки", представляют из себя циклоиду
Слайд 15
Архимедова спираль
Архимедова спираль — плоская кривая, траектория точки
M (см Рис. 1), которая равномерно движется вдоль луча
OV
с началом в O, в то время как сам луч OV равномерно вращается вокруг O.
Другими словами, расстояние
ρ = OM пропорционально углу поворота φ луча OV.
Повороту луча OV на один и тот же угол соответствует одно и то же приращение ρ.
Слайд 16
Вычисление длины дуги Архимедовой спирали
Бесконечно малый отрезок дуги
dl равен (см. Рис.):
,
где dρ — приращение радиуса ρ, при приращении угла φ на dφ. Для бесконечно малого приращения угла dφ, справедливо:
.
Поэтому:
так как ρ = kφ и
dρ = kdφ
или
.
Длина дуги L равна интегралу от dl по dφ в пределах от 0 до φ:
.
Слайд 17
Спирали в природе и технике
Спирали в нашей жизни
встречаются на каждом углу от простых вентиляторов и тисков,
до паутины и винтов моторных лодок.
Слайд 21
Гиперболическая спираль — плоская трансцендентная кривая.
Уравнение гиперболической
спирали в полярной системе координат является обратным для уравнения
Архимедовой спирали и записывается так:
Слайд 22
Уравнение гиперболической спирали в декартовых координатах:
Параметрическая запись уравнения:
Спираль имеет асимптоту y = a: при t стремящемся
к нулю ордината стремится к a, а абсцисса уходит в бесконечность:
Слайд 23
ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ СПИРАЛЬ - плоская трансцендентная кривая, пересекающая все
радиусы-векторы под одним и тем же углом
(рис.1). Уравнение в полярных координатах:
При a > 1 и
логарифмическая
спираль развертывается против хода
часовой стрелки, при
спираль закручивается по ходу
часовой стрелки,
стремясь к своей асимптотической
точке O.
Если a < 1, логарифмическая
спираль закручивается против хода
часовой стрелки.
Слайд 24
Логарифмическая спираль относится к псевдоспиралям. Логарифмическая спираль переходит
в себя при линейных преобразованиях плоскости:
её Эволюта, подера – также логарифмическая спираль. При стереографической проекции плоскости на сферу логарифмическая спираль переходит в локсодромию. Логарифмическая спираль широко используется в технике:
Слайд 25
Логарифмическая спираль выполняет профиль вращающихся ножей и
фриз, зубчатых передач и др.
По логарифмической спирали очерчены некоторые
раковины, по дугам, близким к логарифмической спирали, расположены семечки в подсолнухе, чешуйки в шишках и т.д.
Слайд 26
Клотоида или Спираль Корню —
кривая, у которой
кривизна изменяется линейно как функция длины дуги.
Она используется
как переходная дуга в дорожном строительстве. Когда участок дороги имеет форму клотоиды, руль поворачивается равномерно. Такая форма дороги позволяет преодолевать поворот без существенного снижения скорости. Клотоида применялась Корню для облегчения расчёта дифракции в прикладных задачах.
Слайд 27
Описывается параметрическими уравнениями
где
, где R — радиус неподвижной окружности,
r —
радиус катящейся окружности.
Модуль величины k определяет форму гипоциклоиды. При k = 2 гипоциклоида представляет собой диаметр неподвижной окружности, при k = 4 является астроидой.
Слайд 28
Трохоида
Трохоида (от греч. τροχοειδής — колесообразный) — плоская
трансцендентная кривая, описываемая параметрическими уравнениями
x = rt − hsint,
y
= r − hcost.
Представляет собой траекторию точки, жёстко связанной с окружностью радиуса r, катящейся без скольжения по прямой (в приведённом примере такой прямой является горизонтальная ось координат). Расстояние точки от центра окружности — h.
Если h = r трохоида переходит в циклоиду.
При h > r трохоиду называют удлинённой циклоидой, а при h < r — укороченной циклоидой.
Слайд 29
Гипоциклоида
Гипоциклоида (от греческих слов ὑπό — под, внизу и
κύκλος — круг, окружность) — плоская кривая, образуемая точкой окружности, катящейся
по внутренней стороне другой окружности без скольжения.
Слайд 30
Эпициклоида
Эпициклоида (от греч. ὲπί — на, над, при
и κυκλος — круг, окружность) — плоская кривая,
образуемая
фиксированной точкой окружности, катящейся по другой окружности.
Слайд 31
Уравнения
Если центр неподвижной окружности находится в начале координат,
её радиус равен R, радиус катящейся по ней окружности
равен r, то эпициклоида описывается параметрическими уравнениями относительно :
где α — угол поворота эпициклоиды относительно центра неподвижной окружности, — параметр, но фактически это угол наклона отрезка между центрами к оси OX.
Можно ввести величину , тогда уравнения предстанут в
виде
Слайд 32
Применение
Последнее уравнение выражает такое кинематическое свойство эпициклоиды: если
дуга обычной эпициклоиды перекатывается без скольжения по прямой, то
центр кривизны точки касания двигается по эллипсу; центр эллипса лежит в той точке прямой, через которую перекатывается вершина эпициклоиды.
