Что такое findslide.org?

FindSlide.org - это сайт презентаций, докладов, шаблонов в формате PowerPoint.


Для правообладателей

Обратная связь

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Яндекс.Метрика

Презентация на тему по математике на тему Векторы.Координаты вектора

Содержание

Определение. Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой - концом, называется направленным отрезком или вектором.
ВЕКТОРЫ Определение.  Отрезок, для которого Вектор характеризуется следующими элементами: 1) начальной точкой (точкой  приложения); 2) направлением; Абсолютной величиной (или модулем) вектора называется длина отрезка, изображающего вектор. Абсолютная величина На рисунках вектор изображается отрезком со стрелкойАВАВВектор АВ, А – начало вектора, В – конец.DCEFKL Векторы часто обозначают и одной строчной латинской буквой со стрелкой над Длиной или модулем ненулевого вектора АВ называется длина отрезка АВ:  АВ Коллинеарные векторыНенулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, аbcdmnsL Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору, так как он сонаправлен с любым вектором.a  0a•P Равенство векторов  1 Определение.   Векторы называются равными, если они 2 Определение  Два Противоположные векторы     Пусть а – произвольный ненулевой вектор. Вектор, противоположный вектору c, обозначается так: -c.c- cОчевидно, с+(-с)=0 или АВ+ВА=0 Сумма двух векторов Законы сложения векторов:     I.   a + b  = b + Рассмотрим пример:  Петя из дома(D) зашел к Васе(B), а Координаты вектора в пространстве Единичный вектор – вектор, длина которого равна 1.i – единичный вектор оси Любой вектор ā можно разложить по координатным векторам, т.е. представить в виде:Нулевой Запись координат вектора.Координаты вектора а будут записываться в фигурных скобках после обозначения Правила нахождения суммы, разности и произведения на данное число.Сумма векторов: Каждая координата Разность векторов: Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих Произведение вектора на число:  Каждая координата произведения вектора на число равна Произведение вектора на число:  Каждая координата произведения вектора на число равна Сложение векторовПравило треугольника.Правило параллелограмма.Правило многоугольника.Правило параллелепипеда. Правило треугольника  Пусть а и Правило треугольникаАBCДля любых трех точек А, В и С справедливо равенство: Правило параллелограмма Сумма нескольких векторов      Правило многоугольника Правило параллелепипеда: вектор, образующий диагональ параллелепипеда, равен сумме трёх векторов, исходящих из Вычитание векторов     Определение. Разностью двух векторов а и Умножение вектора на число Произведением нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор. Умножение вектора на число		Для любых чисел k, n и Свойства действий над векторами позволяют в выражениях, содержащих суммы, разности векторов и Компланарные векторы [от лат. com (cum) — совместно и planum — плоскость], Векторы CA, CA1 и DD1  -компланарны, так как, если отложить от точки Признак компланарности трех векторовЕсли вектор с можно разложить по векторам a и Разложение вектора по координатным векторам Векторы называются коллинеарными, если они параллельны.Если векторы а { x1; y1; z1 Связь между координатами векторов и координатами точек Вектор, конец которого совпадает с данной точкой, а начало – с началом Простейшие задачи в координатах 1. Координаты середины отрезка.ОАВСDхуzA (x1; y1; z1), B (x2; y2; z2), Угол между векторами ОАВα Если а || b и а и b сонаправлены, то α Скалярное произведение векторов Скалярное произведениеСкалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними. a · b = | a | · | b | Спасибо за внимание!
Слайды презентации

Слайд 2 Определение.

Определение. Отрезок, для которого указано, какой из

Отрезок, для которого указано, какой из его концов

считается началом, а какой - концом, называется направленным отрезком или вектором.

Слайд 3 Вектор характеризуется следующими элементами:
1) начальной точкой (точкой

Вектор характеризуется следующими элементами: 1) начальной точкой (точкой приложения); 2) направлением; 3) длиной («модулем вектора»).

приложения); 2) направлением; 3) длиной («модулем вектора»).


Слайд 4 Абсолютной величиной (или модулем) вектора называется длина отрезка,

Абсолютной величиной (или модулем) вектора называется длина отрезка, изображающего вектор. Абсолютная

изображающего вектор. Абсолютная величина вектора a  . Обозначается a  .
a


B
A



B
A
a


Слайд 5 На рисунках вектор изображается отрезком со стрелкой
АВ
А
В
Вектор АВ,

На рисунках вектор изображается отрезком со стрелкойАВАВВектор АВ, А – начало вектора, В – конец.DCEFKL

А – начало вектора, В – конец.
D
C
E
F
K
L


Слайд 6 Векторы часто обозначают и одной строчной латинской

Векторы часто обозначают и одной строчной латинской буквой со стрелкой

буквой со стрелкой над ней:
b
Любая точка плоскости также является

вектором, который называется НУЛЕВЫМ. Начало нулевого вектора совпадает с его концом:

c

a

М


ММ

=

0


Слайд 7 Длиной или модулем ненулевого вектора АВ называется длина

Длиной или модулем ненулевого вектора АВ называется длина отрезка АВ: АВ

отрезка АВ:

АВ = а = АВ =

5

с

a

В

А

с = 17

Длина нулевого вектора считается равной нулю:

ММ = 0.

М



Слайд 8 Коллинеарные векторы
Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат

Коллинеарные векторыНенулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной

либо на одной прямой, либо на параллельных прямых. Допусти́м,

но не рекомендуется, синоним «параллельные» векторы. Коллинеарные векторы могут быть одинаково направлены («сонаправлены») или противоположно направлены (в последнем случае их иногда называют «антиколлинеарными» или «антипараллельными»).

Слайд 9
а
b
c
d
m
n
s
L

аbcdmnsL

Слайд 10 Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору, так как

Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору, так как он сонаправлен с любым вектором.a 0a•P

он сонаправлен с любым вектором.
a 0
a

P


Слайд 11 Равенство векторов
1 Определение.
Векторы

Равенство векторов 1 Определение.  Векторы называются равными, если они сонаправлены

называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.

а = b , если
а b
а = b

а

c

b

d

n

f

m

s


Слайд 12

2 Определение Два вектора называются равными, если

2 Определение
Два вектора называются равными, если они

совмещаются параллельным переносом. АВСD — параллелограмм, AB=CD

B

C

A

D


Слайд 13 Противоположные векторы
Пусть а

Противоположные векторы   Пусть а – произвольный ненулевой вектор.

– произвольный ненулевой вектор.
Определение. Вектор b

называется противоположным вектору а, если а и b имеют равные длины и противоположно направлены.
a = АВ, b = BA

a

B

А

b


Слайд 14 Вектор, противоположный вектору c, обозначается так: -c.
c
- c
Очевидно,

Вектор, противоположный вектору c, обозначается так: -c.c- cОчевидно, с+(-с)=0 или АВ+ВА=0

с+(-с)=0 или АВ+ВА=0


Слайд 15 Сумма двух векторов
Законы сложения векторов:
 
    I.   a +

Сумма двух векторов Законы сложения векторов:     I.   a + b  = b

b  = b + a 
( П е р

е м е с т и т е л ь н ы й  закон ).
    II.   ( a + b ) + c = a + ( b + c ) 
( С о ч е т а т е л ь н ы й   закон ).
    III.    a + 0 = a .
    IV.    a + (– a ) = 0 .
 

Слайд 16 Рассмотрим пример:
Петя из дома(D)

Рассмотрим пример: Петя из дома(D) зашел к Васе(B), а потом

зашел к Васе(B), а потом поехал в кинотеатр(К).






В результате этих двух перемещений, которые можно представить векторами DB и BK, Петя переместился из точки D в К, т.е. на вектор DК:

DK=DB+BK.
Вектор DK называется суммой векторов DB и BK.

D

B

K


Слайд 17 Координаты вектора в пространстве

Координаты вектора в пространстве

Слайд 18 Единичный вектор – вектор, длина которого равна 1.
i

Единичный вектор – вектор, длина которого равна 1.i – единичный вектор

– единичный вектор оси абсцисс, j – единичный вектор

оси ординат, k – единичный вектор оси аппликат.

x

z

y

O


Слайд 19 Любой вектор ā можно разложить по координатным векторам,

Любой вектор ā можно разложить по координатным векторам, т.е. представить в

т.е. представить в виде:
Нулевой вектор можно представить в виде:
Координаты

равных векторов соответственно равны, т.е., если
ā { x1; y1; z1 } = b { x2; y2; z2 }, то
x1 = x2, y1 = y2, z1 = z2.

Слайд 20 Запись координат вектора.
Координаты вектора а будут записываться в

Запись координат вектора.Координаты вектора а будут записываться в фигурных скобках после

фигурных скобках после обозначения вектора: а {x; y; z}.


На рисунке справа изображен прямоугольный параллелепипед имеющий измерения: OA =2, OA =2, OA =3.
Координаты векторов изображенных на этом рисунке, таковы:
a {2; 2; 4}, b {2; 2; -1},
A A {2; 2;0}, i {1; 0; 0},
j {0;1;0}, k {0; 0; 1}

A

A

A

A

O

y

x

z

a

j

i

k

b

3

2

1

1

2

3

3


Слайд 21 Правила нахождения суммы, разности и произведения на данное

Правила нахождения суммы, разности и произведения на данное число.Сумма векторов: Каждая

число.
Сумма векторов:
Каждая координата суммы двух или более векторов

равна сумме соответствующих координат этих векторов. Если a {x1;y1;z1} и b {x2;y2;z2} – данные векторы, то вектор a + b имеет координаты
a + b = { x1+ x2; y1+ y2; z1+ z2 }.

Слайд 22 Разность векторов:
Каждая координата разности двух векторов равна

Разность векторов: Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат

разности соответствующих координат этих векторов.
Если a {x1;y1;z1} и

b {x2;y2;z2} – данные векторы, то вектор
a – b имеет координаты

a – b = { x1 – x2; y1 – y2; z1 – z2 }.

Слайд 23 Произведение вектора на число: Каждая координата произведения вектора

Произведение вектора на число: Каждая координата произведения вектора на число равна

на число равна произведение соответствующей координаты вектора на это

число. Если a {x; y; z } – данный вектор, α - данное число, то вектор αa имеет координаты αа = { αx; αy; αz }.


Слайд 24 Произведение вектора на число: Каждая координата произведения вектора

Произведение вектора на число: Каждая координата произведения вектора на число равна

на число равна произведение соответствующей координаты вектора на это

число. Если a {x; y; z } – данный вектор, α - данное число, то вектор αa имеет координаты αа = { αx; αy; αz }.


Слайд 25 Сложение векторов
Правило треугольника.
Правило параллелограмма.
Правило многоугольника.
Правило параллелепипеда.

Сложение векторовПравило треугольника.Правило параллелограмма.Правило многоугольника.Правило параллелепипеда.

Слайд 26 Правило треугольника

Правило треугольника Пусть а и b – два

Пусть а и b – два вектора. Отметим

произвольную точку А и отложим от этой точки АВ = а, затем от точки В отложим вектор ВС = b.
АС = а + b



a

a

b

b


B

A

C


Слайд 27 Правило треугольника
А
B
C

Для любых трех точек А, В и

Правило треугольникаАBCДля любых трех точек А, В и С справедливо равенство:

С справедливо равенство:



Слайд 28 Правило параллелограмма

Правило параллелограмма      Пусть а и


Пусть а и b

– два вектора. Отметим произвольную точку А и отложим от этой точки АВ = а, затем вектор АD= b. На этих
векторах построим
параллелограмм АВСD.
АС = АВ + BС = а+b
АС = АD + DС = b+a



a

a

a

b

b

b


D

C

A

B


Слайд 29 Сумма нескольких векторов

Сумма нескольких векторов   Правило многоугольника  s=a+b+c+d+e+f

Правило многоугольника s=a+b+c+d+e+f

k+n+m+r+p = 0







d

c

e

f

s

a

b

O


k

m

n

r

p


Слайд 30 Правило параллелепипеда: вектор, образующий диагональ параллелепипеда, равен сумме

Правило параллелепипеда: вектор, образующий диагональ параллелепипеда, равен сумме трёх векторов, исходящих

трёх векторов, исходящих из той же

вершины и образующих его рёбра.
                                                 

a + b + c = AM


Слайд 31 Вычитание векторов
Определение. Разностью

Вычитание векторов   Определение. Разностью двух векторов а и b

двух векторов а и b называется такой вектор, сумма

которого с вектором b равна вектору а.
Теорема. Для любых векторов а и b справедливо равенство а - b = а + (-b).
Задача. Даны векторы а и b. Построить вектор
а – b.



а

b

-b


-b

а

a - b


Слайд 32 Умножение вектора на число

Умножение вектора на число    Определение. Произведением


Определение. Произведением ненулевого

вектора а на число k называется такой вектор b, длина которого равна вектору k а , причем векторы а и b сонаправлены при k ≥ 0 и противоположно направлены при k < 0.







а


-2a


Слайд 33 Произведением нулевого вектора на любое

Произведением нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор.

число считается нулевой вектор.


Для

любого числа k и любого вектора а векторы а и ka коллинеарны. Из этого определения следует также, произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор.


Слайд 34 Умножение вектора на число
Для любых

Умножение вектора на число		Для любых чисел k, n и

чисел k, n и любых векторов а, b справедливы

равенства:

1. (kn) а = k ( na ) (сочетательный закон)

2. (k + n) а = kа + na (первый распределительный закон)

3. k ( а + b ) = kа + kb (второй распределительный закон)



Слайд 35
Свойства действий над векторами позволяют в выражениях, содержащих

Свойства действий над векторами позволяют в выражениях, содержащих суммы, разности векторов

суммы, разности векторов и произведения векторов на числа, выполнять

преобразования по тем же правилам, что и в числовых выражениях. Например,



p = 2( a – b) + ( c + a ) – 3( b – c + a ) =

= 2a – 2b + c + a – 3b + 3c – 3a = - 5b + 4c

Слайд 36 Компланарные векторы
[от лат. com (cum) — совместно

Компланарные векторы [от лат. com (cum) — совместно и planum —

и planum — плоскость], векторы, параллельные одной плоскости.
Определение 


Векторы называются компланарными, если имеются равные им вектора, параллельные одной плоскости.
Любые два вектора компланарны. Любые три вектора, среди которых есть два коллинеарных, компланарны.

Слайд 37 Векторы CA, CA1 и DD1  -компланарны, так как,

Векторы CA, CA1 и DD1  -компланарны, так как, если отложить от

если отложить от точки C вектор CC1=DD1, то все три

вектора CA, CA1 и CC1 окажутся лежащими в одной плоскости. Векторы DC, CA и DD1 - не компланарны, так как вектор DD1 не лежит в плоскости ACD.

Слайд 38 Признак компланарности трех векторов
Если вектор с можно разложить

Признак компланарности трех векторовЕсли вектор с можно разложить по векторам a

по векторам a и b , т.е. представить в

виде
c = x·a + y·b, где

где х и у — некоторые числа, то векторы a , b и c компланарны.

Слайд 39 Разложение вектора по координатным векторам

Разложение вектора по координатным векторам

Слайд 40 Векторы называются коллинеарными, если они параллельны.
Если векторы а

Векторы называются коллинеарными, если они параллельны.Если векторы а { x1; y1;

{ x1; y1; z1 } и b { x2;

y2; z2 }, то:

Слайд 41 Связь между координатами векторов и координатами точек

Связь между координатами векторов и координатами точек

Слайд 42 Вектор, конец которого совпадает с данной точкой, а

Вектор, конец которого совпадает с данной точкой, а начало – с

начало – с началом координат, называется радиус-вектором данной точки.
Координаты

любой точки равны соответствующим координатам её радус-вектора.

М (x; y; z)
OM (x; y; z)

A (x1; y1; z1), B (x2; y2; z2) AB (x2 – x1; y2 – y1; z2 – z1)


Слайд 43 Простейшие задачи в координатах

Простейшие задачи в координатах

Слайд 44 1. Координаты середины отрезка.
О
А
В
С
D
х
у
z

A (x1; y1; z1), B

1. Координаты середины отрезка.ОАВСDхуzA (x1; y1; z1), B (x2; y2; z2),

(x2; y2; z2), C (x; y; z)

– середина АВ.
ОС = ½ (ОА + ОВ), тогда

2. Вычисление длины вектора по его координатам:
если а { x; y; z }, то

3. Расстояние между двумя точками:


Слайд 45 Угол между векторами

Угол между векторами

Слайд 46 О
А
В

α
Если а || b и а и

ОАВα Если а || b и а и b сонаправлены, то

b сонаправлены, то α = 0°.
Если a ||

b и a и b противоположно направлены, то α = 180°.
Если а ⊥ b, то α = 90°.

Слайд 47 Скалярное произведение векторов

Скалярное произведение векторов

Слайд 48 Скалярное произведение
Скалярным произведением двух векторов называется произведение их

Скалярное произведениеСкалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними.

длин на косинус угла между ними.


Слайд 49 a · b = | a |

a · b = | a | · | b

· | b | · cos(a ^ b)
2) a

{ x1; y1; z1 } и b { x2; y2; z2 } a · b = x1x2 + y1y2 + z1z2
3) a 2 = | a |2

  • Имя файла: prezentatsiya-po-matematike-na-temu-vektorykoordinaty-vektora.pptx
  • Количество просмотров: 126
  • Количество скачиваний: 0