Презентация на тему О построении касательной к окружности

проходящей через точку А, не принадлежащую данной окружности.

к следующему: на отрезке ОА как на диаметре строят

окружность ω1, пересекающую данную окружность ω в точках В и С (см. рис.). Прямые АВ и АС— искомые касательные.
Указанное построение основано на том, что ∠ОВА, вписанный в окружность ω1 и опирающийся на диаметр, равен 90°.

ее окружностью ω2(О, 2R). Обозначим полученные точки пересечения через

М и N (см. рис.). Отрезки ОМ и ON пересекают данную окружность ω в точках В и С. Прямые АВ и АС — искомые касательные.

Характерно, что в первых двух способах для построения касательных были предварительно найдены точки касания.

Действительно, точка В является серединой основании ОМ равнобедренного треугольника ОАМ, поэтому АВ — его высота, а значит, ∠ОВА прямой. Отсюда следует, что АВ — касательная к окружности ω.

Строим в точке Р= ω[АО] касательную t к окружности

ω, пересекающую ω1 в точках М и N. Отрезки ОМ и ON пересекают ω в точках В и С; прямые АВ и АС — искомые касательные.
Действительно, треугольники РОМ и ВОА конгруэнтны, так как у них общий угол при вершине О, заключенный между соответственно конгруэнтными сторонами (|OР| = |OВ|, |ОМ| = |ОА|). Но треугольник ОРМ прямоугольный, (∠P = 90°). поэтому ∠B = 90°, и, следовательно, прямая АВ — касательная к окружности ω.

Построение касательной к окружности, содержащееся в третьей книге «Начал» Евклида (предложение 17).

(N, |АМ|). Одна из этих двух точек пересечения ω2

и ω1 и есть точка Q, а именно та, для которой направленный угол МОА равен направленному углу NOQ.
Построение второй касательной к окружности ω сводится к выполнению поворота , при котором точка N переходит в точку А. В этом случае точка М переходит в точку S и прямая AS — вторая касательная.

Построение касательной к окружности без предварительного построения точек касания.
Проведем окружность ω1 (А, |АО|). Касательная к окружности ω в произвольной точке Р0∈ω пересекает окружность ω1 в точках М и N (см. рис.). Поворот , при котором М → А, отображает точку N на точку Q. Прямая AQ — искомая касательная. Действительно, поворот отображает касательную к ω на касательную к ω ((MN) → (AQ)).

к окружности ω в произвольной точке Р0, пересекающую ω1

в точках M и N, и окружность ω2 (А, |MN|), пересекающую ω1 в точках Р и Q (см. рис.). Прямые АР и AQ — искомые касательные.
Действительно, хорды АР и AQ конгруэнтны хорде MN, поэтому прямые АР и AQ находятся от центра О на таком же расстоянии R, как и прямая MN. Но в таком случае прямые АР и AQ — касательные к окружности ω.

Следующий способ сводится к использованию свойств хорд окружности, равноудаленных от ее центра,— эти хорды конгруэнтны.

точках Р и Q (см. рис.). Далее, через точку

А проведем произвольную прямую, пересекающую ω в точках N и М.
Пусть прямые РМ и QN пересекаются в точке К, а прямые PN и QM — в точке L. Прямая KL пересекает окружность ω в точках В и С. Прямые АВ и АС — искомые касательные. Докажем это.

Касательную к окружности в данной на ней точке А можно построить одной линейкой. Также одной линейкой можно построить касательные к окружности, если данная точка А не принадлежит окружности. Эти построения можно выполнить одной линейкой и тогда, когда центр окружности не задан. Рассмотрим случай, когда центр О окружности ω задан, и задана точка А∉ω.

В самом деле, в треугольнике PQL отрезки РМ и

QN — высоты, пересекающиеся в точке К, поэтому KL содержит третью высоту, и, следовательно, KL ⊥ PQ.

Если KL ∩ PQ=D, то |OD|∙|OA|=R2. Действительно, пусть ∠DPK = ά, ∠DQK = β. Тогда
|PD|:|DQ| = ctg ά : ctg β (1)
Построим перпендикуляр к прямой АР в точке A, пересекающий прямую РМ в точке S. Очевидно, что
|PA| = |AS|∙ctg ά и |AQ| = |AS|∙ctg∠AQS.
Так как ∠AQS = ∠AMS=180° - ∠PMN = ∠PQN = β, то |AQ| = |AS|∙ctg β. Поэтому
|PA|:|AQ| = ctg ά : ctg β. (2)

|AQ|, или
(|OD| + R)∙(|OA| - R) = (R -

|OD|)∙(|OA|+R).
После раскрытия скобок и упрощений находим, что
|OD|∙|OA|=R2. (3)
Из соотношения (3) следует, что |OD|:R = R:|OA|, т. е. треугольники ODB и ОВА подобны. Поскольку ∠ODB = 90°, то ∠OBA = 90°. Следовательно, прямая АВ - искомая касательная.

6 способ (продолжение)

Предложенное построение выполняется только линейкой. Чтобы построить касательные AB и AC, потребовалось провести 9 прямых: AO, AM, PM, QN, KL, QM, PN, AB, AC.

без привлечения линейки построим точки касания В и С

по заданным окружности ω (О, R) и точке А∉ω.

Проведем окружность ω1 (А, |ОА|) см. (рис.). Далее найдем раствор циркуля, равный 2R, для чего выберем на окружности ω точку S и отложим три дуги, содержащие по 60 дуговых градусов: ∪SP = ∪PQ = ∪QT = 60°. Точки S и Т диаметрально противоположны. Строим окружность (О, |ST|), пересекающую ω1 в точках М и N. Теперь остается одним циркулем построить середину отрезка МО.

|ОM|) и ω3 (M, |MO|), а затем для точек

М и О находим на них диаметрально противоположные точки U и V (см. рис.). Далее строим окружность ω4 (U, |UM|), пересекающую ω3 в точках К и L. Наконец, строим окружности ω5 (K, |KM|) и ω6 (L, |LM|), пересекающиеся в искомой точке В — середине MО.

Действительно, треугольники КМВ и UMK равнобедренные и подобные. Поэтому из того, что |КМ| = ½ |MU|, следует, что |MB| = ½|MK| = ½ R.
Итак, точка В — искомая точка касания. Аналогично находим точку касания С.

окружность ω1 и пересечь ее касательной l, проведенной в

точке Р к ω, то получим точки М и N.
Очевидно, |АМ|2=|АР|∙|AQ|. Поэтому окружность ω2 (А, |АМ|) пересечет ω в точках В и С касания искомых касательных АВ и АС.

8 способ

Еще одно построение касательной к окружности основано на следующем свойстве отрезков секущей, проведенной к окружности( см. рис.):
|AB|2=|AP|∙|AQ|

в точке D, затем строим окружность ω2 на диаметре

QD и пересекаем ее перпендикуляром к прямой АР в точке А. Для полученных точек М и N имеем:
|AM|2=|AN|2=|AD|∙|AQ| = |AP|∙|AQ|,
поэтому окружность ω3 (А, |AМ|) пересекает ω в искомых точках касания В и С.

8 способ (продолжение)

Другой вариант построения касательной в данном случае основан на ином способе построения отрезка АВ по отрезкам АР и AQ (см. рис.).

его непосредственно с данной окружностью ω(О, R) и данной

точкой А. Если В есть точка касания, то треугольник ОАВ прямоугольный, причем известно, что |ОВ|=R, |OA|=d, ∠В=90°. Следовательно, задача сводится к по­строению прямоугольного треугольника по катету и гипотенузе. Катет АВ построенного треугольника позволяет строить окружность ω1 (А, |АВ|), пере­секающую ω в искомых точках В и С.

9 способ

ω(О, R) в ее точке Q в некоторой точке

М (см.рис.). Очевидно, [МО) — биссектриса угла ∠QMA. Биссектриса угла, смежного с ∠QMA, пересекает прямую АР в точке S, для которой
|QS| : |SA| = |QO|:|OA|.
Построив точку S, можно построить окружность ω1 на диаметре OS. Поскольку ∠SMO прямой, то ω1 пересечет l в точках М и N, таких, что (AM) и (AN) — искомые касательные.

10 способ

Приведем еще одно построение, основанное на свойствах биссектрис треугольника.

l два конгру­энтных отрезка QK и QL (рис. 12);

находим точку D пересечения прямой КО с перпендикуляром к прямой ОА в точке А; строим прямую DL, пересекающую прямую ОА в точке S.

10 способ (продолжение)

Сост. Г. Д. Глейзер. – М.: Просвещение, 1990. –

224 с.: ил.