FindSlide.org - это сайт презентаций, докладов, шаблонов в формате PowerPoint.
Email: Нажмите что бы посмотреть
Характерно, что в первых двух способах для построения касательных были предварительно найдены точки касания.
Действительно, точка В является серединой основании ОМ равнобедренного треугольника ОАМ, поэтому АВ — его высота, а значит, ∠ОВА прямой. Отсюда следует, что АВ — касательная к окружности ω.
Построение касательной к окружности, содержащееся в третьей книге «Начал» Евклида (предложение 17).
Построение касательной к окружности без предварительного построения точек касания.
Проведем окружность ω1 (А, |АО|). Касательная к окружности ω в произвольной точке Р0∈ω пересекает окружность ω1 в точках М и N (см. рис.). Поворот , при котором М → А, отображает точку N на точку Q. Прямая AQ — искомая касательная. Действительно, поворот отображает касательную к ω на касательную к ω ((MN) → (AQ)).
Следующий способ сводится к использованию свойств хорд окружности, равноудаленных от ее центра,— эти хорды конгруэнтны.
Касательную к окружности в данной на ней точке А можно построить одной линейкой. Также одной линейкой можно построить касательные к окружности, если данная точка А не принадлежит окружности. Эти построения можно выполнить одной линейкой и тогда, когда центр окружности не задан. Рассмотрим случай, когда центр О окружности ω задан, и задана точка А∉ω.
Если KL ∩ PQ=D, то |OD|∙|OA|=R2. Действительно, пусть ∠DPK = ά, ∠DQK = β. Тогда
|PD|:|DQ| = ctg ά : ctg β (1)
Построим перпендикуляр к прямой АР в точке A, пересекающий прямую РМ в точке S. Очевидно, что
|PA| = |AS|∙ctg ά и |AQ| = |AS|∙ctg∠AQS.
Так как ∠AQS = ∠AMS=180° - ∠PMN = ∠PQN = β, то |AQ| = |AS|∙ctg β. Поэтому
|PA|:|AQ| = ctg ά : ctg β. (2)
6 способ (продолжение)
Предложенное построение выполняется только линейкой. Чтобы построить касательные AB и AC, потребовалось провести 9 прямых: AO, AM, PM, QN, KL, QM, PN, AB, AC.
Проведем окружность ω1 (А, |ОА|) см. (рис.). Далее найдем раствор циркуля, равный 2R, для чего выберем на окружности ω точку S и отложим три дуги, содержащие по 60 дуговых градусов: ∪SP = ∪PQ = ∪QT = 60°. Точки S и Т диаметрально противоположны. Строим окружность (О, |ST|), пересекающую ω1 в точках М и N. Теперь остается одним циркулем построить середину отрезка МО.
Действительно, треугольники КМВ и UMK равнобедренные и подобные. Поэтому из того, что |КМ| = ½ |MU|, следует, что |MB| = ½|MK| = ½ R.
Итак, точка В — искомая точка касания. Аналогично находим точку касания С.
8 способ
Еще одно построение касательной к окружности основано на следующем свойстве отрезков секущей, проведенной к окружности( см. рис.):
|AB|2=|AP|∙|AQ|
8 способ (продолжение)
Другой вариант построения касательной в данном случае основан на ином способе построения отрезка АВ по отрезкам АР и AQ (см. рис.).
9 способ
10 способ
Приведем еще одно построение, основанное на свойствах биссектрис
треугольника.
10 способ (продолжение)