Слайд 3
Определение.
Дифференциальное уравнение содержащее производную функции двух и
более порядков, называется дифференциальным уравнением порядка высшее первого.
Уравнение порядка
“ ”- или
Слайд 4
Теорема:
Дано дифференциальное уравнение
и система начальных
условий , ,…., Если функция непрерывна в окрестностях начального условия и имеет непрерывные частные производные по , то существует и притом единственное решение уравнения, определенное и непрерывное в некотором интервале содержащем , и удовлетворяющее заданной системе начальных условий.
Слайд 5
2.Типы уравнений, допускающих понижение порядка.
Слайд 7
2.
Дифференциальное уравнение
не содержащее явно и младших производных до
(k-1) порядка включительно, допускает понижение порядка на k единиц
Слайд 8
3.
Уравнение вида
также
допускает понижение порядка путем замены обоих переменных.
Слайд 9
4.
Если левая часть уравнения есть точная правая,
то порядок уравнения поднимается на единицу путем непосредственного интегрирования.
(Это уравнение встречается редко, но к этому виду приводятся некоторые уравнения.)
Слайд 10
Линейное дифференциальное уравнение высшего порядка.
Слайд 11
Линейным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение вида:
Слайд 12
Теорема
Пусть коэффициент ,
. Линейное дифференциальное уравнение непрерывно на
некотором отрезке [a;b]. одно и только одно решение дифференциального уравнения, определенное и непрерывное на всем интервале (a;b), удовлетворяющее этому уравнению и любой системе начальных условий, если только значение принадлежит интервалу (a;b).
Слайд 13
Определение:
Уравнение вида
называется
линейным однородным дифференциальным уравнением.
Слайд 14
Определение.
Обозначим линейную часть уравнения через
,
. .
Выражение называется линейным дифференциальным оператором от функции .
Слайд 15
Свойства линейного дифференциального оператора.
1.Постоянный множитель можно выносить за
знак оператора, то есть для любого n размерной дифференциальной
функции
- свойство однородности.
2.Оператор от суммы двух функций и равен сумме операторов от каждого из слагаемых в отдельности, то есть для любых n раз дифференцируемых функций и верно равенство:
- свойство аддитивности
Слайд 16
Определение:
Линейное дифференциальное однородное уравнение можно записать в
виде
Слайд 17
Теоремы о свойствах частичных решений
Слайд 18
Теорема1.
Если функция является решением уравнения
, то и функция
есть решение этого уравнения.
Слайд 19
Теорема2.
Если функции и
являются решениями уравнения ,
то и функция есть решение этого уравнения.
- частные решения линейного однородного дифференциального уравнения, то
их линейная комбинация
есть также решение этого уравнения.
Слайд 21
Линейная зависимость и независимость функций. Определитель Вронского и
его применение.
Слайд 22
Определение.
Система функций
определенных и непрерывных на отрезке [a;b] называется линейно зависимой
на отрезке [a;b], если n таких чисел , что выполняется тождество , при этом (не все одновременно равны нулю) .
Слайд 23
Теорема.
Если уравнение линейно зависимо, то хотя бы
одну из них можно выразить через остальные.
Слайд 24
Если функции системы дифференцируемы n-1 то из них
можно построить определитель n-го порядка, который имеет вид
Этот определитель
является функцией от х и обозначается
Этот определитель называется определителем Вронского
Слайд 25
Теорема1.
Если функции
линейно зависимы, то определитель Вронского тождественно равен
0.
- линейно независимые функции, удовлетворяющие некоторому однородному дифференциальному уравнению
n-го порядка, то определитель системы не обращается в ноль ни в одной точке.
Слайд 27
Определение.
Систему частных решений
линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка называют фундаментальной,
если она состоит из n независимых функций.
Слайд 28
Теорема.
Любое линейное однородное дифференциальное уравнение обладает бесчисленным множеством
фундаментальных систем.
Слайд 29
Теорема
Если функции
образуют фундаментальную систему решений уравнения
,то их линейная комбинация
- является общим решением этого уравнения.
Слайд 30
Линейное однородное уравнение с постоянным коэффициентом.
Слайд 31
Определение.
Уравнение вида
, г де =const, называется линейным однородным дифференциальным уравнением с постоянным коэффициентом.
Слайд 32
Определение.
называется характеристическим членом линейного однородного дифференциального
уравнения.
Слайд 33
Определение.
Уравнение
называется характеристическим уравнением линейного однородного дифференциального
уравнения.
Слайд 34
Все корни уравнения
действительны и различны
Слайд 35
линейная комбинация
является общим решением линейного однородного дифференциального
уравнения.
Слайд 36
Все корни различны, но среди них есть комплексные
Слайд 38
паре комплексных сопряженных корней
можно поставить в
соответствие частных решений
Слайд 39
Доказать самостоятельно линейную независимость системы частных решений
Слайд 40
При доказательстве нигде не учитывается, что
- действительное число поэтому когда пара
корней является двойной, то ей соответствует четыре частных решения следующих видов:
Слайд 41
Вывод:
Задача нахождения общего решения линейного однородного дифференциального
уравнения n – го порядка с постоянным коэффициентом сводится
к нахождению всех корней алгебраического уравнения n-ой степени.
Слайд 42
3.Линейные неоднородные дифференциальные уравнения.
Слайд 43
Определение
Линейным неоднородным дифференциальным уравнением называется уравнение вида
Слайд 44
Теорема (о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального
уравнения):
Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения представляет сумму
частного решения этого уравнения и общего решения соответствующего однородного (при g=0), .