Презентация на тему Франсуа Виет и его теорема

с алгеброй начинается
строгое математическое учение.

(Н.И. Лобачевский)

дня рождения замечательного французского математика, положившего начало алгебре как

науке о преобразовании выражений, создателя буквенного исчисления, Франсуа Виета.

значение, но и служат чисто практическим целям. Подавляющее число

задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений.

Уравнения решали двадцать пять веков назад. Они создаются и сегодня – как для использования в учебном процессе, так и для конкурсных экзаменов в вузы, для олимпиад самого высокого уровня.

Франсуа Виете, рассмотреть квадратные уравнения частного порядка, научиться использовать

теорему Виета как инструмент для решения уравнений и задач, связанных с корнями и коэффициентами уравнения n-ой степени.

его вклад в математику; узнать историю его жизни; повторить понятие

квадратного уравнения, узнать об уравнениях частного порядка и их решении рациональным способом; узнать какие уравнения называются уравнениями высших степеней; рассмотреть теорему Виета как инструмент для решения уравнений и других задач.

математик 16 века
Родился в 1540 году во Франции в

городе Фонтене-ле-Конт. По образованию юрист. Но все свое свободное время он отдавал занятиям математикой, а также астрономией. Особенно увлеченно он начал работать в области математики с 1584г. Виет детально изучил труды, как древних, так и современных ему математиков. Разработал почти всю элементарную алгебру. Известны «формулы Виета», дающие зависимость между корнями и коэффициентами алгебраического уравнения. Ввел буквенные обозначения для коэффициентов в уравнениях.

«Введении в аналитическое искусство», опубликованном в 1591 году. Основной

замысел ученого замечательно удался: началось преобразование алгебры в мощное математическое исчисление. Франсуа называл алгебру аналитическим искусством. Он писал в письме к де Партене: «Все математики знали, что под алгеброй скрыты несравненные сокровища, но не умели их найти…»

Математические открытия

вычисляя периметры вписанного и описанного 322 216-угольников, получил 9

точных десятичных знаков.
Впервые обозначать десятичные дроби с помощью запятой предложил Франсуа Виет. До него изображение дробей было весьма сложным. Так, например, дробь 0,3469 писалась так: 3(1)4(2)6(3)9(4).
Виет первым стал обозначать буквами не только неизвестные, но и данные величины. Тем самым он внедрил в науку великую мысль о возможности выполнять алгебраические преобразования над символами, т.е. ввести понятие математической формулы.
Ученый мог работать по трое суток без сна!

применение трудов Виета очень затруднялось тяжелым и громоздким изложением.

Из-за этого они полностью не изданы до сих пор.
Г.Г. Цейтен отмечал, что чтение работ Виета затрудняется несколько изысканной формой, в которой повсюду сквозит его большая эрудиция, и большим количеством изобретенных им и совершенно не привившихся греческих терминов. Потому влияние его, столь значительное по отношению ко всей последующей математике, распространялось сравнительно медленно.
Виет первым стал применять скобки, которые, правда, у него имели вид не скобок, а черты над многочленом.

где коэффициенты a, b, c – любые действительные числа,

причём a ≠ 0.
Квадратное уравнение называют приведённым, если его старший коэффициент равен 1.
Пример:
x2 + 2x + 6 = 0.
Квадратное уравнение называют не приведенным, если старший коэффициент отличен от 1.
Пример:
2x2 + 8x + 3 = 0.
Полное квадратное уравнение - квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых, иными словами, это уравнение, у которого коэффициенты b и c отличны от нуля.

французский математик Франсуа Виет. Это свойство назвали теорема Виета: Чтобы

числа x1 и x2 являлись корнями уравнения: ax² + bx + c = 0 необходимо и достаточно выполнения равенства x1 + x2 = -b/a и x1x2 = c/a Пример. х²-4х-12=0 х1=-2 х2=6

теорема Виета. Что лучше, скажи, постоянства такого: Умножишь ты корни и

дробь уж готова: В числителе С, в знаменателе А, А сумма корней тоже дроби равна Хоть с минусом дробь эта, что за беда- В числителе B, в знаменателе A.

И. Дырченко

+ c = 0 в уравнении ax² + bx

+ c = 0, то
х1=1, а х2 =

2)Если a - b + c = 0, в уравнении ax² + bx + c= 0, то:
х1=-1, а х2 =-

3) Метод “переброски”
Корни квадратных уравнений y² + by + аc = 0 и ax² + bx + c = 0 связанны соотношениями:
х1 = и х2 =

очень тяжело решить через дискриминант, но, зная выше приведенную

формулу его с легкостью можно решить.
a = 418, b = -1254, c = 836.
х1 = 1, х2 = 2

высших степеней
 
Формулы, выведенные Виетом для квадратных уравнений, верны и для многочленов высших степеней.
Пусть многочлен
P(x) = a0xn + a1xn-1 + … +an имеет n различных корней x1 , x2 …, xn.
В этом случае он имеет разложение на множители вида:
a0xn + a1xn-1 +…+ an = a0( x – x1)( x – x2)*…*(x – xn)
Разделим обе части этого равенства на a0 ≠ 0 и раскроем в первой части скобки. Получим равенство:
 
xn + ( )xn-1 + … + ( ) = xn – (x1 + x2 + … + xn) xn-1 + ( x1x2

+ x2x3 + … + xn-1xn)xn-2 + … +(-1)n x1x2 … xn

только в том случае, когда коэффициенты при одинаковых степенях

равны. Отсюда следует, что выполняется равенство

x1 + x2 + … + xn = -


x1x2 + x2x3 + … + xn-1xn =

x1x2 … xn = (-1)n

Например, для многочленов третей степени
a0x³ + a1x² + a2x + a3 имеем тождества

x1 + x2 + x3 = -

x1x2 + x1x3 + x2x3 =

x1x2x3 = -

, то для применения формул Виета нужно разделить все

коэффициенты на .
В этом случае формулы Виета дают выражение для отношений всех коэффициентов к старшему. Из последней формулы Виета следует, что если корни многочлена целочисленные, то они являются делителями его свободного члена, который также целочисленен.

, корни которого обратны
корням уравнения
Решение:
1) Пусть - корни уравнения
2) Т.к. , то по формулам Виета

- корни уравнения

4) Тогда

, ,

5) Т.к. , то по формулам Виета







6) Следовательно искомое уравнение имеет вид:

, или .

2-й и 3-й степеней. Проведём эксперимент для уравнения 2-й степени

В это опыте я сравнила время, потраченное на решение уравнения x²+3x+2=0 через дискриминант, и время на решение этого же уравнения с помощью теоремы Виета. В результате получилось, что в первом случае ученик тратит 35 секунд, а во втором- 15!
Вывод: С формулами Виета можно сэкономить время!

среди чисел:

Подбором находим один из корней уравнения, - .
Следовательно,

делится на .

или
По формулам Виета:

Ответ:

Виета

По формулам Виета:



Следовательно, корни уравнения равны
Вывод: формулы Виета

позволяют рационально решить это уравнение.

и


имеют взаимно обратные корни.

Гипотеза
Корни уравнений

и

, где ,

взаимно обратные.

Доказательство
По формулам Виета из первого уравнения:





Рассмотрим числа

и

что

равносильно уравнению
.