Слайд 2
Студент должен знать
Роль и место математики в современном
мире
Основные понятия теории функций, виды функций, свойства функций.
Основные понятия
теории пределов, свойства пределов.
Методы вычисления пределов:
Методы раскрытия неопределённостей;
Замечательные пределы.
Слайд 3
Предмет и задачи математики
Матема́тика
Древне-греческий: μᾰθημᾰτικά
Древне-греческий: μάθημα – изучение,
наука)
наука о структурах, порядке и отношениях, которая исторически
сложилась на основе операций подсчёта, измерения и описания формы объектов.
Слайд 4
Математика
– фундаментальная наука:
предоставляет (общие) языковые средства другим наукам;
выявляет их структурную взаимосвязь
способствует нахождению самых общих законов
природы
Слайд 5
Инструменты, облегчающие вычисления
Блез Паскáль – 1642 г. –
суммирующая машина;
Гόтфрид Вильгéльм Лéйбниц – 1673 г. –
арифмометр (+, –, ×, :);
Чарльз Бéббидж – 1822-1851 гг. – попытка построить аналитическую машину;
Кόнрад Цýзе – 1943 г. – электромеханическая вычислительная машина «Марк-1».
Слайд 6
Вычислительная машина
«Гуманитарные» области применения:
для хранения информации (музыкальная шкатулка,
граммофонная пластинка, виниловый диск, аудио-кассета; фото, кино, видеокассета, CD);
для передачи информации (телеграф, телефон, радио, телевидение).
Слайд 7
Конец ХХ века
Компьютерные технологии предложили один универсальный метод
обработки, передачи и хранения любых видов информации – математический
или цифровой.
Математика является теоретической базой информатики.
Знание основ математического анализа, дискретной математики, теории вероятностей, математической статистики – неотъемлемая часть общей культуры современного человека.
Слайд 8
Медработники среднего звена
Применение сложной компьютерной техники, в профессиональной
деятельности
(назовите примеры);
(назовите примеры);
(назовите примеры);
(назовите примеры).
Слайд 9
Медработники среднего звена
Решение математических задач различной степени сложности:
расчёт процентной концентрации раствора;
вычисление минутного объёма дыхания;
расчёт
прибавки роста и массы детей;
оценка пропорциональности развития ребёнка с использованием антропометрических индексов;
определение показателей сердечной деятельности;
расчёт рациона питания с использованием объёмного и калорийного способов;
проведение статистических исследований и обработка полученных данных;
применение статистических показателей здоровья населения и деятельности лечебно-профилактических учреждений для построения прогнозов развития, планов и так далее.
Слайд 10
II. Функции
Зависимость по некоторому правилу числовой переменной y
от числовой переменной x называется функцией, если каждому значению
x соответствует единственное значение y.
Слайд 11
Аргумент и значение функции
Переменную x называют независимой переменной
или аргументом.
Значение y, соответствующее заданному значению x, называют
значением функции или зависимой переменной.
Слайд 12
Области определения и значений функции
Все значения, которые
принимает независимая переменная x, образуют область определения функции D(f).
Все значения, которые принимает функция f(x), образуют область значений функции E(f).
Слайд 13
Виды функций
Линейная функция;
прямая пропорциональность. постоянная функция;
Обратная пропорциональность;
Степенная
функция;
Показательная функция;
Логарифмическая функция;
Тригонометрические функции.
Слайд 15
Чётность
a) Функция f(x) называется чётной, если
D(f) симметрична
относительно начала координат;
∀х∈ D(f) справедливо: f(–x) = f(x).
График
чётной функции симметричен относительно оси ординат
Слайд 16
Чётность
b) Функция f(x) называется нечётной, если
D(f) симметрична
относительно начала координат;
∀х∈ D(f) справедливо: f(–x) = –f(x).
График
нечётной функции симметричен относительно начала координат
Слайд 17
Чётность
Функция f(x) не обладает чётностью, если условия a)
и b) не выполняются.
График такой функции не обладает
симметрией относительно оси ординат или начала координат.
Слайд 18
Примеры определения чётности функции
Пример 1: f(x) =
2x2 – 5
Решение:
D(f) = R = (−∞; +∞)
– симметрична относительно начала координат;
f(–x) = 2(–x)2 – 5 = 2x2 – 5 = f(x);
Выполняется условие a, значит, f(x) – чётная функция.
Слайд 19
Примеры определения чётности функции
Пример 2: g(x) =
x3 + 3x
Решение:
D(f) = R = (−∞;
+∞) – симметрична относительно начала координат;
g(–x) = (–x)3 + 3(–x) = –x3 – 3x = –(x3 + 3x)= = –g(x);
Выполняется условие b, значит, g(x) – нечётная функция
Слайд 20
Примеры определения чётности функции
Пример 3: h(x) =
x3 – 7
Решение:
D(f) = R = (−∞;
+∞) – симметрична относительно начала координат;
h(–x) = (–x)3 – 7 = – x3 – 7 = – (x3 + 7);
Условия a и b не выполняются, значит, функция h(x) не является ни чётной, ни нечётной, или чётностью не обладает.
Слайд 21
Периодичность
Функция f(x) называется периодичной с наименьшим положительным
периодом Т>0, если для любого х∈ D(f) справедливо:
f(x+T⋅n) =
f(x), где n∈Z.
Слайд 22
Непрерывность
Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если
f(x)→f(x0) при x→x0.
Слайд 23
Монотонность
Функция f(x) возрастает на отрезке [a; b], если
∀х∈ [a; b] справедливо: f(x1)>f(x2) при x1 > x2
(или:
бóльшее значение функции соответствует бóльшему значению аргумента);
Слайд 24
Монотонность
Функция f(x) убывает на отрезке [a; b], если
∀х∈ [a; b] справедливо: f(x1)>f(x2) при x1 < x2
(или:
бóльшее значение функции соответствует мéньшему значению аргумента)
Слайд 25
δ-окрестность точки
δ-окрестностью точки x0 называют некоторый отрезок [x–δ;
x+δ ],
где δ – малое положительное число.
Слайд 26
Точки экстремума
Точка x0 называется точкой минимума функции f(x),
если для любого х из δ-окрестности точки x0 справедливо:
f(x)>f(x0);
Слайд 27
Точки экстремума
Точка x0 называется точкой максимума функции f(x),
если для любого х из δ-окрестности точки x0 справедливо:
f(x)
Слайд 28
Экстремумы функции
Значение функции f(x) в точке минимума, называется
минимумом функции;
Значение функции f(x) в точке максимума, называется максимумом
функции.
Слайд 29
Наибольшее значение функции на данном отрезке
Значение функции f(x0)
в точке x0 ∈ [a; b] называется наибольшим значением
функции f(x) на отрезке [a; b], если для любого х∈ [a; b] справедливо:
f(x)
Слайд 30
Наименьшее значение функции на данном отрезке
Значение функции f(x0)
в точке x0 ∈ [a; b] называется наименьшим значением
функции f(x) на отрезке [a; b], если для любого х∈ [a; b] справедливо:
f(x)>f(x0).
Слайд 31
Для функции, заданной графиком, укажите:
а) область определения функции;
б)
область значений функции;
в) наибольшее и наименьшее значения функции;
г)
точки экстремума и значения функции в них;
д) промежутки монотонности функции;
е) нули функции;
ж) при каких значениях переменной справедливо: f(x) > 1,5?
Слайд 32
Для функции, заданной графиком, укажите:
а) D(f) = [–3,5;
4];
б) E(f)=[–2,5; 4,5];
в) yнаим = –2,5;
yнаибол = 4,5;
г) xmin = 2,5;
xmax = –1;
ymin = –2;
ymax = 4,5;
д) f(x)↑ при
x∈(–3,5;1)∪(2,5;4);
f(x)↓ при x∈(1;2,5);
е) f(x) = 0 при
x1 = –3,3;
x2 = 0;
x3 = 3,7;
ж) f(x) > 1,5 при
x∈(–3;–0,6) ∪ (3,9;4].
Слайд 34
Бесконечно малая функция (БМФ)
Функцию y = α(x) называют
бесконечно малой при x→x0, если для любого сколь угодно
малого ε >0 существует δ >0 такое, что для всех x из δ-окрестности точки x0 справедливо: |α(x)|<ε.
Слайд 35
Бесконечно большая функция (ББФ)
Функцию y = Φ(x) называют
бесконечно большой при x→x0, если для любого сколь угодно
большого М > 0 существует δ > 0 такое, что для всех x из δ-окрестности точки x0 справедливо: |Φ(x)|>M.
Слайд 36
Предел функции в точке
Число a называют пределом функции
f(x) при x→x0, если для любого сколь угодно малого
ε>0 существует δ>0 такое, что для
всех x из δ-окрестности точки x0 справедливо: |f(x)–a|<ε;
пишут: .
Слайд 37
Свойства предела функции в точке
(основные теоремы о пределах)
Слайд 38
Теорема 1
Если функция f(x) имеет предел при x→x0,
то только один.
Слайд 39
Теорема 2
Предел постоянной величины равен самой этой величине:
Слайд 40
Теорема 3
Предел суммы двух функций равен сумме их
пределов:
Слайд 41
Теорема 4
Предел произведения двух функций равен произведению их
пределов:
Слайд 42
Теорема 5
Предел отношения двух функций равен отношению их
пределов, если предел делителя отличен от нуля:
Слайд 43
Теорема 6
Предел бесконечно малой функции равен 0:
Слайд 44
Теорема 7
Предел бесконечно большой функции равен ∞
Слайд 45
Теорема 8
Предел отношения постоянной величины к бесконечно малой
функции есть бесконечно большая величина:
Слайд 46
Теорема 9
Предел отношения постоянной величины к бесконечно большой
функции есть бесконечно малая величина:
Слайд 47
Следствие 1
Если функция f(x) имеет предел при x→x0,
то предел этой функции в степени n равен n-ой
степени предела данной функции:
Слайд 48
Следствие 2
Предел произведения постоянной вели-чины на функцию равен
произведению этой величины на предел функции:
Слайд 49
Следствие 3
Если функции f(x) и g(x) имеют пределы
при x→x0, то
Слайд 51
Первый замечательный предел
Предел отношения синуса бесконечно малой дуги
к самой дуге, выраженной в радианах, равен единице, т.е.:
![МонотонностьФункция f(x) возрастает на отрезке [a; b], если ∀х∈ [a; b] справедливо:](/img/tmb/15/1414475/c7686091acfe95be19510bf72f02346b-720x.jpg "Функции. Пределы функций. Основные понятия теории пределов")
![МонотонностьФункция f(x) убывает на отрезке [a; b], если ∀х∈ [a; b] справедливо:](/img/tmb/15/1414475/59f862773662b89950d592f3ebebc8cb-720x.jpg "Функции. Пределы функций. Основные понятия теории пределов")
![δ-окрестность точкиδ-окрестностью точки x0 называют некоторый отрезок [x–δ; x+δ ], где δ](/img/tmb/15/1414475/69811f5cad77c8b362f79dbf4e5b3309-720x.jpg "Функции. Пределы функций. Основные понятия теории пределов")
![Для функции, заданной графиком, укажите:а) D(f) = [–3,5; 4];б) E(f)=[–2,5; 4,5];в) yнаим](/img/tmb/15/1414475/4ebe85c685c3ea1f5af5b0ed633bac6a-720x.jpg "Функции. Пределы функций. Основные понятия теории пределов")
