Презентация на тему Геометрическая прогрессия

сопоставление и противопоставления понятию арифметической прогрессии.
Познакомить со свойствами

геометрической прогрессии и формулой n-го члена.
Закрепить на примерах решения задач.

1 вариант

2 вариант

тридцать второй член, если первый член 65 и разность -2.
сумму десяти первых членов, если а = 3n-1, n – натуральное число.
сумму семи первых членов прогрессии 8;4;0;…
Продолжите числовую последовательность, записав еще 2 члена: 1;2;4;…

двадцать третий член, если первый член -9 и разность 4.
сумму десяти первых членов, если а = 4n+2, n – натуральное число.
сумму семи первых членов прогрессии
-5;-3;-1;…
4. Продолжите числовую последовательность, записав еще 2 члена: -2;6;-18;…

роль не только в школьном курсе алгебры, но и

в дальнейшем обучении в высших учебных заведениях. Важность этого на первый взгляд небольшого раздела школьного курса заключается в его чрезвычайно широких областях применения, в частности он часто применяется в теории рядов, рассматриваемой на II-III курсах университета.

отвечает на предлагаемые ведущим вопросы, и за верные ответы

ему по определенным правилам начисляется выигрыш. Условия игры могут быть такими: за первый правильный ответ участнику начисляется 500р., и с каждым следующим правильным ответом выигранная сумма увеличивается еще на 500р. Таким образом, выигрыш растет в арифметической прогрессии:
500; 1000; 1500; 2000; 2500; 3000; … .

правильный ответ участник по-прежнему получает 500р., но с каждым

следующим правильным ответом выигранная сумма удваивается. Теперь начисляемые игроку суммы образуют такую последовательность:
500; 1000; 2000; 4000; 8000; 16000; … .

другая закономерность: каждый следующий член последовательности получается из предыдущего

умножением на одно и тоже число.

две наши последовательности на координатной плоскости. Арифметическая растет равномерно;

она расположена на прямой. Скорость роста геометрической прогрессии все время увеличивается, соответственно она резко «уходит» вверх.

нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен

предыдущему члену, умноженному на одно и то же не равное нулю число.

называют знаменателем геометрической прогрессии. Его принято обозначать буквой q

(это первая буква французского слова quotient, которое переводится как «частное»). Используя это обозначение, можно записать правило, по которому строится геометрическая прогрессия:

и q=3. Получаем геометрическую прогрессию:

1; 3; 9; 27; 81; 243; … .
Каждый следующий ее член больше предыдущего, т.е. это возрастающая последовательность.

. Прогрессия начинается так:

Это убывающая прогрессия.
Пусть и q= -2. В этом случае знаки у членов прогрессии чередуются, и она имеет вид:
5; -10; 20; -40; 80; -160; 320; … .

прогрессии.

первый член которой равен , а знаменатель

q.


Переменная n в этой формуле содержится в показателе степени, поэтому зависимость от n называют экспоненциальной (от латинского слова exponentis – показывающий).

первый член -2, а знаменатель -0.5.


Ответ: -2; 1; -0,5;

0,25; - 0,125

Самой известной древней задачей на прогрессии считается

задача об изобретении шахмат. В древней Индии ученый Сета изобрел шахматы и попросил у шаха Шерама в награду за свое изобретение столько пшеничных зерен, сколько их получится, если на первую клетку шахматной доски положить одно зерно, на вторую - в 2 раза больше, то есть 2 зерна, на третью - еще в 2 раза больше, то есть 4 зерна, и так далее до шестьдесят четвертой клетки.

лишь потом выяснил, что такого количества пшеницы нельзя собрать

со всех полей Земли в течение десятков лет. Вот это число:
18 446 744 073 709 551 615.

членов геометрической прогрессии





Если все эти числа

сложить, то получится число, которое даже трудно прочитать
18 446 744 073 709 551 651. Если бы принцу удалось засеять пшеницей площадь всей поверхности Земли, считая и моря , и океаны, и пустыни, и Арктику с Антарктикой и получить удовлетворительный урожай, то за пять лет он смог бы рассчитаться с просителем. Такое количество зерен пшеницы можно собрать лишь с площади в 2000 раз большей поверхности Земли.

сорок четыре триллиона семьдесят три биллиона семьсот девять миллионов

пятьсот пятьдесят одна тысяча шестьсот пятнадцать.

которой можно суммировать члены произвольной геометрической прогрессии. Пусть последовательность

- геометрическая прогрессия. Обозначим сумму первых n ее членов через . Тогда


Умножим обе части этого равенства на знаменатель прогрессии q:

Вычти из второго равенства первое. Получим

разделим обе его части на q-1. Получим формулу

суммы первых n членов геометрической прогрессии:

Найти:

номер по вариантам.

него 1000 рублей. Купец сказал, что за коня запрошена

слишком большая цена. "Хорошо, - ответил продавец, - если ты говоришь, что конь дорого стоит, то возьми его себе даром, а заплати только за его гвозди в подковах. А гвоздей во всякой подкове по 6 штук. И будешь ты мне за них платить таким образом: за первый гвоздь полушку, за второй гвоздь заплатишь две полушки, за третий гвоздь - четыре полушки, и так далее за все гвозди: за каждый в два раза больше,чем за предыдущий". Купец же, думая, что заплатит намного меньше, чем 1000 рублей, согласился. Проторговался ли купец, и если да, то насколько?

копеек.


Сумма эта равна





копеек, т.е. около 42 тысяч рублей. При таких условиях не обидно дать и лошадь в придачу

20% годовых, положили 1000 р. И оставили на счете

на год. По истечении года к сумме вклада добавляют 20% от 1000р. Если вкладчик не снимает в конце года со счета, то в конце следующего года 20% начисляются уже на новую, увеличенную сумму и т.д.
Подсчитайте, какая сумма будет на счету через 10лет. (Очевидно, что вклад растет в геометрической прогрессии).

(можно использовать калькулятор.)

известно, что а7 = 8, а8 = 12. найдите

разность арифметической прогрессии.

А) -4

Б) 4

В) 20

Г) 3

Б) 18

В) 3

Г) 9

3. Члены арифметической прогрессии изображены (рис.1) точками на координатной плоскости. Какое из данных чисел является членом этой прогрессии?

А) -7

В) 12

Г) 17

4. Найдите сумму семи первых членов геометрической прогрессии 4; 8; …

А) - 254

Б) 508

В) 608

Г) - 508

Часть I ( 0,5 балла )

А) -3

Б) 6

(задания на 2 балла)
6. В геометрической прогрессии (bn) b1

= 8, b3 = 24. Найдите b5. ( для q > 0 )

(задания на 3 балла)

7. Сумма второго и пятого членов арифметической прогрессии равна 11. Третий её член на 6 больше первого. Найдите второй и четвёртый члены.

Критерии оценок:

b5 = 72

Ответ:

Ответ:

а2 =1; а4 = 7,