Презентация на тему Графический метод решения ЗЛП

ограничениях

полуплоскость с граничными прямыми

Условия неотрицательности определяют

полуплоскости с граничными прямыми

Если система ограничений совместна, то область ее решения есть множество точек, принадлежащих всем указанным полуплоскостям. Совокупность этих точек называют многоугольником решений. Или областью допустимых решений (ОДР) ЗЛП.

с любыми двумя точками оно содержит и весь отрезок.

Тогда ОДР может быть вида:
Выпуклый многоугольник;
Выпуклая многоугольная неограниченная область;
Пустая область;
Отрезок;
Единственная точка.

определяет на плоскости семейство прямых, одна

из которых проходит через начало координат. Эта прямая называется основной.
Прямая эта перпендикулярна нормальному вектору .


Этот вектор указывает направление наискорейшего возрастания функции, а противоположный ему –направление наискорейшего убывания. Так что это вектор вида

уровня целевой функции и поэтому во всех своих точках

принимает одно и тоже значение. Приравнивая целевую функцию к постоянной , а затем меняя ее, получим семейство прямых, каждая из которых является линией уровня, которые обладают свойством: при смещении в одну сторону уровень только возрастает, а в другую- только убывает.

которые находятся в многоугольнике решений, следует отыскать точку многоугольника,

координаты которой обращают в максимум или минимум целевую функцию.
Теорема. Если ЗЛП имеет оптимальный план, то целевая функция принимает свое оптимальное значение в одной из вершин многоугольника решений.

прямая

,

которую перемещают в направлении градиента до тех пор, пока она не коснется последней крайней точки многоугольника решений. Это может быть вершина многоугольника, координаты которой и определяют максимальное значение целевой функции. Может быть и такой случай, когда последняя точка лежит на стороне многоугольника, и тогда целевая функция принимает максимальное значение на всей этой прямой. Если же в направлении градиента многоугольник решений неограничен, то
.

на основе ее геометрической интерпретации включает следующие этапы:

1).Строят прямые, уравнения которых получаются в результате замены в ограничениях задачи знаков неравенств на знаки равенств.
2).Находят полуплоскости, определяемые из ограничений задачи.
3).Находят многоугольник решений.
4). Строят вектор .
5). Строят прямую , проходящую через многоугольник решений.
6).Передвигают эту прямую в направлении градиента.
7)Определяют координаты точки максимума функции и вычисляют значение целевой функции в этой точке.

видов костюмов - мужских и женских.. На женский костюм

требуется 1м шерсти, 2м полиэстера и 1человеко-день трудозатрат. На мужской –3,5м шерсти, 0,5м полиэстера и 1 человеко-день трудозатрат. Всего имеется 350м шерсти, 240 м полиэстера и150 человекодней трудозатрат.

необходимо сшить, чтобы обеспечить максимальную прибыль, если прибыль от

реализации женского костюма составляет 10 денежных единиц, а от мужского-20 денежных единиц. При этом следует иметь в виду, что необходимо сшить не менее 60 мужских костюмов.

-число женских и число мужских костюмов соответственно.
Целевая

функция .
Ограничения

пересекает оси координат в точках (350;0) и (0;100), вторая

– в точках (120;0) и (0;0;480), третья – в точках (150;0) и (0;150).Четвертая прямая проходит параллельно оси .

получаем четырехугольник, все точки которого удовлетворяют всем четырем функциональным

ограничениям. Легко проверить: например, т.(0;0) лежит ниже всех трех первых прямых, но не удовлетворяет последнему соотношению. Так что, все точки внутри многоугольника удовлетворяют всем четырем неравенствам. Теперь построим градиент целевой функции (10;20).
Для этого соединим точку (10,20) с началом координат. Можно построить вектор, пропорциональный этому вектору, т.е. длиннее или короче в зависимости от масштаба

будем перемещать ее в направлении градиента до ее выхода

из ОДР. Это произойдет в точке пересечения прямых

и получим точку
При этих значениях

при ограничениях

изобразим прямые


Первая из них проходит через токчи

(8;0) и (0;8), вторая – через точки (0,5;0) и (0;-1), третья –через точки (2;0) и (0;-1).
Далее изобразим градиент (3;3) и линии уровня.

т.е. в направлении градиента, получаем, что целевая функция достигает

максимального значения вдоль прямой

На прямой возьмем точку , например В, координаты которой можно найти из системы уравнений




Целевая функция здесь имеет значение

целевой функции линию уровня

следует двигать в

направлении, обратном направлению градиента. Целевая функция достигает минимума в точке D пересечения прямой с осью , т.е. в точке ((0,5;0). Тогда

целевая функция не ограничена сверху на ОДР. Это означает,

что

при ограничениях

знаки равенства, а затем закрасим область допустимых решений. Очевидно,

начало координат находится ниже прямой , не удовлетворяет второму неравенству
, поэтому точки области лежат правее этой прямой. Последнему неравенству удовлетворяет и поэтому получаем область на рисунке