Презентация на тему Исследование функций и построение графиков

периодичность)
4) Точки пересечения функции с осями координат
5) Непрерывность функции.

Характер точек разрыва
6) Асимптоты
7) Экстремумы функции. Исследование функции на монотонность
8) Выпуклость функции. Точки перегиба

значений независимой переменной, при которых функция определена.
Примеры.

y=f(x) называется нечетной, если

такое положительное число Т, что если х принадлежит Df

, то х±Т также принадлежит Df и f(x+T)=f(T).

При исследовании функции необходимо найти координаты точек пересечения графика

функции с осями координат.

Абсциссы точек пересечения графика функции с осью Ох находятся из системы уравнений у=f(x) и у=0, а ординаты точек пересечения графика функции с осью Оу находятся из системы уравнений у=f(x) и х=0.

называется непрерывной в точке х0, если функция определена в

точке х0 и предел функции в точке х0 равен значению функции в точке х0.

Функции, непрерывные в каждой точке из области определения функции, называются непрерывными функциями.
Примеры непрерывных функций: y=cosx, y=sinx, y=ex , y=Pn(x) (многочлен степени n).

из области определения функции, в которой функция не является

непрерывной.
Пример. Функция

разрывна в 0, так как

существуют конечные односторонние пределы функции, равные между собой, но

не равные значению функции в точке х0, то точка х0 называется точкой устранимого разрыва.

х0 существуют конечные односторонние пределы функции, не равные между

собой, то точка х0 называется точкой скачка (точкой разрыва I рода).

хотя бы один из односторонних пределов функции в точке

х0 не существует или бесконечен, то точка называется точкой разрыва II рода.

при , если

или

.

, то эта прямая называется
асимптотой графика функции f при

.

Для того чтобы прямая y=kx+b была асимптотой, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:

,

.

f (x) определена и непрерывна на интервале (а, b).

Точка х0 интервала (а, b) называется точкой строгого максимума (минимума) функции f (x), если в некоторой проколотой окрестности точки х0 f (x)< f (x0) ( f (x) > f (x0) ).
Точки минимума и точки максимума функции называются точками экстремума функции.

Необходимое условие экстремума. Пусть точка х0 - точка экстремума функции. Тогда либо производная функции в этой точке равна 0, либо не существует.

'(x)>0 при х1; f '(x)

-1

функция возрастает

функция убывает

Известно, что если f '(x)>0 (f '(x)>0) в (а, b), то функция f (x) строго возрастает (строго убывает) в (а, b).
Рассмотрим функцию f(x) = x + 1|x

на интервале (а, b), называется выпуклой вверх (вниз) в

интервале (а, b), если для любых х1и х2 из интервала (а, b) из того, что х1<х2, следует, что часть графика функции между точками (х1,f(х1)) и (х2,f(х2)) лежит выше (ниже) хорды, соединяющей эти точки.

график функции в точке (х0, f(x0)) переходит с одной

стороны касательной на другую, то точка х0 называется точкой перегиба функции f(x).

Также говорят, что график функции f (x) имеет на интервале (a, b) выпуклость, направленную вниз (вверх), если график этой функции в пределах (a, b) лежит не ниже (не выше) любой своей касательной.

Достаточное условие строгой выпуклости функции

Если на интервале (а,b) f ''(x)>0, то на интервале (а,b) функция выпукла вниз, и если на интервале f ''(x)<0, то
на интервале (а,b) функция выпукла вверх.

Достаточное условие строгой выпуклости функции

Если в левой и правой полуокрестностях некоторой точки х0 f ''(x) имеет противоположные знаки, то точка х0 – точка перегиба функции.

и построим её

график.

1). Поскольку знаменатель положителен при всех , область определения функции - вся ось
2). Функция f(x) - нечётная, поскольку при смене знака x числитель меняет знак, а знаменатель остаётся без изменения, откуда f(-x) = - f(x). Следовательно, график функции симметричен относительно начала координат.
Периодической функция не является.
3). Поскольку область определения этой элементарной функции -- вся вещественная ось, вертикальных асимптот график не имеет.

в виде

. Имеем:




Таким образом, асимптотой как при , так и при
служит прямая .

f(0) = 0, причём x=0

- единственное решение уравнения f(x) = 0. Значит, график y = f(x) пересекает сразу и ось Ox, и ось Oy в начале координат.
Очевидно, что f(x)>0 при x>0 и f(x)<0 при x<0.

≥ 0 при всех ;

единственная точка, в которой f´(x) = 0 - это x=0. Значит, функция f(x) возрастает на всей оси Ox, а в стационарной точке x=0 имеет горизонтальную касательную.

при всех x. Числитель имеет корни x=0 и x=±√3,

при этом f’’(x)>0 на интервалах и - на этих интервалах функция выпукла. На интервалах и выполняется обратное неравенство f’’(x)<0, здесь функция вогнута. Все три точки, в которых f’’(x)=0, то есть точки - √3, 0, √3, являются точками перегиба.

всех предыдущих пунктов исследования функции. График имеет такой вид:

построим её график.
1). Ясно, что D(f) = R,

поскольку оба сомножителя в выражении f(x) определены при любом . Область значений E(f) найдём после того, как отыщем локальные экстремумы функции.
2). Функция не является ни чётной, ни нечётной; не является она и периодической.
3). Область определения не имеет граничных точек, значит, нет и вертикальных асимптот графика.

= kx + b. Коэффициент k найдём по формуле

: при имеем


так что при асимптоты нет, причём функция f(x) стремится к при .
При имеем:

.
Имеем:



Таким образом, k=0 и b=0, так что при асимптота имеет уравнение y=0, то есть совпадает с осью Ox.
5). Точка пересечения с осью Oy равна f(0)=0. Заодно нашли одну точку пересечения с осью Ox. Чтобы найти все точки пересечения графика с осью Ox, решаем уравнение f(x) = (x2 – 2x)ex . Поскольку ex ≠ 0, решаем уравнение , откуда получаем два корня: x=0 и x=2. Так как точек разрыва нет, то имеем три интервала знакопостоянства функции: , и
.

ex >0 при всех x. Значит, f(x)>0 при

и при и f(x)<0 при .
6) Вычислим производную:

Интервалы возрастания задаются неравенством f‘(x)>0, то есть, с учётом того, что ex >0, неравенством x2 – 2x>0. Решением этого неравенства служит множество
На этих двух интервалах функция возрастает. Легко видеть, что на интервале выполняется неравенство f‘(x)<0, следовательно, это интервал убывания функции. В точке -√2 возрастание сменяется убыванием, значит, точка   -√2 - точка локального максимума.

√2 убывание сменяется возрастанием, значит, точка √2 -- точка

локального минимума функции. Значение функции в точке минимума таково:

Теперь мы можем примерно представить, как идёт график функции:

Эскиз графика
функции f(x)

По эскизу графика видно, что где-то в местах, обведённых

кружочками, должно смениться направление выпуклости, то есть должны быть точки перегиба. Для исследования этого найдём вторую производную:

Решим неравенство , эквивалентное неравенству x2+2x-2>0. Решением этого квадратного неравенства служит объединение интервалов и . На этих интервалах функция выпукла.